人教版八年级数学 秋季培优讲义 第08讲-旋转型全等经典模型-答案与解析

旋转型全等经典模型第三讲旋转型全等经典模型第三讲

ABCDE已知：△ABC和△ADE都是等边三角形，连结BD、CE，且B、D、E三点共线．

①求证：．

②求的度数．

（★）答案：（1）证明△ABD≌△ACE（SAS）．

（2）．ABCDEACBNMFDE如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形．

求证：（1）；

（2）DE∥AB；

（3）CF平分∠AFB．

（★★）答案：（1）证明△ACN≌△MCB（SAS）．

（2）结合（1），证明△ACD≌△MCE（ASA），则，．

（3）过点C作于X，于Y，由，，

可得，故CF平分∠AFB．

ACBNMFDEMACBEDN如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，D是AN中点，E是BM中点，求证：△CDE是等边三角形．

（★★）答案：先证△ACN≌△MCB（SAS），得到，，

再证△CDN≌△CEB（SAS），得到，，故△CDE是等边MACBEDNABCFDEO图1BACDFEO图2已知：A、B、C为平面内三个点，分别以AB、AC、BC为边长在AB同侧作三个正三角形，分别是△ABF、△ACD、△BCE，连接CF、DE，CF与DE交于点O．

（1）当点C在线段AB上时，如图1所示，则DO______EO（填）；

（2）当点C不在线段AB上时，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明．

（★★）答案：（1）=．

（2）成立．连接DF，则△AFD≌△ABC，可证明ABCFDEO图1BACDFEO图2ABCED以△ABC的两边AB、AC为直角边边向外作等腰直角三角形ABD和ACE．

求证：且CD⊥BE．

（★）答案：易证△ADC≌△ABE（SAS）

ABCEDABCDE已知：△ABC和△ADE都是直角三角形，且，，点D在线段BC上，连结CE，BD⊥CE．

求证：．

（★）答案：证明△ABD≌△ACE（ASA）．

ABCDE已知：△ABC为等腰直角三角形，，点D为AB中点，，射线DE、DF分别交直线AC、BC于点E、F．

试探究：线段AE、BF和线段AC之间的数量关系．

（★★）答案：若点E在AC上，则；

若点E在AC延长线上，则；

若点E在CA延长线上，则．

ABCDEF已知：△ABC和△ADE都是等腰三角形，且，，，连结BD、CE，延长BD交CE于点F，连接AF．

求证：（1）△ABD≌△ACE；

（2）；

（3）FA平分．

（★★）答案：（1）SAS．

（2）

．

（3）过点A作于M，于N．由，，

可得，故FA平分．ABCDEFABDCABDC（1）如图，△ABC是等边三角形，D是△ABC外的一点，连结AD、BD、CD，若，求证：．

（2）如图，△ABC是等边三角形，D是△ABC外的一点，连结AD、BD、CD，若，求证：．

（★★）答案：（1）在AD上取点E，使得，

∴△BDE是等边三角形，∴△ABE≌△CBD，

∴．

（2）延长BD到点E，使得，连结CE，

则△CDE是等边三角形，∴△CBE≌△CAD，

∴．

ABDCABDCABDMNE如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)，作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系，请判断并证明．

（★★）答案：．

提示：若点M在线段AB上，作，交BD于点C，

则，，，故△DCM≌△NBM（ASA）．

若点M在线段AB的延长线上，作，交BN于点C．

则，，，故△DBM≌△NCM（ASA）．

两种情况均有．

ABDMNEACBDEABCDABCD（1）如图，等腰Rt△ABC中，，D是△ABC外一点，连结AD、BD、CD，若，求证：．

（2）如图，等腰Rt△ABC中，，D是△ABC外一点，连结AD、BD、CD，若，求证：．

（3）已知，等腰Rt△ABC中，，点D是AB上一点，连结CD，过点D作CD的垂线交BC的垂线于点E，求证：．

（★★）答案：（1）过点A作AD的垂线，交BD于点E，

∴△ADE是等腰直角三角形，∴△ABE≌△ACD，

∴；

（2）延长CD与AD过点A的垂线交于点E，

∴△ADE是等腰直角三角形，∴△ABD≌△ACE，∴；

（3）过点D作AB的垂线，交BC于点F，则△BDF是等腰直角三角形，

∴△EBD≌△CFD（ASA）．

ACBDEABCDABCDABCDH如图，四边形ABCD中，，，AH⊥BC于H，若，求四边形ABCD的面积．

（★★）答案：1．

提示：过点A作于点E，则△AHB≌△AED，四边形ABCD的面积等于正方

形AHCE的面积．

ABCDHABCDE如图所示，在五边形中，，，求此五边形的面积_____________．

（★★）答案：1．

提示：延长CB至F，使得，连接AC、AF、AD．

可证△AED≌△ABF，△ACD≌△ACF，故五边形的面积等于．

ABCDE附加题附加题ABCDEKH已知：如图，△ABC、△CDE、△EHK都是等边三角形，且A、D、K共线，，求证：△HBD也是等边三角形．

（★★）答案：由△ABC、△CDE是等边三角形，可证△ACD≌△BCE（SAS），

得到，倒角可得两者的夹角为，

由条件可知，BE与DK的夹角也为，且．

∵△EKH也为等边三角形，可证△BEH≌△DKH（SAS），

可得，且．故△HBD也是等边三角形．

ABCDEKHBAPDCABCD图1图2（1）如图1所示，线段AC上有点P，分别以AP、CP为边，在直线AC的同侧做等边三角形ABP与CDP，连结AD与BC，可以得到△ADP和△BCP全等_______（填“成立”或者“不成立”）；

（2）如图2所示，已知：在△ABC中，，，以AB为边作等边三角形ABD．探究下列问题：如图，当∠ACB变化，且点D与点C位于直线AB两侧时，求CD的最大值及相应的∠ACB的度数．

（★★）答案：（1）成立．

（2）CD最大值为，此时．

提示：（2）以BC为边向上作等边三角形BCE，连接AE．

可证△DBC≌△ABE（SAS），故．

则，等号当且仅当A、C、E共线时成立，

此时．BAPDCABCD图1图2进门考答案1．B 2．D 3．C4．∵，∴，∵，，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴，∴，∴CD⊥BE．5．在AD上取点E，使得，

∴△BDE是等边三角形，∴△ABE≌△CBD，