广东省广州白云广雅实验学校2027届九上数学期末综合测试模拟试题含解析

广东省广州白云广雅实验学校2027届九上数学期末综合测试模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题(每小题3分,共30分)1．2020的相反数是（）A． B． C．-2020 D．20202．根据下面表格中的对应值：x3.243.253.26ax2+bx+c﹣0.020.010.03判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（）A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25 C．3.25＜x＜3.26 D．x＞3.263．如图，小明将一个含有角的直角三角板绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成一个几何体，将这个几何体的侧面展开，得到的大致图形是（）A． B．C． D．4．已知反比例函数的解析式为，则的取值范围是A． B． C． D．5．按如图所示的方法折纸，下面结论正确的个数（）①∠2＝90°；②∠1＝∠AEC；③△ABE∽△ECF；④∠BAE＝∠1．A．1个 B．2个 C．1个 D．4个6．如图，一根电线杆垂直于地面，并用两根拉线，固定，量得，，则拉线，的长度之比（）A． B． C． D．7．《九章算术》中有一题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何?”其意思是:“今有直角三角形，勾(短直角边)长为步，股(长直角边)长为步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是（）A．步 B．步 C．步 D．步8．如图，P为平行四边形ABCD的对称中心，以P为圆心作圆，过P的任意直线与圆相交于点M，N．则线段BM，DN的大小关系是（）A．BM＞DN B．BM＜DN C．BM=DN D．无法确定9．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则sin∠BDE的值是（）A． B． C． D．10．如图，在▱ABCD中，AB：BC＝4：3，AE平分∠DAB交CD于点E，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．4：3 D．16：9二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，函数y＝的图象所在坐标系的原点是_______．12．用一根长为31cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是cm1．13．已知关于x方程x2﹣3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为_____．14．已知抛物线y＝（1﹣3m）x2﹣2x﹣1的开口向上，设关于x的一元二次方程（1﹣3m）x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1、x2，若﹣1＜x1＜0，x2＞2，则m的取值范围为_____．15．若菱形的两条对角线长分别是6㎝和8㎝，则该菱形的面积是㎝1．16．如图，△ABC绕点B逆时针方向旋转到△EBD的位置，∠A=20°，∠C=15°，E、B、C在同一直线上，则旋转角度是_______．17．如图、正比例函数与反比例函数的图象交于（1,2），则在第一象限内不等式的解集为_____________．18．二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A(-1，0)，B(3，0)，那么一元二次方程ax2+bx=0的根是_____．三、解答题(共66分)19．（10分）如图1，中，，是的中点，平分交于点，在的延长线上且．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）如图2若四边形是菱形，连接，，与交于点，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的所有等边三角形．20．（6分）（问题情境）（1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．其符号语言是：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则：（1）AC²=AB·AD；(2)BC²=AB·BD；(3)CD²=AD·BD；请你证明定理中的结论（1）AC²=AB·AD．（结论运用）（2）如图2，正方形ABCD的边长为3，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，①求证：△BOF∽△BED；②若，求OF的长．21．（6分）按要求解答下列各小题．（1）解方程：；（2）计算：．22．（8分）如图，从一块长80厘米，宽60厘米的铁片中间截去一个小长方形，使截去小长方形的面积是原来铁片面积的一半，并且剩下的长方框四周的宽度一样，求这个宽度．23．（8分）如图，已知l1∥l2，Rt△ABC的两个顶点A，B分别在直线l1，l2上，，若l2平分∠ABC，交AC于点D，∠1=26°，求∠2的度数．24．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．（1）求∠ABC的度数；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．25．（10分）阅读下列材料，关于x的方程：x+＝c+的解是x1＝c，x2＝；x﹣＝c﹣的解是x1＝c，x2＝﹣；x+＝c+的解是x1＝c，x2＝；x+＝c+的解是x1＝c，x2＝；……（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程x+＝c+（a≠0）与它们的关系猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证．（2）可以直接利用（1）的结论，解关于x的方程：x+＝a+．26．（10分）如图，已知EC∥AB，∠EDA=∠ABF．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）求证：=OE•OF．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】根据相反数的定义选择即可.【详解】2020的相反数是-2020，故选C.本题考查相反数的定义，注意区别倒数，绝对值，负倒数等知识，掌握概念是关键．2、B【解析】根据表中数据可得出ax2+bx+c＝0的值在-0.02和0.01之间，再看对应的x的值即可得．【详解】∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.1时，ax2+bx+c＝0.01，∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.1．故选：B．本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．3、C【分析】先根据面动成体得到圆锥，进而可知其侧面展开图是扇形，根据扇形的弧长公式求得扇形的圆心角，即可判别．【详解】设含有角的直角三角板的直角边长为1，则斜边长为，将一个含有角的直角三角板绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成一个几何体是圆锥，此圆锥的底面周长为：，圆锥的侧面展开图是扇形，，即，∴，∵，∴图C符合题意，故选：C．本题考查了点、线、面、体中的面动成体，解题关键是根据扇形的弧长公式求得扇形的圆心角．4、C【分析】根据反比例函数的定义可得|a|-2≠0,可解得.【详解】根据反比例函数的定义可得|a|-2≠0,可解得a≠±2.故选C.本题考核知识点：反比例函数定义.解题关键点：理解反比例函数定义.5、C【解析】∵∠1+∠1=∠2，∠1+∠1+∠2=180°，∴∠1+∠1=∠2=90°，故①正确；∵∠1+∠1=∠2，∴∠1≠∠AEC.故②不正确；∵∠1+∠1=90°，∠1+∠BAE=90°,∴∠1=∠BAE,又∵∠B＝∠C,∴△ABE∽△ECF.故③，④正确；故选C.6、D【分析】根据锐角三角函数可得：和，从而求出.【详解】解：在Rt△AOP中，，在Rt△BOP中，，∴故选D.此题考查的是锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解决此题的关键.7、A【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可确定出内切圆半径，进而得出直径.【详解】根据勾股定理，得斜边为，则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径（步），即直径为6步，故答案为A.此题主要考查了三角形的内切圆与内心，熟练掌握，即可解题.8、C【解析】分析：连接BD，根据平行四边形的性质得出BP=DP，根据圆的性质得出PM=PN，结合对顶角的性质得出∠DPN=∠BPM，从而得出三角形全等，得出答案．详解：连接BD，因为P为平行四边形ABCD的对称中心，则P是平行四边形两对角线的交点，即BD必过点P，且BP=DP，∵以P为圆心作圆，∴P又是圆的对称中心，∵过P的任意直线与圆相交于点M、N，∴PN=PM，∵∠DPN=∠BPM，∴△PDN≌△PBM（SAS），∴BM=DN．点睛：本题主要考查的是平行四边形的性质以及三角形全等的证明，属于中等难度的题型．理解平行四边形的中心对称性是解决这个问题的关键．9、C【分析】由矩形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，可得BE＝CE＝BC＝AD，由全等三角形的性质可得AE＝DE，由相似三角形的性质可得AF＝2EF，由勾股定理可求DF的长，即可求sin∠BDE的值．【详解】∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC∵点E是边BC的中点，∴BE＝CE＝BC＝AD，∵AB＝CD，BE＝CE，∠ABC＝∠DCB＝90°∴△ABE≌△DCE（SAS）∴AE＝DE∵AD∥BC∴△ADF∽△EBF∴＝2∴AF＝2EF，∴AE＝3EF＝DE，∴sin∠BDE＝，故选C．本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的运用，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键．10、B【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠DEA＝∠EAB，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAB，∴∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE，∵AB：BC＝4：3，∴DE：AB＝3：4，∵△DEF∽△BAF，∵DE：EC＝3：1，∴DE：DC＝DE：AB＝3：4，∴．故选：B．本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．二、填空题(每小题3分,共24分)11、M【分析】由函数解析式可知函数关于y轴对称，即可求解；【详解】解：由已知可知函数y＝的图象关于y轴对称，所以点M是原点；

