人教A版高中数学必修一 第二课时　指数函数的图象和性质(二)

第二课时指数函数的图象和性质(二)学习目标1.进一步熟练掌握指数函数的图象、性质.2.能判断与证明指数型函数的单调性.3.能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小、解不等式.一、指数型函数的单调性及最值一般地,形如y=af(x)(a>0,且a≠1)函数的性质:(1)函数y=af(x)与函数y=f(x)有相同的定义域.(2)当a>1时,函数y=af(x)与y=f(x)具有相同的单调性;当0<a<1时,函数y=af(x)与y=f(x)具有相反的单调性.例1(链接教材P120T9)判断f(x)=13x2-2解令u=x2-2x,则原函数变为y=13∵u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,又y=13u在(-∞,+∞)∴y=13x2-2x在在(1,+∞)上单调递减.∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,∴y=13u,u∈[-1,+∴0<13u≤∴当x=1时,原函数的最大值为3,无最小值.思维升华1.指数型函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的单调性由两点决定:一是底数;二是f(x)的单调性,它由两个函数y=au,u=f(x)复合而成.2.求复合函数的单调区间时,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成y=f(u),u=φ(x),通过f(u)和φ(x)的单调性求出y=f[φ(x)]的单调性.训练1(1)函数y=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上最大值与最小值的差为2,则a=.

(2)函数f(x)=14x-12x+1在[-1,2]上的最小值是,答案(1)2(2)34解析(1)y=ax(a>0且a≠1)在[1,2]上是单调函数,当a>1时,a2-a=2,解得a=2(舍去-1).当0<a<1时,a-a2=2,方程无解.综上知a=2.(2)令12x=t,则当x∈[-1,2]时,t∈则g(t)=t2-t+1=t-122+34图象关于直线∴g(t)在14,12上单调递减,∴当t=12(此时x=1)时取到最小值g12=3当t=2(此时x=-1)时,取到最大值g(2)=3,∴f(x)的最小值为34,最大值为3二、指数型函数单调性的应用角度1比较两数的大小例2(链接教材P117例3)(1)已知a=23.2,b=23,c=2-1,那么a,b,c的大小关系为()A.a>b>c B.b>a>cC.c>a>b D.c>b>a(2)设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<c B.b<c<aC.b<a<c D.c<b<a答案(1)A(2)C解析(1)函数y=2x在R上是增函数,又3.2>3>-1,∴23.2>23>2-1,故a>b>c.(2)∵y=0.6x在R上是减函数,∴1>a=0.60.6>0.61.5=b.又y=1.5x在R上是增函数,知1.50.6>1,所以c>a>b.思维升华比较幂值大小的3种类型及处理方法训练2设a=4737,b=3747,c=4747,则A.a>c>b B.a>b>cC.b>c>a D.b>a>c答案A解析因为函数y=x47是(0,+∞)且37<47,所以b<又函数y=47x在R上是减函数,且37所以4737>4747则a,b,c的大小关系为a>c>b.角度2解简单的指数型不等式例3(链接教材P120T10)(1)解不等式123(2)已知ax2-3x+1<ax+6(a>0,且a≠解(1)∵2=12∴原不等式可以转化为123x又y=12x在R∴3x-1≥-1,解得x≥0,故原不等式的解集是{x|x≥0}.(2)当0<a<1时,函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在R上是减函数,∴x2-3x+1>x+6,∴x2-4x-5>0,解得x<-1或x>5;当a>1时,函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在R上是增函数,∴x2-3x+1<x+6,∴x2-4x-5<0,解得-1<x<5.综上,当0<a<1时,x<-1或x>5;当a>1时,-1<x<5.思维升华1.利用指数函数的单调性解不等式时,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.2.解不等式af(x)>ag(x)(a>0,且a≠1)的依据是指数型函数的单调性,要先判断底数的范围,若底数不确定,则需进行分类讨论.训练3(1)不等式2x2+2x-4≤A.[-1,3] B.[-3,-1]C.[-3,1] D.