人教A版高中数学必修一 第二课时　等式性质与不等式性质

第二课时等式性质与不等式性质学习目标1.了解等式的性质.2.掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题.【引入】通过上节课的学习,我们学会:(1)可以用等式和不等式来表示现实生活中的相等关系和不等关系;(2)关于两个实数大小关系的基本事实为研究不等式的性质奠定了基础,那么不等式到底有哪些性质呢?本节课我们一起探究等式性质和不等式性质.一、等式性质与不等式性质探究1判断下列命题是否正确?(1)如果a=b,那么b=a;(2)如果a=b,b=c,那么a=c;(3)如果a=b,那么a+c=b+c;(4)如果a=b,那么ac=bc;(5)如果a=b,c≠0,那么ac=b提示五个命题均正确,揭示了等式的基本性质.探究2类比以上等式的性质,你能猜想出不等式的性质吗?完成“知识梳理”中的图表填空.不等式性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a可逆2传递性a>b,b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a+c>b+c可逆4可乘性a>b,c>0⇒ac>bca>b,c<0⇒ac<bcc的符号5同向可加性a>b,c>d⇒a+c>b+d同向6同向同正可乘性a>b>0,c>d>0⇒ac>bd同向7可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2)同正温馨提示(1)性质3(可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后,可以把它从一边移到另一边”的依据.(2)性质4(可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”.(3)性质5(同向可加性),即“同向不等式只能相加,不等号方向不变,不能相减”.例1(1)(多选)若1a<1b<0,则下面四个不等式成立的有(A.|a|>|b| B.a<bC.a+b<ab D.a3>b3(2)(链接教材P43习题2.1T8)已知实数a,b,c,d满足a>b>c>d,则下列选项中正确的是()A.a+d>b+c B.a+c>b+dC.ad>bc D.ac>bd答案(1)CD(2)B解析(1)由1a<1b<0可得b<从而|a|<|b|,A,B均不正确;a+b<0,ab>0,则a+b<ab成立,C正确;a3>b3,D正确.(2)不妨设a=2,b=1,c=0,d=-1,此时a+d=b+c=1,故A错误;ad=-2<bc=0,故C错误;设a=-3,b=-4,c=-5,d=-6,则ac=15<bd=24,故D错误;因为a>b,c>d,根据不等式的性质同向可加性得a+c>b+d,故B正确.思维升华利用不等式的性质判断命题真假的注意点:(1)要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能想当然随意构造性质.(2)采用特殊值法进行排除,注意取值一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算.训练1(1)已知a+b<0,且a>0,则()A.a2<-ab<b2 B.b2<-ab<a2C.a2<b2<-ab D.-ab<b2<a2(2)(链接教材P42练习T2)(多选)已知a,b,c,d均为实数,则下列命题正确的是()A.若a<b,c<d,则ac<bdB.若ab>0,bc-ad>0,则ca-dC.若a>b,c>d,则a-d>b-cD.若a>b,c>d>0,则ad>答案(1)A(2)BC解析(1)由a+b<0,且a>0,得0<a<-b.∴a2<-ab,且-ab<(-b)2=b2,因此a2<-ab<b2.(2)若a<0<b,c<d<0,则ac>bd,故A错误.若ab>0,bc-ad>0,则ca-db=故B正确.若c>d,则-d>-c.又a>b,∴a-d>b-c,故C正确.若a=-1,b=-2,c=2,d=1,则ad=bc=-1,故D二、利用不等式的性质证明不等式例2(链接教材P43习题2.1T7)已知a>b>0,c<d<0,e<0,试证明:e(a-证明因为c<d<0,所以-c>-d>0,又a>b>0,所以a-c>b-d>0,则(a-c)2>(b-d)2>0,因此1(a-又e<0,所以e(a-思维升华1.利用不等式的性质解题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.2.