人教A版高中数学必修一 第二课时　换底公式

第二课时换底公式学习目标1.掌握换底公式及其推论.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.【引入】若已知2x=m,3x=n,则6x=(2×3)x=2x×3x=mn,这个过程实际上是把计算以6为底的指数幂转化为以2与3为底的指数幂进行计算,那么对数是否有类似的性质呢?一、对数的换底公式及应用探究假设log25log23=x,则log25=xlog23,即log25=log23x提示x=log35,从而x=log25lo1.对数换底公式:logab=logcblogcab>0;c>0,且c≠1).2.对数换底公式的重要推论(1)logaN=1logNa(N>0,且N≠1;a>0,且(2)loganbm=mnlogab(a>0,且a≠1,(3)logab·logbc·logcd=logad(a>0,b>0,c>0,d>0,且a≠1,b≠1,c≠1).特别地,logab·logba=1.温馨提示(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义.(2)在具体运算中,我们习惯换成常用对数或自然对数,即logab=lgblga或logab例1(链接教材P126练习T3)计算:(1)log29·log34;(2)lo解(1)由换底公式可得,log29·log34=lg9lg2·lg4lg3=2lg3(2)原式=log52log513=lg2lg13×lg9lg41思维升华利用换底公式进行化简求值的原则和技巧训练1(1)若log3b·log53=3,则b=()A.6 B.5C.35 D.53(2)(log32+log92)(log43+log83)=.

答案(1)D(2)5解析(1)因为log3b·log53=lgblg3·lg3lg5=lgblg5=log5b=3,(2)原式=lg2=lg2lg3+lg22lg3lg32lg2+二、对数与指数的综合应用例2(1)设3a=4b=36,求2a+1b(2)已知2x=3y=5z,且1x+1y+求x,y,z.解(1)法一由3a=4b=36,得a=log336,b=log436,由换底公式得1a=log363,1b=log∴2a+1b=2log363+log364=log36法二由3a=4b=36,两边取以6为底数的对数,得alog63=blog64=log636=2,∴2a=log63,1b=12log6∴2a+1b=log63+log62=log6(2)令2x=3y=5z=k(k>0),∴x=log2k,y=log3k,z=log5k,∴1x=logk2,1y=logk3,1z由1x+1y+得logk2+logk3+logk5=logk30=1,∴k=30,∴x=log230=1+log215,y=log330=1+log310,z=log530=1+log56.思维升华1.在对数式、指数式的互化运算中,要注意灵活运用定义、性质和运算法则,尤其要注意条件和结论之间的关系,进行正确的相互转化.2.对于连等式可令其等于k(k>0),然后将指数式用对数式表示,再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数,从而使问题得解.训练2若2a=5b=zc,且1a+1b=1c,则z的值为A.7 B.10C.7 D.10答案B解析设2a=5b=zc=k>0,则a=log2k,b=log5k,c=logzk,所以1a+1b=1log2k+=logk(2×5)=logk10=1c=logkz所以z=10.三、实际问题中的对数运算例3(链接教材P126例5)在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(单位:m/s)和燃料的质量M(单位:kg),火箭(除燃料外)的质量m(单位:kg)满足ev=1+Mm2000ln3≈1.099).当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时,求火箭的最大速度(单位:m/s).解因为v=ln1+Mm2000=2000·所以v=2000·ln3≈2000×1.099=2198(m/s).故当燃料质量M为火箭质量m的两倍时,火箭的最大速度为2198m/s.思维升华1.对数在实际中的应用十分广泛,解决此类问题的关键在于理解题意,提炼出对数的相关知识,以及认真分析题目中给出的相关数据.2.将相关数据代入,准确利用对数运算性质、换底公式进行计算,必要时注意指数与对数的灵活转化.训练3某化工厂生产一种溶液,按市场需求,杂质含量不能超过0.1%.若初始时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少13.要使产品达到市场要求,则至少应过滤的次数为(已知:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)(A.6 B.7C.8 D.9答案C解析设至少需要过滤n次,则0.02×1-13n≤即23n≤又y=23x∴n≥log23120=lg120lg2又n∈N,所以n≥8.所以至少过滤8次才能使产品达到市场要求.【课堂达标】1.已知log23=a,log27=b,则log4256=()A.3+b1+aC.3+b1+2a答案A解析由换底公式及运算性质化简整理,得log4256=log2=log将log23=a,log27=b代入上式,得log4256=3+b1+a+2.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080,则下列各数中与MN最接近的是(参考数据:lg3≈0.48)(A.1033 B.1053C.1073 D.1093答案D解析依题设,lgMN=lgM-lgN=361·lg3-80≈361×0.48-80=93.28所以MN=1093.28最接近10933.lg8×log25×log54=.

