3.5.1平均变化率和销售问题 课件 -2026-2027学年湘教版数学九年级上册

#湘教版九年级上册3.5.1一元二次方程应用：平均变化率\(+\)销售利润问题##✅知识点###一、平均变化率问题（增长率/降低率）**公式：$\boldsymbol{a(1\pmx)^n\(=\)b}$**-$a$：**初始量**；$x$：平均变化率；$n$：变化次数；$b$：变化后的最终量-增长：$\(+\)$；下降：$-$>常见：两年增长，$\(n\(=\)2\)$，$\boldsymbol{a(1\(+\)x)^2\(=\)b}$⚠️注意：解出来的增长率不能为负数；降低率不能大于1。###二、销售利润问题基础关系式1.$\boldsymbol{单件利润\(=\)售价-进价}$2.$\boldsymbol{总利润\(=\)单件利润\times销售量}$涨价/降价题型规律：**涨价，销量减少；降价，销量增加**>设涨价$x$元：单件利润$\(=\)$原单件利润$\(+\)x$销售量$\(=\)$原销量$-$减少数量>设降价$x$元：单件利润$\(=\)$原单件利润$-x$销售量$\(=\)$原销量$\(+\)$增加数量---##专项练习###一、选择题1.某厂今年产值100万元，连续两年增长，平均增长率为$x$，两年后产值144万，方程是（）A.$100(1\(+\)x)\(=\)144$B.$100(1\(+\)x)^2\(=\)144$C.$100(1\(+\)2x)\(=\)144$D.$100\(+\)100x^2\(=\)144$2.商品进价40元，售价每件60元，每件利润（）A.10元B.20元C.40元D.60元3.原价200元，连续两次降价，每次降价百分率$x$，两次后售价128元，方程（）A.$200(1-2x)\(=\)128$B.$200(1-x)^2\(=\)128$C.$200(1\(+\)x)^2\(=\)128$D.$200-200x^2\(=\)128$4.商品每件盈利20元，每天卖30件，每涨价1元，少卖2件，涨价$x$元，日销量为（）A.$30\(+\)2x$B.$30-2x$C.$20\(+\)2x$D.$20-2x$###二、填空题5.某粮食产量第一年500吨，年均增长率$x$，第三年产量：________。6.一件商品进价30元，售价50元，一天卖40件。每降价1元，多卖5件，降价$x$元：单件利润\(=\)________；销售量\(=\)________。7.某药品原价100元，两次降价后64元，平均每次降价百分率是______。###三、基础应用题8.某工厂一月份产值50万元，三月份产值72万元，假设二、三月平均增长率相同，求平均增长率。9.一件商品进价每件40元，售价每件60元，一天售出20件，则一天总利润是多少\(\begin{align*}(20+x)(30-2x)&=800\\600-40x+30x-2x^2&=800\\-2x^2-10x-200&=0\\x^2+5x-100&=0？\end{align*}\)###四、中档应用题10.某商店销售一款T恤，每件进价40元，售价60元，每天卖30件。市场调查：每件涨价1元，日销售量减少2件。商店想要每天总利润800元，每件应涨价多少元\(\begin{align*}(20+x)(30-2x)&=800\\600-40x+30x-2x^2&=800\\-2x^2-10x-200&=0\\x^2+5x-100&=0？\end{align*}\)11.某手机原价3000元，经过两次降价后售价1920元，两次降价百分率相同，求每次降价百分率。###五、拓展题12.某农产品售价每千克20元，一周卖100千克。每降价1元，多卖10千克，进价12元。要使一周利润达到480元，应降价多少元\(\begin{align*}(20+x)(30-2x)&=800\\600-40x+30x-2x^2&=800\\-2x^2-10x-200&=0\\x^2+5x-100&=0？\end{align*}\)---#参考答案与解析###选择题1.**B**，两年增长，$a(1\(+\)x)^2\(=\)b$2.**B**，$60-40\(=\)20$3.**B**，两次降价$200(1-x)^2\(=\)128$4.**B**，涨价，销量减少###填空题5.$\boldsymbol{500(1\(+\)x)^2}$6.$\boldsymbol{(20-x)}$元；$\boldsymbol{(40\(+\)5x)}$件7.$\boldsymbol{20\%}$$100(1-x)^2\(=\)64$，$(1-x)^2\(=\)0.64$，$1-x\(=\)0.8$，$x\(=\)0.2\(=\)20\%$（舍去负根）###解答题8.解：设平均增长率为$x$$$\begin{align*}50(1\(+\)x)^2&\(=\)72\\(1\(+\)x)^2&\(=\)1.44\\1\(+\)x&\(=\)\pm1.2\end{align*}$$$1\(+\)x\(=\)1.2$，$x\(=\)0.2\(=\)20\%$；$1\(+\)x\(=\)-1.2$舍去答：平均增长率$\boldsymbol{20\%}$9.单件利润：$60-40\(=\)20$元总利润：$20\times20\(=\)\boldsymbol{400}$元10.解：设每件涨价$x$元单件利润：$60-40\(+\)x\(=\)20\(+\)x$销量：$30-2x$$$\begin{align*}(20\(+\)x)(30-2x)&\(=\)800\\600-40x\(+\)30x-2x^2&\(=\)800\\-2x^2-10x-200&\(=\)0\\x^2\(+\)5x-100&\(=\)0\(\begin{align*}(20+x)(30-2x)&=800\\600-40x+30x-2x^2&=800\\-2x^2-10x-200&=0\\x^2+5x-100&=0？\end{align*}\)\end{align*}$$重新整理：$(20\(+\)x)(30-2x)\(=\)800$$600-40x\(+\)30x-2x^2\(=\)800$$-2x^2-10x\(+\)600-800\(=\)0$$-2x^2-10x-200\(=\)0$，两边÷(-2)：$x^2\(+\)5x\(+\)100\(=\)0$$\Delta\(=\)25-400<0$，**无实数根**，说明无法达到800元。11.解：设每次降价百分率$x$$$\begin{align*}3000(1-x)^2&\(=\)1920\\(1-x)^2&\(=\)0.64\\1-x&\(=\)\pm0.8\end{align*}$$$1-x\(=\)0.8\Rightarrowx\(=\)0.2\(=\)20\%$；负根舍去答：每次降价$\boldsymbol{20\%}$12.解：设每千克降价$x$元单件利润：$20-12-x\(=\)8-x$销量：$100\(+\)10x$$$\begin{align*}(8-x)(100\(+\)10x)&\(=\)480\\800\(+\)80x-100x-10x^2&\(=\)480\\-10x^2-20x\(+\)320&\(=\)0\\x^2\(+\)2x-32&\(=\)0\\x&\(=\)\frac{-2\pm\sqrt{4\(+\)128}}{2}\(=\)\frac{-2\pm\sqrt{132}}{2}\(=\)-1\pm\sqrt{33}\end{align*}$$取正根：$x\(=\)-1\(+\)\sqrt{33}\approx4.74$元##📌考试易错点1.增长率公式是**平方**，不要写成乘以$2x$；2.解方程得到两个根，**要检验是否符合实际意义**，负数、大于1的降低率要舍去；3.销售问题分清：涨价销量减，降价销量加；4.看清题目：是求**百分率**还是直接求涨/降价多少元。>答题模板：设未知数，写出等量关系列一元二次方程，解方程，检验根是否符合实际，最后写答。下一节：**3.5.2面积问题**，继续吗\(\begin{align*}(20+x)(30-2x)&=800\\600-40x+30x-2x^2&=800\\-2x^2-10x-200&=0\\x^2+5x-100&=0？\end{align*}\)或者给无答案版练习\(\begin{align*}(20+x)(30-2x)&=800\\600-40x+30x-2x^2&=800\\-2x^2-10x-200&=0\\x^2+5x-100&=0？\end{align*}\)湘教版（新教材）数学九年级上册3.5.1平均变化率和销售问题授课教师：.

