14.2.5斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形 课件 -2026-2027学年沪科版数学八年级上册

#沪科版八年级上册14.2.5.1斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形（HL）专项练习（满分100分\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)时间40分钟）##一、选择题（每题5分\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)共30分）1.直角三角形全等判定“HL”的含义是（）A.两个直角三角形\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)任意两边相等B.斜边和一条直角边对应相等C.斜边和一个锐角对应相等D.两条直角边对应相等2.在$Rt\triangleABC$和$Rt\triangleDEF$中\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)$\angleC=\angleF=90^\circ$\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)$\(AB=DE\)$\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)$\(BC=EF\)$\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)判定两三角形全等依据是（）A.SASB.HLC.ASAD.SSS3.下列条件\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)不能判定两个直角三角形全等的是（）A.一条直角边和斜边对应相等B.两条直角边对应相等C.两个锐角对应相等D.一个锐角和斜边对应相等4.如图\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)$AD\perpBC$\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)垂足为D\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)若$\(AB=AC\)$\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)可以证明$Rt\triangleABD\(Rt\triangleABD\(Rt\triangleACB\(Rt\triangleABC\(\text{Rt}\triangleABC\(\text{Rt}\triangleABE\(\text{Rt}\triangleODP≌\text{Rt}\triangleOEP(\text{HL})\)\text{Rt}\triangleACD(\text{HL})\)\text{Rt}\triangleBAD(\text{HL})\)Rt\triangleBAD\)Rt\triangleBDA\)Rt\triangleACD\)Rt\triangleACD$的依据是（）A.HLB.AASC.SASD.ASA5.关于HL判定\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)说法正确的是（）A.HL可以用来判定任意三角形全等B.HL只适用于直角三角形C.斜边相等的两个直角三角形一定全等D.一条直角边相等的两个直角三角形一定全等6.已知$\angleC=\angleD=90^\circ$\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)若要用HL证明$Rt\triangleACB\(Rt\triangleABD\(Rt\triangleACB\(Rt\triangleABC\(\text{Rt}\triangleABC\(\text{Rt}\triangleABE\(\text{Rt}\triangleODP≌\text{Rt}\triangleOEP(\text{HL})\)\text{Rt}\triangleACD(\text{HL})\)\text{Rt}\triangleBAD(\text{HL})\)Rt\triangleBAD\)Rt\triangleBDA\)Rt\triangleACD\)Rt\triangleBDA$\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)需要添加条件（）A.$\angleCAB=\angleDBA$B.$\(AC=BD\)$C.$\angleABC=\angleBAD$D.$BC\parallelAD$##二、填空题（每题5分\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)共30分）7.HL定理：______和一条______分别相等的两个直角三角形全等。8.HL只能用于________三角形\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)普通三角形不能使用这个判定方法。9.在$Rt\triangleABC$与$Rt\triangleA'B'C'$中\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)$\angleC=\angleC'=90^\circ$\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)$AB=A'B'$\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)$AC=A'C'$\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)则$Rt\triangleABC$____$Rt\triangleA'B'C'$（填\(Rt\triangleABD\(Rt\triangleACB\(Rt\triangleABC\(\text{Rt}\triangleABC\(\text{Rt}\triangleABE\(\text{Rt}\triangleODP≌\text{Rt}\triangleOEP(\text{HL})\)\text{Rt}\triangleACD(\text{HL})\)\text{Rt}\triangleBAD(\text{HL})\)Rt\triangleBAD\)Rt\triangleBDA\)Rt\triangleACD\)）。10.直角三角形全等的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS、____。11.两个直角三角形\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)如果只有锐角相等\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)没有边长相等\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)则它们____全等（填“一定”或“不一定”）。12.$Rt\triangleABC$中\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)斜边$\(AB=13\)$\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)直角边$\(AC=5\)$；$Rt\triangleEFG$斜边$\(EG=13\)$\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)直角边$\(EF=5\)$\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)则这两个直角三角形________全等（填“一定”或“不一定”）。##三、解答题（共40分）13.（12分）已知：如图\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)$AC\perpBC$\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)$AD\perpBD$\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)垂足分别是C、D\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)$\(AC=BD\)$。求证：$Rt\triangleABC\(Rt\triangleABD\(Rt\triangleACB\(Rt\triangleABC\(\text{Rt}\triangleABC\(\text{Rt}\triangleABE\(\text{Rt}\triangleODP≌\text{Rt}\triangleOEP(\text{HL})\)\text{Rt}\triangleACD(\text{HL})\)\text{Rt}\triangleBAD(\text{HL})\)Rt\triangleBAD\)Rt\triangleBDA\)Rt\triangleACD\)Rt\triangleBAD$。