人教A版高中数学必修一 第一课时　简单的三角恒等变换(一)

5.5.2简单的三角恒等变换第一课时简单的三角恒等变换(一)学习目标1.能用二倍角公式导出半角公式,体会其中的三角恒等变换的基本思想.2.了解积化和差、和差化积的推导方法,能进行简单的计算.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明.【引入】三角函数的化简、求值、证明都离不开三角恒等变换.前面我们学习了两角和与差的正弦、余弦与正切公式及二倍角的正弦、余弦与正切公式.这样就有了进行三角变换的新工具,从而使得三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活.一、半角公式探究我们知道在倍角公式中,“倍角是相对的”,对余弦的二倍角公式,思考下面问题:(1)如何用cos2α表示sin2α,cos2α,tan2α?提示sin2α=12(1-cos2αcos2α=12(1+cos2α),tan2α=1-cos2(2)如何用cosα表示sin2α2,cos2α2,tan2提示在上述问题(1)中,以角“α2”代替“α”,可得sin2α2=12(1-cosα),cos2α2=12(1+cosα),tan1.半角公式sinα2=±1-cosα2,cosα2=±1+cosα2以上称之为半角公式,符号由α2所在的象限决定2.tanα2=sinα1+cos温馨提示公式中的正负号不能直接去掉,要根据α2所在范围选用符号例1(链接教材P226练习T2)已知sinα=-45,π<α<3π2,求sinα2,cosα2解∵π<α<3π2,sinα=-4∴cosα=-35,且π2<α2∴sinα2=1-cosα2cosα2=-1+cosα2tanα2=sin思维升华1.已知θ的某个三角函数值,求关于θ2的三角函数值的步骤(1)根据θ的取值范围,利用同角三角函数的基本关系式求得θ的其他三角函数值;(2)注意θ2的取值范围,代入半角公式计算2.注意公式的选取:涉及半角公式的正切值时,常用tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsinα,其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,常先利用sin2α2=训练1已知cosα=13,且α是第四象限角,则tanα2=答案-2解析∵cosα=13,且α是第四象限角∴sinα=-1-cos2α则tanα2=1-cosαsinα=二、积化和差公式与和差化积公式1.积化和差sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ=12[sin(α+β)-sin(α-β)]cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαsinβ=-12[cos(α+β)-cos(α-β)]2.和差化积sinθ+sinφ=2sin

θ+φ2sinθ-sinφ=2cos

θ+φ2cosθ+cosφ=2cos

θ+φ2cosθ-cosφ=-2sin

θ+φ2sin

例2求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值.解法一sin220°+cos250°+sin20°cos50°=12(1-cos40°)+12(1+cos100°)+12=34+12(cos100°-cos40°+sin=34+12(-2sin70°sin30°+sin=34+12(-sin70°+sin=34法二sin220°+cos250°+sin20°cos50°=12(1-cos40°)+cos50°(cos50°+sin=12(1-cos40°)+cos50°(sin40°+sin=12(1-cos40°)+cos50°·2sin30°cos=12(1-cos40°)+cos50°cos=12(1-cos40°)+12(cos60°+cos=34思维升华积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法,如把α+β看作θ,α-β看作φ,从而把包含α,β的三角函数式转化为θ,φ的三角函数式.或者把sinαcosβ看作x,cosαsinβ看作y,把等式看作x,y的方程,则原问题转化为解方程(组)求x,它们都体现了化归思想.训练2(1)若sinα+sinβ=33(cosβ-cosα),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于(A.-2π3 B.-C.π3 D.(2)已知sin(α+β)·sin(β-α)=m,则cos2α-cos2β=.

