部编版高中数学高一函数性质单元同步练习题及答案

部编版高中数学高一函数性质单元同步练习题及答案第1页共1页部编版高中数学高一函数性质单元同步练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x^3-3x在区间(-2,2)上的最大值是A.2B.1C.0D.-1参考答案：C2.函数g(x)=|x-1|+|x+1|的最小值是A.0B.1C.2D.3参考答案：C3.函数h(x)=sin(x)+cos(x)的最大值是A.1B.√2C.√3D.2参考答案：B4.函数p(x)=x/(x^2+1)的值域是A.(-1,1)B.(-1/2,1/2)C.(0,1)D.(-1/2,1)参考答案：B5.函数q(x)=x^3-3x+2的单调递增区间是A.(-∞,-1)和(1,+∞)B.(-1,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,+∞)参考答案：A6.函数r(x)=e^x-x在区间(0,+∞)上的图像A.总在直线y=x下方B.总在直线y=x上方C.与直线y=x有一个交点D.无法确定参考答案：B7.函数s(x)=log(x)在区间(0,1)上的图像A.上升B.下降C.水平D.无法确定参考答案：B8.函数t(x)=x^2-4x+3的图像是A.上升的抛物线B.下降的抛物线C.开口向上的抛物线D.开口向下的抛物线参考答案：C9.函数u(x)=|x|在区间(-1,1)上的导数是A.-1B.0C.1D.不存在参考答案：D10.函数v(x)=x^3-3x+1的零点个数是A.0B.1C.2D.3参考答案：C二、填空题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x^2-4x+3的图像的对称轴方程是______。参考答案：x=22.若函数f(x)=ax+b在x=1处取得最小值-1，则a的取值范围是______。参考答案：a03.函数g(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是______。参考答案：34.函数h(x)=2sin(x)+1的最大值是______。参考答案：35.若函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处有极值，则a=______。参考答案：26.函数k(x)=e^x-x在定义域内是______（单调递增/单调递减）的。参考答案：单调递增7.函数m(x)=ln(x)在区间(0,+∞)上是______（有界/无界）的。参考答案：无界8.函数n(x)=x/(x^2+1)的值域是______。参考答案：[-1/2,1/2]9.若函数f(x)=x^2+px+q的图像经过点(1,0)和(-1,2)，则p=______，q=______。参考答案：p=0,q=-110.函数y=|x|在区间[-1,1]上的平均变化率是______。参考答案：0三、判断题（共10小题，每题2分）1.函数f(x)=x^3在其定义域内单调递增。参考答案：√2.若函数f(x)是奇函数，则其图像一定关于原点对称。参考答案：√3.函数f(x)=1/x在x0的范围内是减函数。参考答案：√4.若函数f(x)在区间(a,b)上连续，则它在该区间上必有最大值和最小值。参考答案：×5.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是2π。参考答案：√6.若函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上，则其对称轴x=-b/2a一定在顶点的左侧。参考答案：×7.函数f(x)=|x|在x=0处不可导。参考答案：√8.若函数f(x)在x=a处可导，则它在x=a处必连续。参考答案：√9.函数f(x)=e^x的图像与函数g(x)=ln(x)的图像关于直线y=x对称。参考答案：√10.函数f(x)=x^2在区间(-1,1)上的平均变化率等于2。参考答案：×四、简答题（共8小题，每题2分）1.简述函数单调性的定义。参考答案：函数在其定义域的某个区间内，如果对于任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），那么就说函数f(x)在这个区间上是单调递增（或单调递减）的。2.说明函数奇偶性的判断方法。参考答案：判断函数奇偶性需要检验f(-x)与f(x)的关系。若f(-x)=f(x)，则函数为偶函数；若f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数；若两者都不成立，则函数既非奇函数也非偶函数。3.列举三个常见的初等函数及其主要性质。参考答案：①一次函数f(x)=ax+b（a≠0），性质：图像为直线，当a0时单调递增，当a0时单调递减，无奇偶性。②二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），性质：图像为抛物线，当a0时开口向上，顶点为最小值点，当a0时开口向下，顶点为最大值点，偶函数当且仅当b=0。③指数函数f(x)=a^x（a0且a≠1），性质：当a1时单调递增，当0a1时单调递减，无奇偶性。4.分析函数f(x)=x^2-4x+3的单调区间。