直线的一般式方程-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修一

直线的一般式方程2.2.3直线的一般式方程·新授课人教A版选择性必修第一册·第二章直线和圆的方程从四种特殊形式，走向统一的表达Ax+By+C=0——一条直线，一种语言学习目标第2页选择性必修第一册·2.2.3直线的一般式方程1理解直线的一般式方程Ax+By+C=0的概念，明确A、B不同时为0的条件2掌握一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式之间的互化方法3能根据条件选择适当形式求直线方程，并规范地化为一般式4由一般式直接读出斜率与截距，用于判断直线的平行与垂直5体会特殊与一般、化归与数形结合的思想方法情境引入·无人机巡检航线第3页选择性必修第一册·2.2.3直线的一般式方程某园区要规划一条无人机巡检航线：无人机从点A(2,3)出发，沿直线飞往点B(5,7)。控制台需要向飞行系统提交这条航线的数学表达式。想一想你能写出这条直线的方程吗？你写出了几种不同的形式？哪种形式最简洁、最通用？xyOA(2,3)B(5,7)情境探究·把问题变成数学第4页选择性必修第一册·2.2.3直线的一般式方程

想一想：这些形式各不相同，能否统一成一种简洁、完整的形式？提示：把方程整理、移项，让x、y都移到等号左边——试试看。复习回顾·四种特殊形式第5页选择性必修第一册·2.2.3直线的一般式方程形式方程适用条件点斜式斜率k存在斜截式y=kx+b斜率k存在两点式截距式a≠0且b≠0观察：垂直于x轴的直线x=2，能用上面四种形式表示吗？——都不能。这说明四种特殊形式各有局限，需要一种能表示所有直线的形式。思考·能否统一表示所有直线第6页选择性必修第一册·2.2.3直线的一般式方程

探究一·二元一次方程表示什么图形第7页选择性必修第一册·2.2.3直线的一般式方程任意二元一次方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0）都表示一条直线吗？分情况讨论：

探究二·B=0的情形第8页选择性必修第一册·2.2.3直线的一般式方程

结论：任何一个关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0）都表示一条直线新知讲授·直线的一般式方程第9页选择性必修第一册·2.2.3直线的一般式方程概念关于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0）叫做直线的一般式方程

概念辨析·关注A、B、C第10页选择性必修第一册·2.2.3直线的一般式方程问题1

问题2x=2→x−2=0（A=1，B=0）问题2y=−1→y+1=0（A=0，B=1）问题3A=B=0：C=0时恒成立不表示直线，C≠0时无解也无图形，故A、B必须不同时为0小结：A、B不同时为0是一般式表示直线的必要条件。要点归纳·一般式的特征与优势第11页选择性必修第一册·2.2.3直线的一般式方程完整性能表示平面内任意一条直线，包括斜率不存在的直线统一性四种特殊形式都是一般式的特例，彼此可以互化简洁性系数为整数时书写简洁，便于比较位置关系实用性由一般式可直接读出斜率与截距，便于研究平行、垂直知识链接·特殊形式与一般式的互化第12页选择性必修第一册·2.2.3直线的一般式方程转化方向方法要点点斜式→一般式去分母→去括号→移项→合并同类项斜截式→一般式把含x、y的项移到等号左边两点式→一般式去分母→去括号→移项整理截距式→一般式去分母→整理为Ax+By+C=0一般式→斜截式当B≠0时解出y，得斜率与截距约定（常见规范）：一般式结果中系数为整数，且x的系数A>0。互化示范·点斜式→一般式第13页选择性必修第一册·2.2.3直线的一般式方程

去分母3(y−2)=x+3去括号3y−6=x+3移项−x+3y−9=0整理（x系数化为正）x−3y+9=0检验：把(−3,2)代入x−3y+9=0，得−3−6+9=0，正确。例题1·求直线方程并化为一般式第14页选择性必修第一册·2.2.3直线的一般式方程例题1根据下列条件写出直线的方程，并化为一般式：(1)经过点A(1,2)，斜率是−3；(2)经过点B(−1,3)和点C(2,5)。先独立思考，再对照解析。例题1·解析第15页选择性必修第一册·2.2.3直线的一般式方程(1)经过点A(1,2)，斜率是−3点斜式：y−2=−3(x−1)整理：y−2=−3x+3→3x+y−5=0(2)经过点B(−1,3)和点C(2,5)

例题2·由一般式求斜率与截距第16页选择性必修第一册·2.2.3直线的一般式方程例题2把下列方程化为一般式，并求各直线的斜率以及在x轴、y轴上的截距：

例题2·解析第17页选择性必修第一册·2.2.3直线的一般式方程

例题3·平行与垂直第18页选择性必修第一册·2.2.3直线的一般式方程例题3已知直线l经过点P(2,1)，且与直线2x+3y−6=0：(1)平行；(2)垂直。分别求直线l的方程，并用一般式表示。提示：由已知直线的一般式先求它的斜率。例题3·解析第19页选择性必修第一册·2.2.3直线的一般式方程(1)与2x+3y−6=0平行

(2)与2x+3y−6=0垂直

课堂练习1·化一般式第20页选择性必修第一册·2.2.3直线的一般式方程练习1把下列方程化为一般式（约定：系数为整数，且A>0）：

关键步骤：移项、去分母、整理。答案：(1)3x−y−2=0；（2）3x−2y−6=0课堂练习2·斜率与截距第21页选择性必修第一册·2.2.3直线的一般式方程练习2求直线2x−3y+6=0的斜率，以及它在x轴、y轴上的截距。

课堂练习3·两点求方程第22页选择性必修第一册·2.2.3直线的一般式方程练习3求经过点A(−2,3)与B(4,1)的直线的一般式方程。

课堂练习4·位置关系判断第23页选择性必修第一册·2.2.3直线的一般式方程练习4判断下列各组直线的位置关系：

课堂练习5·直线过定点第24页选择性必修第一册·2.2.3直线的一般式方程练习5求证：不论m取何值，直线(2m−1)x+(m+3)y−m+4=0恒过一定点，并求出该定点。关键步骤：按m合并——m(2x+y−1)+(−x+3y+4)=0令2x+y−1=0且−x+3y+4=0解得x=1，y=−1，故直线恒过定点(1,−1)课堂练习6·截距相等问题第25页选择性必修第一册·2.2.3直线的一般式方程练习6直线l经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等，求l的方程。

思考题1·系数与直线的位置第26页选择性必修第一册·2.2.3直线的一般式方程思考1已知直线l：Ax+By+C=0（A、B不同时为0）。分别说明A、B、C满足什么条件时：(1)直线l过原点；(2)直线l与x轴平行或重合；(3)直线l与y轴平行或重合。提示：把条件“翻译”成方程——过原点即(0,0)满足方程；平行于x轴即斜率为0。思考题2·直线系恒过定点第27页选择性必修第一册·2.2.3直线的一般式方程思考2求证：不论λ取何实数，直线(2λ+1)x+(λ+1)y−7λ−4=0恒过一定点，并求该定点坐标。提示1：把含λ的项合并——λ(2x+y−7)+(x+y−4)=0提示2：要使方程对任意λ成立，两个括号必须同时为0。答案：定点坐标为(3,1)课堂小结第28页选择性必修第一册·2.2.3直线的一般式方程一个概念直线的一般式方程Ax+By+C=0（A、B不同时为0）一个公式

一种转化特殊形式⇄一般式：去分母、移项、整理一种思想特殊与一般、数形结合、化归一般式能表示所有直线，是直线方程的“