布洛赫定理课件

布洛赫（Bloch）定理

求晶體中的電子態，要解定態薛定諤方程

2

(k,r)＋

E－V(r)

(k,r)＝0其中勢能函數V(r)具有晶格週期性，即V(r)＝V（r＋Rn）＝V（r+n1a1+n2a2+n3a3）一．布洛赫定理晶體中的電子波函數是按照晶格週期性進行的調幅平面波.即（以一維為例）

（k,x）＝u（k，x）eikx其中

u（k，x）＝u（k,x+na）晶體中的電子波又稱為Bloch波。討論：1．電子出現的幾率具有正晶格的週期性。

∣

（k,x）∣2＝∣u（k，x）∣2∣

（k,x＋na）∣2=∣u（k,x+na）∣2∵u（k，x）=u（k,x+na）∴∣

（k,x）∣2=∣

（k,x＋na）∣22.布洛赫定理的另一種表示。

證明:∵

（k,x）＝u（k，x）eikx

u（k，x）＝u（k,x+na）

得：u（k，x）＝

（k,x）e-ikx

(A)u（k,x+na）=

（k,x+na）e-ik(x+na)=e-ikx[e-ikna

（k,x+na）](B)比較（A）（B）二式，左右分別相等

∴

（k,x+na）＝

（k,x）eikna

以上證明各步均可逆，故Bloch定理的兩種表示等價。3．函數

（k,x）本身並不具有正晶格的週期性。

（k,x＋na）＝u（k，x+na）eik(x+na)

=u（k，x+na）eikx×eikna=u（k，x）eikx×eikna

=

（k,x）eikna而一般情況下∵k不是倒格矢eikna≠1∴

（k,x＋na）≠

（k,x）二．Bloch定理的證明1．由於勢能函數V(x)具有晶格週期性，適當選取勢能零點，它可以作如下的付裏葉級數展開：說明：

∴(1)2.將待求的波函數ψ（r）向動量本征態――平面波eik•x展開(2)求和是對所有滿足波恩－卡曼邊界條件的波矢k’進行的。將（1）式和（2）式代入薛定諤方程得:(3)將此式兩邊左乘e－ik.x,然後對整個晶體積分。並利用平面波的正交歸一性得到（4）式

利用δ函數的性質，得（4）式

該方程實際上是動量表像中的薛定諤方程，稱作中心方程。

K態與其相差不是一個倒格矢的態之間無耦合方程（4）說明，與K態係數C(K)的值有關的態是與K態相差任意倒格矢Gn

的態的係數C(K－Gn)…….與K相差不是一個倒格矢的態不進入方程（4），該結論也應適用於波函數

(k,x)。因此波函數應當可寫成與Bloch定理比較

（k,x）＝u（k，x）eikx

需證明

=u(K,x+na)∵Gh·Rn＝2

m，一維情況Rn=na,Ghna=2mexp(-iGhna)=1於是布洛赫定理得證。三．布洛赫定理的一些重要推論（1）K態和K＋Gh態是相同的狀態，這就是說：（A）

（K＋Gh,r）＝

（K，r）（B）E（K＋Gh）＝E(K)下麵分別證明之。∵

（k,x）求和遍取所有允許的倒格矢令G‘n

－Gn=Gn’’,則

（∵求和也是遍取所有允許的倒格矢）即相差任意倒格矢的狀態等價。由薛定諤方程

(k,r)=E(k)

(k,r)∴E（k）=E(k+Gn)

可見，在波矢空間，布洛赫電子態具有倒格子週期性，為了使波矢K和狀態一一對應，通常限制k在第一B.Z.內變化。第一B.Z.內的波矢又叫簡約波矢。與等價（2）E（k）＝E（－k）即能帶具有k=0的中心反演對稱性。（3）E（k）具有與正晶格相同的對稱性。四．能態密度由布洛赫波所應滿足的週期性邊界條件：波矢k在空間分佈是均勻，允許的波矢為

每個k點在k空間平均佔有的體積為k空間內，k點的密度為Vc/（2π）3。能態密度：對給定體積的晶體，單位能量間隔的電子狀態數。在k空間，對某一能帶n,每一個k點對應此能帶一個能量En,反過來，對於一個給定的能量En,可以對應波矢空間一系列的k點，這些能量相等的k點形成一個曲面，稱之為等能面。考慮E→E＋dE二個等能面之間的電子狀態數。在k空間等能面E和E＋dE之間，第n個能帶所對應的波矢k數目為將k空間的體元dτk表示成dτk＝dSE·dk⊥由於dE＝∣▽kEn(k)∣·dk⊥故有則E→E+dE之間，第n個能帶所對應的狀態數應為（考慮自旋應×2）：其中D(En)即是第n個能帶對E→E＋dE能量區間所貢獻的狀態密度。如果能帶之間沒有交疊，則D（En）就是總的狀態密度；如果有交疊，應對所有交疊帶求和，即一般應寫成:因此，只要由實驗測出關係En(k)~k（或稱能帶結構）就可求得狀態密度D（En）。反過來，若由實驗測得D（En），也可推測出能帶結構En(k