参考答案：函数f(x)=x^2-4x+3的单调递增区间为[2,+∞)，单调递减区间为(-∞,2)。5.判断函数f(x)=1/x在定义域内的奇偶性。参考答案：函数f(x)=1/x在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)内是奇函数。6.简述函数周期性的概念及其数学表达式。参考答案：函数周期性是指函数值重复出现的特性。若存在一个非零常数T，使得对于定义域内任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)具有周期性，T为函数的周期。通常说的周期是指最小正周期。7.列举函数f(x)=sin(x)的三个重要性质。参考答案：①定义域：(-∞,+∞)；②奇偶性：奇函数（f(-x)=-sin(x)=-f(x)）；③周期性：周期为2π；④单调性：在[2kπ-π/2,2kπ+π/2]（k∈Z）上单调递增，在[2kπ+π/2,2kπ+3π/2]（k∈Z）上单调递减；⑤值域：[-1,1]。8.分析函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值。参考答案：函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为3，此时x∈[-2,1]。五、应用题（共8小题，每题3分）1.已知函数f(x)=x^2-4x+3，求函数f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值3，最小值02.判断函数g(x)=|x-1|+|x+1|在实数集R上是否为奇函数，并说明理由。参考答案：是奇函数3.已知函数h(x)=2^x-1，当x取何值时，函数h(x)的值等于其自变量x的值？参考答案：x=14.求函数k(x)=1/(x-1)在点x=2处的切线方程。参考答案：y=x-15.已知函数m(x)=x^3-3x^2+2，求函数m(x)的极值点。参考答案：极小值点x=1，极大值点x=06.判断函数n(x)=sin(x)+cos(x)在区间[0,π/2]上是否单调递增，并说明理由。参考答案：是单调递增7.已知函数p(x)=ax^2+bx+c在x=1处取得极小值，且过点(0,1)，求a、b、c的值。参考答案：a=1，b=-2，c=18.求函数q(x)=x^4-4x^2+3在区间[-2,2]上的最大值和最小值。参考答案：最大值16，最小值-1标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：C解析：f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)，令f'(x)=0得x=-1或x=1。f(-2)=-10，f(-1)=2，f(1)=-2，f(2)=2。最大值为2。2.参考答案：C解析：当x∈[-1,1]时，|x-1|+|x+1|=2。当x-1时，|x-1|+|x+1|=-2x2。当x1时，|x-1|+|x+1|=2x2。最小值为2。3.参考答案：B解析：h(x)=√2sin(x+π/4)。最大值为√2。4.参考答案：B解析：令y=x/(x^2+1)，y'=(x^2+1-2x^2)/(x^2+1)^2=(1-x^2)/(x^2+1)^2。令y'=0得x=±1。y(1)=1/2，y(-1)=-1/2。当x→±∞时，y→0。值域为(-1/2,1/2)。5.参考答案：A解析：h'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)。令h'(x)=0得x=-1或x=1。h(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增。6.参考答案：B解析：令F(x)=e^x-x-1，F'(x)=e^x-1。当x0时，e^x1，F'(x)0。F(x)在(0,+∞)上单调递增。F(0)=0。所以e^x-x0在(0,+∞)上恒成立。7.参考答案：B解析：log(x)在(0,1)上单调递减。8.参考答案：C解析：抛物线y=x^2-4x+3的开口向上，对称轴为x=2。9.参考答案：D解析：在x=0处，|x|的导数不存在。10.参考答案：C解析：v'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)。令v'(x)=0得x=-1或x=1。v(-1)=3，v(1)=-1。v(-2)=-5，v(2)=3。存在两个零点。二、填空题1.参考答案：x=2解析：函数f(x)=x^2-4x+3可化为f(x)=(x-2)^2-1，对称轴为x=2。2.参考答案：a0解析：函数f(x)=ax+b为一次函数，其图像为直线，最小值在x=1处取得，则a0且f(1)=a+b=-1，即b=-1-a。由于a0，故a的取值范围是(0,+∞)。3.参考答案：3解析：函数g(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到点1和点-2的距离之和，最小值为两点间的距离|1-(-2)|=3。4.参考答案：3解析：函数h(x)=2sin(x)+1的最大值为2+1=3，当sin(x)=1时取得。5.参考答案：2解析：f'(x)=3x^2-a，由题意f'(1)=0，即3(1)^2-a=0，解得a=3。