3.1.1二次根式的概念 课件 -2026-2027学年湘教版数学八年级上册

#湘教版数学八年级上册3.1.1二次根式的概念专项练习##知识点回顾**二次根式定义**：形如$\boldsymbol{\sqrt{a}\(a\ge0)}$的式子叫做二次根式。-$\sqrt{\\}$称为二次根号；$a$叫做被开方数。-二次根式有意义的条件：**被开方数≥0**。-性质：$\boldsymbol{\sqrt{a}\ge0\(a\ge0)}$\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)二次根式本身是一个非负数。解题要点：1.判断是\(\boldsymbol{不是}\)二次根式：①带有二次根号；②被开方数≥0；2.求取值范围：令被开方数≥0\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)解不等式；若同时在分母\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)还要分母≠0；3.几个非负数之和等于0\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)则每一项都等于0（$\sqrt{a}\ge0$\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)$|b|\ge0$\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)$c^2\ge0$）；4.$\sqrt{a}$中$a$可以是数\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)也可以是代数式。满分：100分时间：40分钟##一、选择题（每题4分\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)共20分）1.下列式子是二次根式的是（）A.$\sqrt{-3}$B.$\sqrt{4}$C.$\sqrt[3]{5}$D.$x$2.若$\sqrt{x-2}$有意义\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)则$x$的取值范围是（）A.$\(x>2\)$B.$x\ge2$C.$\(x<2\)$D.$x\le2$3.下列各式一定是二次根式的是（）A.$\sqrt{a}$B.$\sqrt{a^2}$C.$\sqrt{-a^2-1}$D.$\sqrt{a+1}$4.若$\sqrt{x+1}+\sqrt{y-2}=0$\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)则$\(x+y\)$的值为（）A.$-1$B.$1$C.$2$D.$3$5.式子$\dfrac{1}{\sqrt{x-3}}$有意义\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)则$x$的取值范围（）A.$x\ge3$B.$\(x>3\)$C.$x\le3$D.$\(x<3\)$##二、填空题（每题4分\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)共20分）1.二次根式$\sqrt{x-5}$有意义\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)则$x$________。2.当$\(x=\)$________时\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)$\sqrt{x+2}=0$。3.判断：$\sqrt{-5}$____二次根式（填“是”或“\(\boldsymbol{不是}\)”）。4.若$\sqrt{(x-1)^2}$有意义\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)则$x$取值范围________。5.已知$\sqrt{a-2}+|b+3|=0$\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)则$\(a+b=\)$________。##三、基础解答题（每题8分\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)共32分）1.判断下列哪些是二次根式：（1）$\sqrt{7}$（2）$\sqrt{-0.2}$（3）$\sqrt{m^2+1}$（4）$\sqrt[3]{9}$2.求下列二次根式中字母的取值范围：（1）$\sqrt{2x-4}$（2）$\sqrt{3-x}$3.求取值范围：（1）$\sqrt{x}+\dfrac{1}{x-1}$（2）$\dfrac{\sqrt{x+1}}{x-2}$4.已知$\sqrt{x-3}+\sqrt{4-y}=0$\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)求$\(x,y\)$的值。##四、拓展提升题（每题14分\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)共28分）1.若$y=\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}+5$\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)求$\(x+y\)$的值。2.已知$\(a,b\)$满足$\sqrt{a-1}+(b+2)^2=0$\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)求$(a+b)^{2026}$的值。---#参考答案与解析##一、选择题1.B解析：A被开方数负数；C是三次根式；D没有根号。2.B解析：$x-2\ge0\Rightarrowx\ge2$。3.B解析：$a^2\ge0$恒成立；A缺少$a\ge0$；C被开方数永远负数。4.D解析：两个非负数相加为0\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)各自为0：$x+1=0,y-2=0$\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)$\(x=\)-1,y=2$\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)$\(x+y\)=3$。5.B解析：根号内$x-3>0$\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)分母不能等于0。##二、填空题1.$\boldsymbol{\ge5}$2.$\boldsymbol{-2}$3.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{不是}\)}$4.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{全体实数}\)}$5.$\boldsymbol{-1}$##三、基础解答题1.解：（1）是；（2）\(\boldsymbol{不是}\)；（3）是；（4）\(\boldsymbol{不是}\)（三次根号）2.（1）$2x-4\ge0\Rightarrow\boldsymbol{x\ge2}$（2）$3-x\ge0\Rightarrow\boldsymbol{x\le3}$3.（1）$\begin{cases}x\ge0\\x-1\neq0\end{cases}$\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)$\boldsymbol{x\ge0\(\boldsymbol{x\ge0\(\boldsymbol{x\ge-1且x\neq2}\)x\neq1}\)x\neq1}$（2）$\begin{cases}x+1\ge0\\x-2\neq0\end{cases}$\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)$\boldsymbol{x\ge-1\(\boldsymbol{x\ge0\(\boldsymbol{x\ge-1且x\neq2}\)x\neq1}\)x\neq2}$4.解：$\because\sqrt{x-3}\ge0\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)\sqrt{4-y}\ge0$\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)和为0$\thereforex-3=0\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)4-y=0$$\boldsymbol{\(x=\)3\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)y=4}$##四、拓展提升题1.解：$\begin{cases}x-2\ge0\\2-x\ge0\end{cases}\Rightarrow\(x=\)2$代入得$\(y=0+0+5=5\)$$\(x+y\)=2+5=\boldsymbol{7}$2.解：$\sqrt{a-1}\ge0\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)(b+2)^2\ge0$$\thereforea-1=0,b+2=0$$a=1,b=-2$$(a+b)^{2026}=(-1)^{2026}=\boldsymbol{1}$##易错警示1.二次根式两个条件：**二次根号+被开方数≥0**\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)缺一不可；2.分式+二次根式组合：既要保证根号内≥0\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)分母≠0；3.非负性：$\sqrt{a}\ge0$\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)几个非负数相加等于0\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)每一项都等于0；4.区分二次根式$\sqrt{a}$和三次根式$\sqrt[3]{a}$。下一节：**3.1.2二次根式的性质**\(\because\sqrt{x-3}\ge0\(\thereforex-3=0\(\boldsymbol{x=3\(\sqrt{a-1}\ge0，(b+2)^2\ge0\)y=4}\)4-y=0\)\sqrt{4-y}\ge0\)继续同模板吗？湘教版（新教材）数学八年级上册3.1.1二次根式的概念授课教师：.

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8年级（

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2026/10/10

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第3章二次根式123了解二次根式的定义；理解二次根式在实数范围内有意义的条件；（重点）掌握二次根式的两条重要性质.（重点）知识回顾问题1什么叫做平方根?问题2什么叫做算术平方根?

一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.

02新知导入（1）正方形的面积为2，它的边长为______________;正方形的面积为3，它的边长为______________;正方形的面积为5，它的边长为______________;正方形的面积为7，它的边长为______________.

02新知导入（2）用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度（称为第一宇宙速度），才能克服地球的引力，将飞船送入环地球运行的轨道.第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系：v2=gR，其中g为重力加速度.若已知地球的半径R，则第一宇宙速度v是多少？（用带有根号的式子表示）

02新知导入

03新知探究探究一二次根式的概念

解：（1）（2）（5）是二次根式。03新知探究

03新知探究探究二二次根式有意义的条件问题1：正实数a的平方根是什么？它的算术平方根是什么？

03新知探究由算术平方根和二次根式的概念可