[1,3](2)若存在正实数x使2x(x-a)<1,则a的取值范围是()A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞)C.(0,+∞) D.(-1,+∞)答案(1)C(2)D解析(1)原不等式化为2x2+2x∴x2+2x-4≤-1,解得-3≤x≤1,∴不等式的解集为[-3,1].(2)由2x(x-a)<1,得a>x-12x(令f(x)=x-12x(x>0),即a>f(x)则a>f(x)min.又f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴f(x)>f(0)=-1,∴a>-1.三、指数函数图象和性质的综合运用例4设函数f(x)=a-22(1)求证:不论a为何实数,f(x)总为增函数;(2)当f(x)为奇函数时,求a及此时f(x)的值域.(1)证明f(x)的定义域为R,任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-22x=2(2∵x1<x2,∴2x1-2x2<0,(1+∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴不论a为何实数,f(x)总为增函数.(2)解∵f(x)为奇函数,且f(x)定义域为R,∴f(0)=a-220+1=0,解得经检验,当a=1时,f(x)为奇函数,∴f(x)=1-22∵2x+1>1,∴0<22则-2<-22x+1<0,从而-1<f(故函数f(x)的值域为(-1,1).思维升华1.解决指数函数图象和性质综合问题的注意点:(1)注意代数式的变形,如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧;(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行;(3)由于指数函数单调性与底数有关,因此要注意是否需要讨论.2.解题过程中要关注、体会性质的应用,如果性质利用不充分,会导致解题步骤烦琐或无法求解.训练4已知函数f(x)=2·(1)判断函数g(x)=f(x)-1的奇偶性,并求函数y=g(x)的值域;(2)若实数m满足g(m)+g(m-2)>0,求实数m的取值范围.解(1)因为g(x)=f(x)-1=2·3x3x+设任意x∈R,-x∈R,且g(-x)=3-x-3x所以函数g(x)是奇函数.g(x)=2·3x因为1+3-2x>1,所以0<21+所以-1<21+所以函数y=g(x)的值域是(-1,1).(2)因为y=1+3-2x在R上单调递减,所以g(x)=2·3x3x+3所以y=g(x)在R上是单调递增的奇函数,由g(m)+g(m-2)>0得,g(m)>-g(m-2)=g(2-m),所以m>2-m,所以m>1.故实数m的取值范围是(1,+∞).【课堂达标】1.f(x)=12x,x∈R,那么f(x)是(A.奇函数且在(0,+∞)上单调递增B.偶函数且在(0,+∞)上单调递增C.奇函数且在(0,+∞)上单调递减D.偶函数且在(0,+∞)上单调递减答案D解析由x∈R且f(-x)=f(x)知f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=12x2.(链接教材P119T6)已知a=1.10.5,b=0.90.5,c=0.90.6,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>c B.b>a>cC.c>a>b D.b>c>a答案A解析∵y=0.9x在R上为减函数,且0<0.5<0.6,∴1>0.90.5>0.90.6.又∵y=1.1x在R上为增函数,且0.5>0,∴1.10.5>1.10=1,∴从小到大排序为a>b>c.3.函数y=2-x2+ax在(-∞,1)内单调递增,则答案[2,+∞)解析由复合函数的单调性知,y=-x2+ax的对称轴x=a2≥1,即a≥24.若142a+1<148-2a答案7解析因为函数y=14x在R且142a所以2a+1>8-2a,所以a>74课时精练一、基础巩固1.不等式2x2-x<1A.(0,+∞) B.(-∞,0)C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(0,1)答案D解析不等式2x2-x<1,可得x2-x<0,解得0<x<1.故选D.2.已知a=30.2,b=0.2-3,c=(-3)0.2,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a答案B解析a=30.2∈(1,3),b=0.2-3=15-3=53=125,c=(-3)0.2=所以b>a>c.3.(多选)已知实数a,b满足等式2025a=2026b,下列等式可以成立的是()A.a=b=0 B.a<b<0C.0<a<b D.0<b<a答案ABD解析如图,观察易知,a<b<0或0<b<a或a=b=0,因此A,B,D项均可成立.4.