又f''(x)=6x，f''(1)=60，故x=1处为极小值点，但题目要求极值，需验证f(1)=1-a+1=2-a是否为极值，代入a=3得f(1)=-1，非极值，故a=2。6.参考答案：单调递增解析：k'(x)=e^x-1，当x0时e^x1，k'(x)0；当x0时e^x1，k'(x)0；当x=0时k'(x)=0。故k(x)在(0,+∞)上单调递增。7.参考答案：无界解析：函数m(x)=ln(x)在区间(0,+∞)上定义，且当x→0^+时ln(x)→-∞，当x→+∞时ln(x)→+∞，故是无界的。8.参考答案：[-1/2,1/2]解析：n'(x)=(x^2+1-2x^2)/(x^2+1)^2=(1-x^2)/(x^2+1)^2，令n'(x)=0得x=±1。n(1)=1/2，n(-1)=-1/2，且当x→±∞时n(x)→0。故值域为[-1/2,1/2]。9.参考答案：p=0,q=-1解析：由f(1)=1+p+q=0得p+q=-1；由f(-1)=1-p+q=2得-p+q=1。联立方程组{p+q=-1,-p+q=1}，解得p=0,q=-1。10.参考答案：0解析：函数y=|x|在区间[-1,1]上图像为V形，端点为(-1,1)和(1,1)，平均变化率为(1-1)/(1-(-1))=0。三、判断题1.参考答案：√解析：函数f(x)=x^3的导数f'(x)=3x^2，由于3x^2≥0对所有实数x都成立，且仅当x=0时取等号，因此f'(x)在定义域R上恒大于等于0，根据导数与单调性的关系，函数f(x)=x^3在其定义域内单调递增。此结论符合函数单调性的判定定理，故该命题正确。2.参考答案：√解析：根据奇函数的定义，若函数f(x)满足f(-x)=-f(x)对所有定义域内的x都成立，则称f(x)为奇函数。奇函数的图像具有中心对称性，其对称中心为原点(0,0)。这是因为对于任意x在定义域内，点(x,f(x))和点(-x,-f(x))都在函数图像上，这两个点关于原点对称。因此，奇函数的图像一定关于原点对称。此结论符合奇函数的几何性质，故该命题正确。3.参考答案：√解析：函数f(x)=1/x在其定义域x0内的导数为f'(x)=-1/x^2。由于x0，因此x^20，所以-1/x^20对所有x0都成立。根据导数与单调性的关系，当导数在某个区间内恒小于0时，函数在该区间内单调递减。因此，函数f(x)=1/x在x0的范围内是减函数。此结论符合导数在判断单调性中的应用，故该命题正确。4.参考答案：×解析：根据闭区间上连续函数的性质，若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在该区间上必有最大值和最小值。但题干中给出的是开区间(a,b)，在开区间上连续的函数不一定有最大值和最小值。例如，函数f(x)=1/x在开区间(0,1)上连续，但它在该区间上没有最大值和最小值，因为当x趋近于0时，f(x)趋近于正无穷大；当x趋近于1时，f(x)=1。因此，该命题错误。正确的表述应该是：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则它在该区间上必有最大值和最小值。5.参考答案：√解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)可以通过三角恒等变换化简为f(x)=√2sin(x+π/4)。正弦函数sin(x)的最小正周期是2π，因此√2sin(x+π/4)的最小正周期也是2π。这是因为周期函数的周期是满足f(x+T)=f(x)的最小正数T，而sin(x+2π)=sin(x)，所以√2sin(x+2π)=√2sin(x)，即f(x)=√2sin(x+π/4)的最小正周期是2π。此结论符合三角函数的周期性质，故该命题正确。6.参考答案：×解析：函数f(x)=ax^2+bx+c的对称轴为x=-b/2a。当a0时，函数图像开口向上；当a0时，函数图像开口向下。当a=0时，函数退化为一次函数f(x)=bx+c，其图像是一条直线，没有对称轴。因此，只有当a≠0时，对称轴x=-b/2a才有意义。对称轴的位置取决于a、b的符号关系。例如，当a0且b0时，-b/2a0，对称轴在顶点的左侧；但当a0且b0时，-b/2a0，对称轴在顶点的右侧。因此，对称轴x=-b/2a不一定在顶点的左侧。该命题错误。正确的表述应该是：若函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上且a≠0，则其对称轴x=-b/2a的位置取决于b的符号。7.参考答案：√解析：函数f(x)=|x|在x=0处不可导。这是因为函数f(x)=|x|在x=0处的左右导数不相等。左导数f'_-(0)=lim(x→0^-)Δy/Δx=lim(x→0^-)-x/x=-1，右导数f'_+(0)=lim(x→0^+)Δy/Δx=lim(x→0^+)x/x=1。由于f'_-(0)≠f'_+(0)，所以函数f(x)=|x|在x=0处不可导。此结论符合绝对值函数的导数性质，故该命题正确。8.参考答案：√解析：根据函数可导性与连续性的关系，若函数f(x)在x=a处可导，则它在x=a处必连续。这是因为函数在某点可导意味着该点的左右导数存在且相等，而函数在某点连续意味着该点的左右极限存在且等于函数值。根据可导的定义，f'_a=lim(x→a)[f(x)-f(a)]/(x-a)存在，这意味着lim(x→a)f(x)=f(a)，即函数在x=a处连续。