答案(1)D(2)m解析(1)由已知得2sinα+β2=3=33×2sinα+β2易得0<α+β2<π,-π2<∴sinα+∴cosα-β2=33即tanα-β2∴α-β2=π3,∴α-(2)由已知得sin(α+β)·sin(β-α)=-sin(α+β)·sin(α-β)=cos2α-cos2β2=(2cos2α-1)-(2cos三、三角函数式的化简与证明例3(链接教材P230习题5.5T15)求证:cos2α1tan证明法一左边=cos2=cos2=cosαsinα2cos=12sinαcosα=14sin2α=所以原等式成立.法二左边=cos2αtanα21-tan2α2=12cos2α·2tanα21-tan=14sin2α=右边所以原等式成立.思维升华1.三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法:证明的形式一般是化繁为简.(2)左右归一法:证明左右两边都等于同一个式子.(3)拼凑法:针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,简言之,即化异求同.(4)比较法:设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”.(5)分析法:从被证明的等式出发,逐步地探求使等式成立的条件,直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立.2.化简问题中的“三变”(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等.训练3已知π<α<3π2,化简1+sinα解由π<α<3π2,得π2<α2所以cosα2<0,sinα故原式=sin=sinα2=-sinα2【课堂达标】1.若cosα=23,α∈(0,π),则cosα2的值为(A.66 B.-C.306 D.-答案C解析由题意知α2∈0,所以cosα2>0,cosα2=1+cosα2.已知sinθ=-35,3π<θ<72π,则tanθ2的值为A.3 B.-3C.13 D.-答案B解析∵3π<θ<7π2,sinθ=-3∴cosθ=-45,tanθ2=3.若θ∈π4,π2,sin2θ=378,则答案3解析由θ∈π4,π2可得2易得cos2θ=-1-sin22∴sinθ=1-cos2θ2=4.sinπ4+Acosπ4答案12[cos(A+B)+sin(A-B解析sinπ4+=1=12[cos(A+B)+sin(A-B课时精练一、基础巩固1.已知cosα=-15,π2<α<π,则sinα2等于A.-105 B.C.-155 D.答案D解析由π2<α<π可知π4<α2故sinα2=1-cosα2=1-2.化简2+cos2-sin21的结果是A.-cos1 B.cos1C.3cos1 D.-3cos1答案C解析由于0<1<π2,知cos原式=2+2cos2=3cos1.3.已知sin2α=13,则cos2α-πA.-13 B.-C.13 D.答案D解析cos2α-π=1+sin2α2=1+14.已知sinα=55,cosα=255,则tanα2A.2-5 B.2+5C.5-2 D.±(5-2)答案C解析法一因为sinα=55,cosα=2所以tanα2=sinα1+cos法二因为sinα=55>0,cosα=2所以α的终边落在第一象限,α2的终边落在第一或第三象限所以tanα2故tanα2=1-cosα1+cosα=5.设-3π<α<-5π2,化简1+sin(α-π)的结果是A.sinα2+cosα2 B.-cosαC.cosα2-sinα2 D.sinα答案D解析∵-3π<α<-5π2,∴-3π2<α2∴sinα2>0,cosα1+sin(α-π)=sinα2=sinα2-cosα6.sin20°cos70°+sin10°sin50°的值为()A.-14 B.C.12 D.-答案B解析sin20°cos70°+sin10°sin50°=12(sin90°-sin50°)-12(cos60°-cos=14-12sin50°+12=14-12sin50°+12sin7.若α∈(0,π),且3sinα+2cosα=2,则tanα2等于(A.23 B.C.32 D.答案D解析因为α∈(0,π),且3sinα+2cosα=6sinα2·cosα2+2(2cos2所以6sinα2cosα2+4cos2则3sinα2cosα2+2cos2所以3sinα2cos解得tanα2=32或tanα28.化简:4sinθcos2答案1解析原式=2sin=sinθ9.(链接教材P226练习T3)等腰三角形顶角的余弦值为23,那么这个三角形的一个底角的余弦值为.答案6解析设等腰三角形的底角为α,顶角为β,则α=π2-β2,cosβ=所以cosα=cosπ2-=1-cosβ2=10.若cosθ=-725,且θ∈-π,0,则sinθ2+cosθ2=答案-1解析∵cosθ=-725,且θ∈∴θ∈-π,-π则-π2<θ2<-故cosθ2+sinθ2=1+cos=35-45=-11.设α∈3π2,2π,化简:解∵α∈3π2,2π,α2∴cosα>0,cosα2故原式=12+=cos2α2=二、综合运用12.cos23°-cos67°+22sin4°·cos26°=()A.-22 B.C.-32 D.答案B解析法一∵cos23°=cos(45°-22°)=cos45°cos22°+sin45°sin22°,cos67°=cos(45°+22°)=cos45°cos22°-sin45°sin22°,sin(4°-26°)=sin4°cos26°-cos4°sin26°=-sin22°,sin(4°+26°)=sin4°cos26°+cos4°sin26°=sin30°,∴原式=2sin45°sin22°+2(sin30°-sin22°)=2sin22°+22-2sin22°=2法二cos23°-cos67°+22sin4°cos26°=-2sin23°+67°2sin23°-67°2+=2sin45°sin22°+2(sin30°-sin22°)=2sin22°+22-2sin22°=213.化简:sin4x1+cos4x·cos2x1+cos2x答案tanx解析原式=2sin2xcos2x2cos22x=2sinxcosx2cos2x·14.已知α为钝角,β为锐角,且sinα=45,sinβ=1213,求cosα解因为α为钝角,且sinα=45所以cosα=-1-sin2α又β为锐角,且sinβ=1213所以cosβ=1-sin2β故cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-35×513+45×12由于π2<α<π,0<β<π2,所以0<α-所以0<α-β2则cosα-所以cosα-β2=1+cos(α-三、拓展提高15.若3π2<α<2π,化简1+cosα1-cosα+1-cos答案-2解析由已知得3π4<α2<π,所以tan所以1+cosα1-cosα+1-cosα1+cos=-cosα2sinα2+sin16.已知sinA+sinB+sinC=0,cosA+cosB+cosC=0,求证:cos2A+cos2B+cos2C=32证明由已知,得sinA+s