人教版八年级数学 秋季培优讲义 第11讲-特殊的等腰三角形与直角三角形-答案与解析

特殊的等腰三角形与直角三角形第一讲特殊的等腰三角形与直角三角形第一讲ABCDEFCAB……（1）如图所示，等边△ABC的边长为1，按图中所示的规律，用2016个这样的三角形

镶嵌而成的四边形的周长是（）

A．2015 B．2016 C．2017 D．2018

（2）下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，

这个六边形的周长为___________cm．

（★）答案：（1）DABCDEFCAB……ABCDEFABGFCDE（1）如图，△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且，，

则______°．

（2）如图，△ABC中，，△DEF为等边三角形，则、、之间的关系为

_____________．

（★）答案：（1）15；（2ABCDEFABGFCDEABCl（1）如图，等边△ABC的边长为2，过点A引直线l，与线段BC相交．顶点B、C到l

的距离为、，求最大值；ABClABHCDP

（2）7题图BCDAE8题图9题图7题图BCDAE8题图9题图7题图BCDAE8题图9题图如图，等边△ABC的高ABHCDP7题图BCDAE8题图9题图7题图BCDAE8题图9题图7题图BCDAE8题图9题图ABCFDE（1）下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；

③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；

④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．

其中是等边三角形的有（）

A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④

（2）如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且，则△DEF的形

状是（）

A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形

C．直角三角形 D．不等边三角形

（★）答案：（1）D；（2）ABCFDEABCDEABCDEFABCED（1）如图，△ABC为等边三角形，点A、F、D共线，点B、D、E共线，点C、E、F共线，且满足．请判断△DEF的形状，并说明理由．

（2）如图，D为等边三角形ABC内一点，将△BDC绕着点C旋转成△AEC，则

△CDE是怎样的三角形？请说明理由．

（3）如图，在△ABC中，，点D是BC的中点，AB平分，

AE⊥BE，垂足为E．

①求证：；

②若BE∥AC，试判断△ABC的形状，并说明理由．

（★★）答案：（1）等边三角形．

提示：利用等边三角形的性质和三角形外角定理，计算得到△DEF的每一个内角度数都等于．

（2）等边三角形

提示：△BDC≌△ACE，∴，．

（3）①∵AB平分，，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵AE⊥BE，

∴，∴△ABE≌△ABD，∴；

②∵BE∥AC，∴，∵，∴△ABC是等边三角形．

ABCDEABCDEFABCEDCADBE如图，在△ABC中，D在AB上，且△CAD和△CBE都是等边三角形．

求证：（1）．

（2）．

（★）答案：（1）证明△CAB≌△CDE（SAS）．

（2）由（1）得．

CADBEABC（1）在Rt△ABC中，，，若cm，则________．

（2）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角等于______．

（3）如图，在△ABC中，，，，求证：．

（★）答案：（1）2cm；（2）或．

（3）延长BC至点D，使得，连结AD

∵，，∴，∴△ABD是等边三角形，

∵C是BD的中点，∴．

ABCABCDE如图，在等腰△ABC中，，，D为BC中点，DE⊥AB于点E．

求证：．

（★）答案：利用含角的直角三角形的性质，可得．

ABCDE如图，△ABC中，，,AD、BE相交于，于．

求证：．

（★★）答案：先证明△ADC≌△BEA（SAS），可得，故，再用含角的直角三角形的性质即可．

ABCDEFMNP如图，在正方形纸片ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，沿过点B的直线折叠，使点C落在EF上，落点为N，折痕交边于点M，BM交EF于点P，再展开．

求证：△PMN为正三角形．

（★★）答案：易证，故△BNC是等边三角形，利用轴对称的性质可得ABCDEFMNPABCDE如图，在△ABC中，，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，

．若，，求BC的长．

（★★）答案：14．

提示：延长ED交BC于M，延长AD交BC于点N，则△BEM是等边三角形，，

，，．

ABCDEABCDFE如图，在等腰直角三角形ABC外，以直角边AC为边作正△ACD,AE⊥CD于E,BD、AE交于F,连接CF．求证：△CDF为等腰直角三角形．

（★★）答案：计算角度可得，

故，由对称性可得ABCDFEADBEC如图，在△ABC中，，，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的两侧，D在A、E之间，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：．

（★★）答案：易证△ABD≌△CAE，

∴．

ADBEC如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N．

证明：（1）；（2）BD⊥CE．BAECDNM

（★★）答案：（1）证明△BAD≌△CAE（SAS）．

（2）利用（1）全等三角形对应角相等，在△ABNBAECDNMABCED已知：如图，在Rt△ABC中，，，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板ADE如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC，试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．

（★★）答案：，．

提示：证明△EAB≌△EDC（SAS）．

ABCEDABCMONABCOMN已知：Rt△ABC中，，，若O是BC的中点，以O为顶点作∠MON，交AB、AC于点M、N．

（1）若，求证：①；②；

（2）若，求证：．

（★★）答案：（1）①连接AO，可证△CON≌△AOM（或△BOM≌△AON）．

②由①可得．

（2）作，交AC于点D，由（1）的结论可知，，

再证明△MON≌△DON，得，故．

ABCMONABCOMN附加题附加题ABCDE如图，△ABC中，，延长BC到D，延长BA到E，使，连CE、DE，若．求证：△ABC是等边三角形．

（★★）提示：延长BD至F，使得，易证△BCE≌△FDE（SAS），从而△BEF是等边三角形．

ABCDEABCD如图，△ABC中，，为△外一点，．

求证：．

（★★）提示：延长BD至E，使得，连接AE、CE．易证△ABE为等边三角形，故，

，由可得，故．

ABCDDEMACB两个全等的含30°、60°角的三角板ABC和三角板ADE按如图方式放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MCDEMACB

（★★）答案：等腰直角三角形．

提示：连接AM，证明△EMA≌△CMB．

AQEMBPC如图，等腰Rt△ABC中，，，点P在线段BC上（不与B、C重合），以AP为腰长作等腰直角△PAQ，QE⊥AB于，连CQ交AB于M．

（1）求证：M为BE的中点；

（2）若，求的值．

（★★★）提示：（1）先证明△AQE≌△PAB，得，再证明△QME≌△CMB．

（2）由（1）知，故．

AQEMBPCDAEFCB如图，在△ABC中，已知，，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于FDAEFCB

（★★★）提示：作的平分线AM交BD于M，先证明△ABM≌△CAF，得

再证明△AMD≌△CFD．故．进门考答案1．D 2．D 3．C 4．D 5． 6．2cm 7．或 8．49．10

10．