应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.训练2(1)已知a>b,e>f,c>0,求证:f-ac<e-bc.(2)已知a<b<0,求证:ba<a证明(1)因为a>b,c>0,所以ac>bc,即-ac<-bc.又e>f,即f<e,所以f-ac<e-bc.(2)由于ba-ab=b2∵a<b<0,∴b+a<0,b-a>0,ab>0,∴(b+a)(b-三、利用不等式的性质求代数式的范围例3(链接教材P43T5)已知1<a<4,2<b<8,试求2a+3b与a-b的取值范围.解∵1<a<4,2<b<8,∴2<2a<8,且6<3b<24,∴8<2a+3b<32.∵2<b<8,∴-8<-b<-2.又∵1<a<4,∴-7<a-b<2.故2a+3b的取值范围是8<2a+3b<32,a-b的取值范围是-7<a-b<2.迁移若将条件改为“1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3”,求3a-2b的取值范围.解令3a-2b=m(a+b)+n(a-b)(m,n∈R),即3a-2b=(m+n)a+(m-n)b,则m则12≤12(a+b)≤52,-52≤52(a-所以-52+12≤52(a-b)+12(a+b)≤即-2≤3a-2b≤10,因此3a-2b的取值范围是-2≤3a-2b≤10.思维升华1.建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最后利用一次不等式的性质进行运算,求得待求的范围.2.同向不等式的两边可以相加,这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围.训练3已知-π2<β<α<π2,求2α-β解∵-π2<α<π2,-π2<β∴-π2<-β<π2,∴-π<α-β又∵β<α,∴α-β>0,∴0<α-β<π,又2α-β=α+(α-β),∴-π2<2α-β<32【课堂达标】1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是()A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>bC.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b答案C解析由a+b>0知,a>-b,∴-a<b<0.又b<0,∴-b>0,∴a>-b>b>-a.2.设a>b>0,c<d<0,则下列不等式中一定成立的是()A.ac>bd B.ad<C.ad>bc D.ac2<答案B解析a>b>0,c<d<0,即为-c>-d>0,则有-ac>-bd>0,即ac<bd<0,故A错;由cd>0,又ac<bd<0,两边同乘1cd,得ad<bc,则B对由-c>-d>0,-ac>-bd>0,可得ac2>bd2,则D错.3.不等式a>b和1a>1b同时成立的条件是答案a>0>b解析∵1a-1b=∴a>b和1a>1b同时成立的条件是a>0>4.若2<a<5,3<b<10,则a-2b的取值范围为,ba的取值范围是.答案-18<a-2b<-135<b解析由3<b<10得-20<-2b<-6,又2<a<5,所以-18<a-2b<-1.由2<a<5得15<1a<又3<b<10,所以35<ba课时精练一、基础巩固1.下列说法正确的是()A.若a>b,则ac2>bc2B.若a>b,则a-1<b-2C.若ac2>bc2,D.若a>b,则a2>b2答案C解析对于A,当c=0时,由a>b,得ac2=bc2,A错误;对于B,若a>b,则a-1>b-1>b-2,B错误;对于C,若ac2>bc2,则c≠0,即c2>0,故a>对于D,若a>b,不妨取a=-1,b=-2,则a2<b2,D错误.2.已知x>1,-1<y<0,a=x-y,b=x+y2,c=x2-y,则()A.a>b>c B.c>a>bC.a>c>b D.c>b>a答案B解析∵x>1,-1<y<0,∴c-a=x2-y-(x-y)=x(x-1)>0,a-b=x-y-(x+y2)=-y(1+y)>0.因此c>a>b.3.设a,b∈R,若a+|b|<0,则下列不等式正确的是()A.a-b>0 B.a3+b3>0C.a2-b2<0 D.a+b<0答案D解析本题可采用特殊值法,取a=-2,b=1,则a-b<0,a3+b3<0,a2-b2>0,a+b=-1<0.故A,B,C错误,D正确.4.(多选)设a<b<0,则下列不等式正确的是()A.2a>2b B.acC.