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9年级（

）班.

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2026/10/10

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第3章一元二次方程复习回顾

1.审、设、列、解、验、答.2.直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.情景问题

探究新知探究一:增长率问题一元二次方程模型在数学和实际生活中有着广泛的应用.

探究新知探究一:增长率问题分析:由于今年到后年间隔两年,所以上述问题涉及以下等量关系:今年的利用率×(1+年平均增长率)=明年的利用率.明年的利用率×(1+年平均增长率)=后年的利用率.

探究新知探究一:增长率问题

探究新知方法总结:

探究新知探究一:降低率问题

探究新知探究一:降低率问题

探究新知方法总结:

应用1

平均变化率问题

A

返回

BA.

218辆

B.

240辆

C.

256辆

D.

272辆返回3.

国家非遗“道州龙船赛”每年都吸引着数十万人到现场观看比赛，据不完全统计，2023年现场观看龙船比赛人数约20万人，2025年现场观看龙船比赛的人数约28.8万人，则这两年现场观看龙船比赛人数的年平均增长率约为_____.

返回探究新知探究三:销售利润问题

分析:本问题中涉及的等量关系是:(售价-进价)×销售量=利润.探究新知探究三:销售利润问题

探究新知方法总结:

探究新知探究三:销售利润问题做一做:利用流程图表示运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤.4.

为进一步发展基础教育，自2023年以来，某县加大了教育经费的投入，2023年该县投入教育经费7

000万元，2025年投入教育经费10

080万元.假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同.（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；

（2）若该县教育经费的投入还