因此，函数在x=a处可导必连续。此结论符合函数可导性与连续性的基本定理，故该命题正确。9.参考答案：√解析：函数f(x)=e^x的图像与函数g(x)=ln(x)的图像关于直线y=x对称。这是因为对于任意x0，有f(g(x))=e^(ln(x))=x，且g(f(x))=ln(e^x)=x。这说明对于任意点(x,e^x)在函数f(x)=e^x的图像上，其关于直线y=x对称的点(e^x,x)在函数g(x)=ln(x)的图像上。反之亦然。因此，函数f(x)=e^x的图像与函数g(x)=ln(x)的图像关于直线y=x对称。此结论符合反函数的几何性质，故该命题正确。10.参考答案：×解析：函数f(x)=x^2在区间(-1,1)上的平均变化率等于2。平均变化率的计算公式为Δy/Δx=[f(b)-f(a)]/(b-a)，其中a,b是区间(-1,1)内的任意两点。取a=-1,b=1，则Δy=f(1)-f(-1)=1^2-(-1)^2=1-1=0，Δx=1-(-1)=2，因此平均变化率=Δy/Δx=0/2=0。因此，函数f(x)=x^2在区间(-1,1)上的平均变化率等于0，而不是2。该命题错误。正确的表述应该是：函数f(x)=x^2在区间(-1,1)上的平均变化率等于0。四、简答题1.参考答案：函数在其定义域的某个区间内，如果对于任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），那么就说函数f(x)在这个区间上是单调递增（或单调递减）的。解析：函数单调性是函数的重要性质之一，定义要求明确区间和不等号方向。单调递增指函数值随自变量增大而增大，单调递减指函数值随自变量增大而减小。此定义是判断函数单调性的理论基础，常用于求函数最值、研究函数图像等。需注意单调性是区间性概念，不同区间可能具有不同单调性。2.参考答案：判断函数奇偶性需要检验f(-x)与f(x)的关系。若f(-x)=f(x)，则函数为偶函数；若f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数；若两者都不成立，则函数既非奇函数也非偶函数。解析：奇偶性判断是函数性质的核心内容，关键在于理解定义的代数意义。偶函数图像关于y轴对称，奇函数图像关于原点对称。判断时需先确定函数定义域是否关于原点对称（奇函数要求定义域关于原点对称）。常见错误包括忽略定义域对称性或混淆奇偶性定义。3.参考答案：①一次函数f(x)=ax+b（a≠0），性质：图像为直线，当a0时单调递增，当a0时单调递减，无奇偶性。②二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），性质：图像为抛物线，当a0时开口向上，顶点为最小值点，当a0时开口向下，顶点为最大值点，偶函数当且仅当b=0。③指数函数f(x)=a^x（a0且a≠1），性质：当a1时单调递增，当0a1时单调递减，无奇偶性。解析：初等函数是高中函数学习的重点，需掌握其标准形式和典型性质。一次函数体现线性关系，二次函数体现二次关系，指数函数体现指数增长或衰减。性质描述需全面，包括单调性、奇偶性、对称性、最值等。不同函数类型具有本质区别，如指数函数与幂函数的单调性规律不同。4.参考答案：函数f(x)=x^2-4x+3的单调递增区间为[2,+∞)，单调递减区间为(-∞,2)。解析：求函数单调区间需要利用导数或配方法。配方法步骤：f(x)=x^2-4x+3=(x-2)^2-1，顶点为(2,-1)。由于二次项系数为正，开口向上，故在顶点左侧单调递减，顶点右侧单调递增。也可求导f'(x)=2x-4，令f'(x)0得x2，令f'(x)0得x2。两种方法结果一致，导数法更适用于复杂函数。5.参考答案：函数f(x)=1/x在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)内是奇函数。解析：判断奇偶性需先确定定义域是否关于原点对称。1/x的定义域为x≠0，显然关于原点对称。检验f(-x)=-1/(-x)=1/x=-f(x)，满足奇函数定义。奇函数图像关于原点对称，这也是验证方法之一。需注意分式函数的奇偶性判断必须先检验定义域对称性。6.参考答案：函数周期性是指函数值重复出现的特性。若存在一个非零常数T，使得对于定义域内任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)具有周期性，T为函数的周期。通常说的周期是指最小正周期。解析：周期性是周期函数的核心概念，定义中T≠0是关键条件。最小正周期是所有正周期中最小的那个。例如sin(x)的周期为2π，tan(x)的周期为π。判断周期性需要检验定义的恒等式是否成立。需区分周期性与周期函数，周期函数必有周期，但周期函数不一定是周期函数。7.参考答案：①定义域：(-∞,+∞)；②奇偶性：奇函数（f(-x)=-sin(x)=-f(x)）；③周期性：周期为2π；④单调性：在[2kπ-π/2,2kπ+π/2]（k∈Z）上单调递增，在[2kπ+π/2,2kπ+3π/2]（k∈Z）上单调递减；⑤值域：[-1,1]。解析：sin(x)是基本三角函数，其性质是后续学习的基础。定义域是所有实数，奇偶性决定图像关于原点对称。周期性决定图像每隔2π重复出现。单调性是周期函数的重要性质，需结合单位圆理解。值域是函数可能取值的范围。这些性质相