|a|>-b D.-a>答案ACD解析a<b<0,则2a>2b,选项A当c>0时,ac<bc,其余情况不成立,则选项B不正确;|a|=-a>-b,则选项C正确;由-a>-b>0,可得-a>-b,则选项D5.若1<a<3,-4<b<2,那么a-|b|的范围是()A.-3<a-|b|≤3 B.-3<a-|b|<5C.-3<a-|b|<3 D.1<a-|b|<4答案C解析∵-4<b<2,∴0≤|b|<4,∴-4<-|b|≤0.又∵1<a<3,∴-3<a-|b|<3.6.(多选)若m≥1,则下列选项正确的是()A.1-m≤0 B.m3≥1C.m2≤m D.m-1答案AB解析因为m≥1,所以-m≤-1,1-m≤0,故A正确;由不等式的性质可得m3≥1,故B正确;当m=2时,m2>m,故C错误;当m=1时,m-1=0,故D错误7.(多选)已知a>-b>0,c<0,则下列不等式不恒成立的是()A.ca>cb B.aC.a(1-c)>b(c-1) D.b(1+c)<b(1-c)答案ABD解析依题意a>0,b<0,c<0,∴ca<0<cb,故A当a=2,b=-1,c=-1时,ab=ac,b(1+c)>b(1-c),故B,D对于C,a(1-c)-b(c-1)=(a+b)(1-c),∵a>-b>0,c<0,∴a+b>0,1-c>0,则(a+b)(1-c)>0,故a(1-c)>b(c-1),故C恒成立.8.已知1<α<3,-4<β<2,若z=12α-β,则z的取值范围是.答案z解析∵1<α<3,∴12<12α<又-4<β<2,∴-2<-β<4,∴-32<12α-β<112,故-32<9.若a<b<0,则1a-b与1a答案1a-解析1a-b-1a=∵a<b<0,∴a-b<0,则b(a-b)10.若-1<a+b<3,2<a-b<4,则b的取值范围是,2a+b的取值范围是.

答案-52<b<12-12<2a+解析因为2<a-b<4,所以-4<b-a<-2,又-1<a+b<3,所以-5<(a+b)+(b-a)<1,则-52<b<1设2a+b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b,所以m所以2a+b=32(a+b)+12(a-b又-1<a+b<3,2<a-b<4,所以-12<2a+b<1311.已知a>b>0,c<d<0,|b|>|c|,求证:(1)b+c>0;(2)ba-c证明(1)因为|b|>|c|且b>0,c<0,所以b>-c,即b+c>0.(2)因为c<d<0,所以-c>-d>0.又a>b>0,所以a-c>b-d>0,所以1b-d>1a-c>0,所以二、综合运用12.已知x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式中一定成立的是()A.xy>yz B.xz>yzC.xy>xz D.x|y|>z|y|答案C解析因为x>y>z,x+y+z=0,所以3x>x+y+z=0,3z<x+y+z=0,所以x>0,z<0,所以由x>0,y>z,13.(多选)若正实数x,y满足x>y,则下列结论正确的是()A.xy<y2 B.x2>y2C.yx<y+mx+m(m答案BCD解析由于x>y>0,∴xy>y2,x2>y2.所以A错误,B正确.C中,由于x,y为正实数,且x>y,m>0,所以y(x+m)-x(y+m)=m(y-x)<0,则y(x+m)<x(y+m),所以yx<y+mx+mD中,由于x,y为正实数,且x>y,所以x>x-y>0,取倒数得0<1x<1故D选项正确.14.下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目,请你看看他们做得对吗?如果不对,请指出错误的原因.甲:因为-6<a<8,-4<b<2,所以-2<a-b<6.乙:因为2<b<3,所以13<1b<又因为-6<a<8,所以-2<ab<4丙:因为2<a-b<4,所以-4<b-a<-2.又因为-2<a+b<2,所以0<a<3,-3<b<0,所以-3<a+b<3.解甲同学做的不对,因为同向不等式具有可加性,但不能相减,甲同学对同向不等式求差是错误的.乙同学做的不对,本题中只知道-6<a<8,不明确a值的正负.故不能将13<1b<12与-6<a<8两边分别相乘丙同学做的不对.同向不等式两边可以相加,这种转化不是等价变形.丙同学将2<a-b<4与-2<a+b<2两边相加得0<a<3,又将-4<b-a<-2与-2<a+b<2两边相加得出-3<b<0,又将该式与0<a<3两边相加得出-3<a+b<3,多次使用了这种转化,导致了a+b范围的扩大.三、拓展