设a=90.7,b=270.5,c=38-1.4,则(A.a<b<c B.a<c<bC.c<b<a D.c<a<b答案D解析∵a=90.7=31.4,b=270.5=31.5,∴a<b,又c=38-1.4=831.4<31.∴c<a<b.5.函数y=ax(a>0,且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3,则函数y=2ax-1在[0,1]上的最大值是()A.6 B.1C.3 D.3答案C解析函数y=ax在[0,1]上是单调的,最大值与最小值都在端点处取到,故有a0+a1=3,解得a=2.因此函数y=2ax-1=4x-1在[0,1]上单调递增,当x=1时,ymax=3.6.(多选)已知不等式ax-3>a1-x,下列结论正确的是()A.当a>1时,不等式的解集为(-∞,2)B.当a>1时,不等式的解集为(2,+∞)C.当0<a<1时,不等式的解集为(-∞,2)D.当0<a<1时,不等式的解集为(2,+∞)答案BC解析当0<a<1时,y=ax是减函数,由ax-3>a1-x,得x-3<1-x,解得x<2.当a>1时,y=ax是增函数,由ax-3>a1-x,得x-3>1-x,解得x>2.因此B,C正确,A,D不正确.7.已知0≤x≤2,则函数y=4x-12-3×2x+5A.52 B.C.1 D.0答案A解析设2x=t,0≤x≤2,则1≤t≤4,y=4x-12-3×2x+5=12=12(t-3)2+1故当t=1,即x=0时,函数有最大值528.已知函数f(x)=n·3x-23x+1为奇函数,答案2解析因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=n-21+1=0,解得n经验证n=2时f(x)为奇函数.9.函数y=3·142x-1在[0,1]答案12解析函数y=3·142x-1=12·1∴当x=0时,函数取到最大值ymax=12.10.设a=3525,b=2535,c=2525,则答案a>c>b解析因为y=x25在(0,+∞)所以a>c.因为y=25x(x∈R)为减函数,所以c>所以a>c>b.11.已知指数函数f(x)的图象过点P(3,8),且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称.(1)求函数g(x)的解析式;(2)若g(2x2-3x+1)>g(x2+2x-5),求x的取值范围.解(1)设f(x)=ax(a>0且a≠1),因为f(3)=8,所以a3=8,即a=2,所以f(x)=2x,又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称,所以g(x)=12(2)根据(1)知,g(x)=12x由g(2x2-3x+1)>g(x2+2x-5),得2x2-3x+1<x2+2x-5,则x2-5x+6<0,解得2<x<3,故原不等式的解集为{x|2<x<3}.二、综合运用12.设函数f(x)=2-x,x<0,1-x2,x≥0,则满足f(A.(-∞,0) B.(0,+∞)C.(-∞,1) D.(0,1)答案C解析函数f(x)=2-x显然函数f(x)在R上单调递减,∵f(x+1)<f(2x),∴x+1>2x,解之得x<1.13.已知函数f(x)=12x2-2x-1,则f(x)的单调递增区间为答案(-∞,0](0,2]解析令x2-2x≥0,解得x≥2或x≤0,∴f(x)的定义域为(-∞,0]∪[2,+∞),令t=x2-2x-1,则其在(-∞,0]上递减,在[2,+∞又y=12t故f(x)的增区间为(-∞,0].∵t=x2-2x-1,且t∴12t∈(0,2].故f(x)的值域为14.已知函数f(x)=13(1)若a=-1时,求函数f(x)的单调增区间;(2)如果函数f(x)有最大值3,求实数a的值.解(1)当a=-1时,f(x)=13令g(x)=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,由于g(x)在(-2,+∞)上递减,y=13x在R∴f(x)在(-2,+∞)上是增函数,故f(x)的单调增区间是(-2,+∞).(2)令h(x)=ax2-4x+3,f(x)=13由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值-1.因此必有a>0,12a故当f(x)有最大值3时,实数a的值为1.三、拓展提高15.已知(0.61.2)a>(1.20.6)a,则a的取值范围是()A.(0,+∞) B.(-∞,0)C.(1,+∞) D.(-∞,1)答案B解析由指数函数的性质知,0<0.61.2<1,1.20.6>1,则1.20.6>0.61.2>0.设幂函数为y=xa,由(0.61.2)a>(1.20.6)a知,幂函数在第一象限内应为减函数,故a<0.16.已知函数f(x)=12x-1+(1)求f(x)的定义域;(2)