14.（14分）已知：$CD\perpAB$\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)$BE\perpAC$\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)垂足D、E\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)$\(AB=AC\)$。求证：$\(\(\boldsymbol{BD=CE}\)\)$。15.（14分）已知：点P在OC上\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)$PD\perpOA$\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)$PE\perpOB$\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)垂足D、E\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)$\(PD=PE\)$。求证：$\(OD=OE\)$。---#参考答案与解析##一、选择题1.B解析：HL定义：斜边与一条直角边对应相等。2.B解析：∠C、∠F为直角\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)AB、DE是斜边\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)BC、EF是直角边\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)HL。3.C解析：只有角相等\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)边长不确定\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)不能判定全等。4.A解析：$\(AB=AC\)$斜边\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)公共直角边AD\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)HL。5.B解析：HL专属直角三角形\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)单独斜边或单一直角边相等不能全等。6.B解析：AB公共斜边\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)添加直角边$\(AC=BD\)$\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)可用HL。##二、填空题7.斜边；直角边8.直角9.\(Rt\triangleABD\(Rt\triangleACB\(Rt\triangleABC\(\text{Rt}\triangleABC\(\text{Rt}\triangleABE\(\text{Rt}\triangleODP≌\text{Rt}\triangleOEP(\text{HL})\)\text{Rt}\triangleACD(\text{HL})\)\text{Rt}\triangleBAD(\text{HL})\)Rt\triangleBAD\)Rt\triangleBDA\)Rt\triangleACD\)10.HL11.不一定12.不一定##三、解答题13.证明：∵$AC\perpBC\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)AD\perpBD$\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)∴$\angleC=\angleD=90^\circ$在$Rt\triangleABC$和$Rt\triangleBAD$中$\begin{cases}AB=BA（公共斜边）\\\(AC=BD\)（已知）\end{cases}$∴$\text{Rt}\triangleABC\(Rt\triangleABD\(Rt\triangleACB\(Rt\triangleABC\(\text{Rt}\triangleABC\(\text{Rt}\triangleABE\(\text{Rt}\triangleODP≌\text{Rt}\triangleOEP(\text{HL})\)\text{Rt}\triangleACD(\text{HL})\)\text{Rt}\triangleBAD(\text{HL})\)Rt\triangleBAD\)Rt\triangleBDA\)Rt\triangleACD\)\text{Rt}\triangleBAD(\text{HL})$14.证明：∵$CD\perpAB\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)BE\perpAC$\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)∴$\angleADC=\angleAEB=90^\circ$在$Rt\triangleABE$和$Rt\triangleACD$中$\begin{cases}\(AB=AC\)（已知）\\AE=AD（公共∠A\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)也可用HL：\(AB=AC\)\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)AE=AD）\end{cases}$$\text{Rt}\triangleABE\(Rt\triangleABD\(Rt\triangleACB\(Rt\triangleABC\(\text{Rt}\triangleABC\(\text{Rt}\triangleABE\(\text{Rt}\triangleODP≌\text{Rt}\triangleOEP(\text{HL})\)\text{Rt}\triangleACD(\text{HL})\)\text{Rt}\triangleBAD(\text{HL})\)Rt\triangleBAD\)Rt\triangleBDA\)Rt\triangleACD\)\text{Rt}\triangleACD(\text{HL})$∴$\(AD=AE\)$∵$\(AB=AC\)$\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)∴$AB-AD=AC-AE$\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)即$\boldsymbol{\(\(\boldsymbol{BD=CE}\)\)}$15.证明：∵$PD\perpOA\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)PE\perpOB$\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)∴$\angleODP=\angleOEP=90^\circ$在$Rt\triangleODP$和$Rt\triangleOEP$中$\begin{cases}OP=OP（公共斜边）\\\(PD=PE\)（已知）\end{cases}$∴$\text{Rt}\triangleODP\(Rt\triangleABD\(Rt\triangleACB\(Rt\triangleABC\(\text{Rt}\triangleABC\(\text{Rt}\triangleABE\(\text{Rt}\triangleODP≌\text{Rt}\triangleOEP(\text{HL})\)\text{Rt}\triangleACD(\text{HL})\)\text{Rt}\triangleBAD(\text{HL})\)Rt\triangleBAD\)Rt\triangleBDA\)Rt\triangleACD\)\text{Rt}\triangleOEP(\text{HL})$∴$\(OD=OE\)$（全等三角形对应边相等）###核心知识点小结1.HL适用前提：**必须是直角三角形**\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)证明书写时要标注$Rt\triangle$。2.条件要求：一组斜边相等+一组直角边对应相等。3.直角三角形除HL外\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)普通全等判定SSS、SAS、ASA、AAS照样可用。4.易错点：AAA不能判定全等；HL不能用于锐角、钝角三角形。下一节：**14.3全等三角形的应用**专项练习\(AC\perpBC\(CD\perpAB\(PD\perpOA，PE\perpOB\)BE\perpAC\)AD\perpBD\)需要继续吗？沪科版（新教材）数学八年级上册14.2.5斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形授课教师：.