答案6lg2解析lg8×log25×log54=3lg2×lg5lg2×lg4lg5=3lg4=6lg2.故答案为6lg4.已知2a=5b=M,且2a+1b=2,则M的值是答案25解析因为2a=5b=M,且2a+1所以a=log2M,b=log5M,所以1a=logM2,1b=log所以2a+1b=logM4+logM5=log所以M2=20,又M>0,所以M=25.课时精练一、基础巩固1.化简得log832的值为()A.12 B.C.4 D.5答案D解析log832=log232log2.log29×log34等于()A.14 B.C.2 D.4答案D解析法一原式=lg9lg2×lg4lg3=2lg3法二原式=2log23×log24lo3.1log1419A.lg3 B.-lg3C.1lg3 D.-答案C解析原式=log1914+log1315=log14.计算(log32+log23)2-log32log2A.log26 B.log36C.2 D.1答案C解析原式=(log32)2+2log32×log23+(log23)2-(log32)2-(log23)2=2.5.若2a=5,则lg2=()A.aa+1 BC.1a+1 D答案C解析由2a=5可得a=log25,则有a=lg5lg2,即alg2=lg5=1-lg得(a+1)lg2=1,因为2a=5>1,所以a>0,即a+1≠0,所以lg2=1a+1.故选6.随着人们健康水平的不断提高,某种疾病在某地的患病率以每年10%的比例降低,若要将当前的患病率降低到原来的一半,需要的时间至少为年(lg2≈0.3010,lg3≈0.4771).()

A.6 B.7C.8 D.9答案B解析设至少需要n年的时间,则(1-10%)n=12,两边取常用对数得nlg0.9=-lg2,即n=-lg2lg0.9=-lg22lg3-1≈-0.30102故需要的时间至少是7年.7.若2a=3b=6c,则1a+1b-1cA.0 B.1C.2 D.3答案A解析令2a=3b=6c=k(k>0且k≠1),∴alogk2=blogk3=c·logk6=1,则1a=logk2,1b=logk3,1c所以1a+1b-1c=logk2+logk3-log8.若ln3=a,则log9e=.

答案1解析因为ln3=a,则ea=3,所以log9e=lneln9=1ln(e9.若log513·log36·log6x=2,则x=.答案1解析log513·log36·log6=-log53·log36·log6x=-log5x,则log5x=-2,所以x=5-2=12510.已知2x=3,log483=y,则x+2y的值为.答案3解析由2x=3得x=log23,∴x+2y=log23+2log483=log23+=log23+(3log22-log23)=3.11.设xa=yb=zc,且1a+1b=1c,求证:z证明设xa=yb=zc=k,k>0,则a=logxk,b=logyk,c=logzk.因为1a+1b=所以1logxk+即logkx+logky=logkz.所以logk(xy)=logkz,即z=xy.二、综合运用12.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=52lgE1E2,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,A.1010.1 B.10.1C.lg10.1 D.10-10.1答案A解析设太阳的星等为m1,天狼星的星等为m2,则太阳与天狼星的亮度分别为E1,E2.由题意知,m1=-26.7,m2=-1.45,由m2-m1=52lgE得52lgE1E2=-1.45+26.∴lgE1E2=25.25×25=10.1,∴E1故太阳与天狼星的亮度的比值为1010.1.13.已知2a=6,3b=36,则4a9b=,1a+2答案136解析因为2a=6,3b=36,所以a=log26,b=log336,所以4a9b=4log261a+2b=1log26+214.若lga+lgb=2,lga·lgb=12,求lg(ab)·(logab+logba)的值解因为lga+lgb=2,lga·lgb=12所以lg(ab)·(logab+logba)=(lga+lgb)·lg=(lga+lgb)·(lg=(lga+lgb)·(lg=2×22故lg(ab)·(logab+logba)=12.三、拓展提高15.已知a>b>1,若logab+logba=103,ab=ba,则ab=.答案9解析∵logab+logba=1logba+logb∴3(logba)2-10logba+3=0,解得logba=3或logba=13