故答案为：M．本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握函数的解析式与函数图象的关系是解题的关键．12、2．【解析】试题解析：设矩形的一边长是xcm，则邻边的长是（16-x）cm．则矩形的面积S=x（16-x），即S=-x1+16x，当x=-时，S有最大值是：2．考点：二次函数的最值．13、1【解析】分析：设方程的另一个根为m，根据两根之和等于-，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．详解：设方程的另一个根为m，根据题意得：1+m=3，解得：m=1．故答案为1．点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-是解题的关键．14、﹣＜m＜【分析】首先由抛物线开口向上可得：1﹣3m＞0，再由1＜x1＜0可得：2＞3m，最后由x2＞2可得：1﹣3m＜，由以上三点即可求出m的取值范围．【详解】∵抛物线y＝（1﹣3m）x2﹣2x﹣1的开口向上，∴1﹣3m＞0，①∵﹣1＜x1＜0，∴当x＝﹣1时，y＞0，即2＞3m，②∵x2＞2，∴当x＝2时，y＜0，即1﹣3m＜，③由①②③可得：﹣＜m＜，故答案为：﹣＜m＜．本题考查了抛物线与x轴的交点的问题，解题时应掌握△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．15、14【解析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．解：根据对角线的长可以求得菱形的面积，根据S=ab=×6×8=14cm1，故答案为14．16、35°【分析】根据旋转角度的概念可得∠ABE为旋转角度，然后根据三角形外角的性质可进行求解．【详解】解：由题意得：∠ABE为旋转角度，∵∠A=20°，∠C=15°，E、B、C在同一直线上，∴∠ABE=∠A+∠C=35°；故答案为35°．本题主要考查旋转及三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质及三角形外角的性质是解题的关键．17、x＞1【分析】在第一象限内不等式k1x＞的解集就是正比例函数图象都在反比例函数图象上方，即有y1＞y2时x的取值范围．【详解】根据图象可得：第一象限内不等式k1x＞