班

级：

8年级（

）班.

时

间：.

2026/10/10

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第十四章全等三角形123熟练掌握“斜边、直角边定理”，以及熟练地利用这个定理和一般三角形全等的判定方法判定两个直角三角形全等.探索出全等三角形的条件“HL”，结合图形能准确表述三角形全等.学生能运用“HL”的方法进行三角形全等的判定.知识回顾有一个角是直角的三角形叫做三角形，直角三角形；直角边直角边斜边直角三角形中叫做直角边,夹直角的两边叫做斜边，直角相对的边直角三角形ABC可以写成Rt△ABC；BCA02复习旧知判定方法简称图示三边分别相等两边及其夹角分别相等两角及其夹边分别相等两角分别相等且其中一组等角的对边相等SSSSASAASASA02创设情境

舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员带了量角器和卷尺，他想知道两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住,无法测量.你能用已学过的数学知识帮他想个办法吗？生活中的数学03新知探究操作已知：如图，Rt△ABC，其中∠C为直角.求作：Rt△A′B′C′，使∠C′为直角，A′C′=AC，A′B′=AB.作法：(1)画∠MC′N=∠C=90°；(2)在射线C′M上取C′A′=CA；(3)以A′为圆心、线段AB长为半径画弧，交射线C′N于点B′；(4)连接A′B′．B′NMA′C′ACB03新知探究ABCA'B'C'MN将画好的Rt△A'B'C'与Rt△ABC叠一叠，看看它们能否完全重合？由此你能得到什么结论？结论：Rt△A'B'C'≌Rt△ABC.03新知探究几何语言:如图，在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中：∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.(HL)BC=B'C'，定理

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简记为“斜边、直角边”或“HL”.ABCA'B'C'AC=A'C'，03新知探究例、已知：如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE=CD.求证：BD=CE.证明：∵BD，CE分别是△ABC的高，

∴∠BEC＝∠CDB＝90°.在

Rt△BEC

和

Rt△CDB

中，BC=CB，(公共边)BE=CD，(已知)∵∴Rt△BEC≌Rt△CDB.(HL)∴BD＝CE.应用“HL”的前提条件是在直角三角形中03新知探究判定直角三角形全等的方法三边对应相等SSS一锐角和它的相邻直角边对应相等

