人教A版高中数学必修一 第二课时　单调性与最值

第二课时单调性与最值学习目标1.掌握y=sinx,y=cosx的单调性,并能利用单调性比较大小.2.会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的单调区间.3.掌握y=sinx,y=cosx的最大值与最小值,会求简单三角函数的值域和最值.【引入】过山车是一项富有刺激性的娱乐工具,该运动包含了许多物理学原理,人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理.如果能亲身体验一下过山车,那感觉真是妙不可言.其过程包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)几个循环路径.三角函数y=sinx与y=cosx也像过山车一样“爬升”“滑落”,这是y=sinx,y=cosx的哪些性质?这就是我们本节要研究的问题.探究观察正弦函数y=sinx,x∈-π2,3π函数值是怎样变化的?提示由图可知,区间-π2,3π2正好是函数的一个周期,其中函数在区间-π当x=π2时,ymax当x=-π2或3π2时正弦函数、余弦函数的单调性与最值(表中k∈Z)正弦函数余弦函数图象值域[-1,1][-1,1]单调性在-π2+2kπ,π2在[-π+2kπ,2kπ]上单调递增,在[2kπ,π+2kπ]上单调递减最值当x=π2+2kπ时,ymax当x=-π2+2kπ时,ymin当x=2kπ时,ymax=1;当x=π+2kπ时,ymin=-1温馨提示(1)k取Z内的每一个值,都对应着一个增区间及减区间,这些区间是断开的.(2)正弦函数和余弦函数不是定义域内的单调函数.一、求正、余弦函数的单调区间例1(链接教材P207例5)求函数y=2sinx-π解令z=x-π3,则y=2sinz∵z=x-π3是增函数∴y=2sinz单调递增时,函数y=2sinx-π由2kπ-π2≤z=x-π3≤2kπ+π2,k得2kπ-π6≤x≤2kπ+5π6,k∈故函数y=2sinx-π3的单调递增区间是2迁移(1)本例中,若x∈[0,2π],试求函数的单调递增区间.(2)求函数y=sinπ3-解(1)由例题知,f(x)=2sinx-π3的单调递增区间为2又x∈[0,2π],∴0≤x≤5π6或116π∴函数y=2sinx-π3,x∈[0,2π](2)y=sinπ3-x令π2+2kπ≤x-π3≤3π2+2kπ,k得5π6+2kπ≤x≤11π6+2kπ,k∈∴函数y=sinπ35π6+2kπ,11π思维升华1.求y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间,采用“换元法”整体代换,将“ωx+φ”看成一个整体“z”,利用正(余)弦函数的单调性,求原函数的单调性.若ω<0,则利用诱导公式,先将x的系数转化为正数.2.结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间是求解的关键.求单调区间时,需将最终结果写成区间形式,并注意k∈Z.训练1求函数y=cosπ6-2解y=cosπ6-2x令2kπ-π≤2x-π6≤2kπ(k∈Z得2kπ-5π6≤2x≤2kπ+π6(k∈∴kπ-5π12≤x≤kπ+π12(k∈∴单调递增区间为kπ-5π12,k二、求正弦、余弦函数的最值(值域)例2(1)若x是△ABC中的最小内角,则y=sinx的值域为.

(2)(链接教材P205例3)函数y=3-4cos2x+π3的最大值为,此时自变量x答案(1)0,32(2)7解析(1)在△ABC中,可知A+B+C=π,因为x是△ABC中的最小内角,所以3x≤π,可得0<x≤π3又函数y=sinx在区间0,π3且sin0=0,sinπ3=3所以sinx∈0,3即函数y=sinx的值域为0,3(2)当2x+π3=π+2kπ,k∈Z则x=π3+kπ,k∈Z时4cos2x+∴y=3-4cos2x+思维升华形如y=Asin(ωx+φ)+b(或y=Acos(ωx+φ)+b)型,可先由定义域求得ωx+φ的范围,然后求得sin(ωx+φ)(或cos(ωx+φ))的范围,最后求得值域(最值).但要注意对A正、负的讨论.训练2已知函数y=a-bcos2x+π6(b>0)的最大值为32(1)求a,b的值;(2)求函数g(x)=-4asinbx-π3的最小值,并求出对应的解(1)易知-1≤cos2x+因为b>0,所以-b<0,所以y所以a=12,b(2)由(1)知g(x)=-2sinx-因为sinx-π所以-2≤g(x)≤2.所以g(x)的最小值为-2,此时sinx-所以x-π3=2kπ+π2,则x=2kπ+56π,k故对应的x的取值集合为xx三、利用单调性比较大小例3(链接教材P206例4)比较下列各组数的大小:(1)cos-235π与(2)sin164°与cos110°.解(1)cos-235π=cos=cos35cos-174π=cos174π=cos4π+∵0<π4<3且y=cosx在[0,π]上是减函数,∴cos35π<cosπ故cos-235π(2)sin164°=sin(180°-16°)=sin16°,cos110°=cos(90°+20°)=-sin20°.因为sin16°>0,-sin20°<0,所以-sin20°<sin16°,即cos110°<sin164°.思维升华1.比较大小时,对于正弦函数来说,一般将两个角转化到-π2,π2或π2,3π2内2.对于异名函数应先将异名化同名,把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间,再利用单调性来比较大小.训练3(链接教材P207练习T4)比较下列各组数的大小:(1)cos15π8与cos14π(2)cos1与sin2.解(1)cos15π8=cos2π-π8=coscos14π9=cos2π-14π9=cos∵函数y=cosx在[0,π]上单调递减,且0<π8<4π∴cosπ8>cos4π9,故cos15π8>cos(2)∵cos1=sinπ2+1,且y=sinx在π又3π2>π2+1>2>∴sinπ2+1<sin故cos1<sin2.【课堂达标】1.y=2cos3x+π3A.[-2,2] B.[0,2]C.[-2,0] D.[-1,1]答案A解析因为cos3x+所以y∈[-2,2].2.函数y=cosπ4-3x的单调递减区间是A.π12+2kπB.-π4+2kC.π12+2kπ,5πD.-π4+2kπ,答案A解析函数y=cosπ4-3x令2kπ≤3x-π4≤2kπ+π,k∈Z得2kπ3+π12≤x≤2kπ3故单调递减区间为2kπ3+π3.函数y=sinx2-π3答案x解析当x2-π3=π2+2kπ,k即x=5π3+4kπ,k∈Z时,函数取最大值4.sin1,sin2,sin3按从小到大排列的顺序为.