的解集为x＞1．

故答案是：x＞1．此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，解题关键在于掌握反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．18、0，2【分析】将点A，B代入二次函数解析式，求得的值，再代入，解出答案．【详解】∵经过点A（-1,0），B（3,0）∴，解得∴即为解得：或故答案为：或．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，及提取公因式法解一元二次方程是解题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）详见解析；（2）△ACF、、、【分析】（1）在中，，是的中点，可得，再通过，得证，再通过证明，得证，即可证明四边形BCEF是平行四边形；（2）根据题意，直接写出符合条件的所有等边三角形即可．【详解】（1）证明：∵在中，，是的中点∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴又∵，∴四边形BCEF是平行四边形；（2）∵四边形是菱形∴，∵∴∴△BCE和△BEF是等边三角形∴∴∵∴∴∴∴∴在△CDE和△CGE中∴∴∴是等边三角形∴∴∴∴∴∴△ACF是等边三角形∴等边三角形有△ACF，，，本题考查了几何图形的综合问题，掌握直角三角形的斜边中线定理、平行的性质以及判定定理、平行四边形的性质以及判定、菱形的性质是解题的关键．20、（1）见解析；（2）①见解析；②【分析】（1）证明△ACD∽△ABC，即可得证；

（2）①BC2=BO•BD，BC2=BF•BE，即BO•BD=BF•BE，即可求解；②在Rt△BCE中，BC=3，BE=，利用△BOF∽△BED，即可求解．【详解】解：（1）证明：如图1，∵CD⊥AB，

∴∠BDC=90°，

而∠A=∠A，∠ACB=90°，

∴△ACD∽△ABC，

∴AC：AB=AD：AC，

∴AC²=AB·AD；

（2）①证明：如图2，

∵四边形ABCD为正方形，

∴OC⊥BO，∠BCD=90°，

∴BC2=BO•BD，

∵CF⊥BE，

∴BC2=BF•BE，

∴BO•BD=BF•BE，

即，而∠OBF=∠EBD，

∴△BOF∽△BED；

②∵在Rt△BCE中，BC=3，BE=，∴CE=，∴DE=BC-CE=2；

在Rt△OBC中，OB=BC=，∵△BOF∽△BED，∴，即，∴OF=.本题为三角形相似综合题，涉及到勾股定理运用、正方形基本知识等，难点在于找到相似三角形，此类题目通常难度较大．21、（1）；；（2）．【分析】（1）去括号整理后利用因式分解法解方程即可；

（2）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【详解】(1)去括号得：移项合并得：因式分解得：即：或∴；(2)．本题考查了解一元二次方程-因式分解法，特殊角的三角函数值，正确分解因式、熟记特殊角的三角函数值是解题关键．22、长方框的宽度为10厘米【分析】设长方框的宽度为x厘米，则减去小长方形的长为（80﹣2x）厘米，宽为（60﹣2x）厘米，根据长方形的面积公式结合截去小长方形的面积是原来铁片面积的一半，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】解：设长方框的宽度为x厘米，则减去小长方形的长为（80﹣2x）厘米，宽为（60﹣2x）厘米，依题意，得：（80﹣2x）（60﹣2x）＝×80×60，整理，得：x2﹣70x+600＝0，解得：x1＝10，x2＝60（不合题意，舍去）．答：长方框的宽度为10厘米．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23、38°【解析】试题分析：根据平行线的性质先求得∠ABD=26°，再根据角平分线的定义求得∠ABC=52°，再根据直角三角形两锐角互余即可得.试题解析：∵l1∥l2，∠1=26°，∴∠ABD=∠1=26°，又∵l2平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABD=52°，∵∠C=90°，∴Rt△ABC中，∠2=90°﹣∠ABC=38°．24、（1）60°;(2)证明略;(3)【分析】（1）根据∠ABC与∠D都是劣弧AC所对的圆周角，利用圆周角定理可证出∠ABC=∠D=60°；

（2）根据AB是⊙O的直径，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，结合∠ABC=60°求得∠BAC=30°，从而推出∠BAE=90°，即OA⊥AE，可得AE是⊙O的切线；

（3）连结OC，证出△OBC是等边三角形，算出∠BOC=60°且⊙O的半径等于4，可得劣弧AC所对的圆心角∠AOC=120°，再由弧长公式加以计算，可得劣弧AC的长．【详解】（1）∵∠ABC与