ASA一锐角和它的对边对应相等

AAS两直角边对应相等SAS斜边和一条直角边对应相等

HL直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法，还有直角三角形特有的判定方法“HL”.应根据具体问题的实际情况选择判定两个直角三角形全等的方法.1．如图，BD⊥AB，BD⊥CD，若要用“HL”判定△ABD≌△CDB，可添加下列条件中的(

)A．AD＝CB

B．AB＝CDC．∠A＝∠C

D．AD∥BC1星题基础练A2．△ABC和△DBE按如图所示的位置放置，已知∠C＝90°，DE⊥AB于点E，且AB＝DB，AC＝DE.若∠A＝35°，则∠CBD的度数为(

)A．130°B．110°C．100°D．120°B3.【教材改编题】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D为斜边BC上一点，且BD＝BA，过点D作BC的垂线交AC于点E.求证：点E在∠ABC的平分线上．证明：连接BE.∵ED⊥BC，∴∠BDE＝∠A＝90°.在Rt△ABE和Rt△DBE中，∵∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL）.∴∠ABE＝∠DBE.∴点E在∠ABC的平分线上.03新知探究例2

已知:如图AB=CD，BC=DA，E，F是AC上的两点，且AE=CF.求证：BF=DE.证明

在△ABC和△CDA中AB=CD(已知)∵BC=DA（已知）CA=AC（公共边）∴△ABC≌△CDA（SSS）∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等)03新知探究在△BCF和△DAE中BC=DA(已知)∵

∠1=∠2（已证）CF=AE（已知）∴△BCF≌△DAE(SAS)∴BF=DE(全等三角形的对应边相等)03新知探究例3、

证明：全等三角形的对应边上的高相等.已知:如图△ABC≌△A′B′C′,AD,A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高.求证：AD=A′D′.证明：∵△ABC全等于△A′B′C′（已知）∴AB=A′B′，∠B=∠B′（全等三角形的对应边相等、对应角相等）∵AD，A′D′分别是△ABC，△A′B′C′的高（已知）∴∠ADB=∠A′D′B′=90°（垂直的定义）03新知探究例3、

证明：全等三角形的对应边上的高相等.已知:如图△ABC≌△A′B′C′,AD,A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高.求证：AD=A′D′.在△ABD和△A′B′D′中∠B=∠B′(已证)∠ADB=∠A′D′B′（已证）AB=A′B′（已证）∴△ABD≌△A′B′D′(AAS)∴AD=A′D′（全等三角形的对应边相等）03新知探究

典例分析例1

已知：如图，BD，CE分别是△ABC的高，BE=CD.求证：BD=CE.课本P106页

例7ABCDE分析：BC=CB∠BEC=∠CDB=90°BE=CD

←

BD，CE分别是△ABC的高？←

公共边(证明全等)Rt△BEC≌Rt△CDB（HL）

(全等三角形的性质)BE=CE典例分析例1

已知：如图，BD，CE分别是△ABC的高，BE=CD.求证：BD=CE.证明：∴

∠BEC=∠CDB=90°∴

在Rt△BEC和Rt△CDB中∵（已知）（公共边）BE=CD，BC=CB，∴Rt△BEC≌Rt△CDB(HL)∴

BD＝CE(全等三角形对应边相等)(已知）课本P106页

例7ABCDE∵BD，CE分别是△ABC的高，(垂直的定义）练习精讲练习1

如图，∠ACB=∠ADB=90°，要证明△ABC≌

△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并填写出判定它们全等的理由.ADBC(1)AC=BD(3)∠CBA=∠DAB(2)BC=AD(4)∠CAB=∠DBA(HL)(HL)(AAS)(AAS)核心提醒：

公共边是对应边.练习精讲练习2

已知：如图，AC⊥BD于点O，且OA=OC，AB=CD.

求证：AB∥DC课本P106练习

第1题DABCO分析：AB=CD∠AOB=∠COD=90°OA=OC

←

AC⊥BD(证明全等)Rt△AOB≌Rt△COD（HL）

(全等三角形的性质)∠A=∠C(内错角相等，两直线平行)AB∥DC练习精讲练习2

已知：如图，AC⊥BD于点O，且OA=OC，AB=CD.