答案sin3<sin1<sin2解析∵1<π2sin(π-2)=sin2,sin(π-3)=sin3.y=sinx在0,π2且0<π-3<1<π-2<π2∴sin(π-3)<sin1<sin(π-2),故sin3<sin1<sin2.课时精练一、基础巩固1.使y=sinx和y=cosx均为减函数的一个区间是()A.0,π2C.π,3π2答案B解析由y=sinx,x∈[0,2π]与y=cosx,x∈[0,2π]的图象(图略)知均为减函数的一个区间是π22.函数f(x)=sin2x-π4在区间0,A.-1 B.-2C.22答案B解析∵x∈0,π2,∴2x-π4∴sin2x-π∴f(x)min=-223.“0<x<π6”是“sinx<12”的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析因为当0<x<π6时,有sinx<1所以充分性满足;反之,若sinx<12,取sinx=-1则x=-π6+2kπ(k∈Z)或x=7π6+2kπ(k∈Z),都不在0,π6所以“0<x<π6”是“sinx<12”4.下列关系式正确的是()A.sin11°<cos10°<sin168°B.sin168°<sin11°<cos10°C.sin11°<sin168°<cos10°D.sin168°<cos10°<sin11°答案C解析易得sin168°=sin(180°-12°)=sin12°,cos10°=sin(90°-10°)=sin80°,∵y=sinx在0,π2上单调递增,∴sin11°<sin12°<sin80°,即sin11°<sin168°<cos10°.故选C.5.若函数f(x)=-2sin2x+π4,则f(x)A.-π8C.-3π8答案D解析∵f(x)=-2sin2x∴由2kπ+π2≤2x+π4≤2kπ+3π2,k得kπ+π8≤x≤kπ+5π8,k∈当k=0时,得π8≤x≤5π即f(x)的一个单调递增区间可以是π86.函数f(x)=-3cos2x+π6+1,x∈-A.-12C.1-3,答案C解析因为x∈-π所以2x+π6∈-则cos2x+π故-3cos2x+π故f(x)的值域为1-37.(多选)下列是函数y=|cosx|的单调递增区间的是()A.-π2C.π,32答案AD解析函数y=|cosx|=cosx,cos单调递增区间有-π2,0,π2,π8.函数y=cosx在区间[-π,a]上单调递增,则a的取值范围是.

答案(-π,0]解析因为y=cosx在[-π,0]上单调递增,在[0,π]上单调递减,所以-π<a≤0时满足条件.9.函数y=2sinπ3-x-cosπ6答案-1解析∵y=2sinπ2-=2cosx+π6-cosπ∴当x+π6=2kπ+π,k∈Z,函数取最小值为10.若0<α<β<π4,a=2sinα+π4,b=2sinβ+π4,则答案a<b解析因为0<α<β<π4所以π4<α+π4<β+π4又正弦函数y=sinx在0,π2所以sinα+π4<sinβ+π411.比较下列各组数的大小:(1)cos-π8与cos(2)sin-20π7与cos解(1)cos-π8=coscos13π7=cosπ+6π7=-cos6π因为0<π8<π7<π,且y=cosx在(0,π)上单调递减,所以cosπ8故cos-π8>cos(2)sin-20π7=sin8π7cos-10π3=cos2π3=-cosπ又y=sinx在-π2∴sinπ7<sinπ6,则-sinπ7所以sin-20π7>cos二、综合运用12.在△ABC中,角A,B均为锐角,且cosA>sinB,则()A.cosC>0 B.cosC<0C.cosC=0 D.cosC≥0答案B解析因为角A,B均为锐角,所以0<A<π2,0<π2-B<∵cosA>sinB⇒cosA>cosπ2又y=cosx在0,π2所以A<π2-B,则A+B<π因此C=π-(A+B)>π2在△ABC中,π2<C<π,故cosC13.若f(x)=2sinωx(0<ω<1)在区间0,π3上的最大值是2,则ω=答案3解析∵0≤x≤π3,且0<ω∴0≤ωx≤ωπ3<∵f(x)max=2sinωπ3=∴sinωπ3=22,ωπ3=π414.(链接教材P214习题5.4T16)设函数f(x)=2sin2x-π4,(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)求函数f(x)在区间π8,3π4上的最小值和最大值,解(1)最小正周期T=2π2由2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2(k得kπ-π8≤x≤kπ+3π8(k∈所以函数f(x)的单调递增区间是kπ-π8,k(2)令t=2x-π4,由π8≤x≤3π4得0≤t所以当t=5π4,即x=3π4ymin=2×-2当t=π2,即x=3π8时,ymax=2×1=三、拓展提高15.已知函数f(x)=sinωx-π4(ω>0),f(x)在0,π4上单调,则答案3解析因为x∈0,π4,所以ωx-π4∈-π4,π4ω-π4,因为f(x)在0,π4上单调,所以π16.已知函数f(x)=2sin(2x+φ)-π2<φ<π2,(1)求函数f(x)的最小正周期及φ的值;(2)求函数f(x)的最大