2025-2026学年北京五十七中高一（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年北京五十七中高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设i为虚数单位，复数(2−i)z=1+i，则z的共轭复数z−在复平面中对应的点在(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在△ABC中，已知b=40，c=20，C=60°，则此三角形的解的情况是(

)A.有一解 B.有两解

C.无解 D.有解但解的个数不确定3.函数①f(x)=sinx+cosx，②f(x)=sinxcosx，③f(x)=cos2(x+π4)−A.①② B.② C.③ D.②③4.在等腰梯形ABCD中，AD//BC，BC=2AD=4，CD=2.将等腰梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为A.4π3 B.8π3 C.10π35.设α，β是两个不同的平面，l，m是两条直线，且m⊂α，l⊥α.则“l⊥β”是“m//β”的(

)A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.在正四面体ABCD中，棱AB与底面BCD所成角的正弦值为(

)A.33 B.63 C.7.棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则BA⋅CE=A.1B.−1

C.3D.8.如图，在四面体P−ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥CB，PA=AC=2BC=2，则此四面体的外接球表面积为(

)A.3π

B.9π

C.36π

D.48π9.刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面角的角度用弧度制).例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π3，则其各个顶点的曲率均为2π−3×π3=π.若正四棱锥S−ABCD的侧面与底面的夹角的正切值为2，则四棱锥S−ABCD在顶点A.π B.4π3 C.5π6 10.某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面AFR⊥平面ABC，平面CDT⊥平面ABC，AB⊥BC，AB//EF//RS//CD，BC//DE//ST//AF.若AB=BC=8,AF=CD=4,RA=RF=TC=TD=52，则该多面体的体积为(

)A.40 B.50 C.60 D.7011.如图，在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是线段A.AP⊥BD1

B.AP//平面A1C1D

C.直线AP与直线A1D1所成角的范围是12.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是棱AB，BB1的中点，点P在对角线CA.线段CA1的三等分点，且靠近点A1 B.线段CA1的中点

C.线段CA1的三等分点，且靠近点二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。13.已知复数z=(a+2i)(1−2i)(a∈R)是纯虚数，则a=

，复数z的虚部为

．14.如图，若平行六面体ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均为2，且AB⋅CC1=−2，则<AB，15.已知向量a,b满足|b|=2，a与b的夹角为π6，则当实数λ变化时，|b−λ16.已知圆锥的顶点为S，母线SA、SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为515，则该圆锥的侧面积为

17.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中抹去八个形状与大小都相同的三棱锥.其中AB=BC=x，AA1=2，E为AA1的中点，F与G分别是棱AD与棱AB上的点，且满足AE=AF=AG.已知抹去之后的体积是长方体ABCD−A118.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AC边上的高为33b，则ca+a19.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC=2，BB1=3，D是A1C1的中点，点

20.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P，Q分别在棱BB1，DD1上，且B1P=DQ=x，点M为B1C1的中点，给出下面四个结论：

①AC⊥PQ；

②存在x∈(0,2)，使得∠PMQ是钝角；

③当x=1时，

三、解答题：本题共6小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。21.(本小题8分)

已知函数f(x)=2sinx(cosx+3sinx)−3．

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)当x∈[−π2,0]时，求函数f(x)的最大值和最小值，并求出对应x的值：

(3)若22.(本小题8分)

在△ABC中，c=2bcosB,∠C=2π3．

(1)求∠B；

(2)在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长．

条件①c=2b；

条件②△ABC的周长为4+23；

条件③△ABC的面积为3．23.(本小题8分)

如图长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点E为DD1的中点．

24.(本小题8分)

如图，在四棱锥S−ABCD中，四边形ABCD是矩形，△SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，P、E分别为棱AD、SB的中点．

(1)求证：PE/​/平面SCD；

(2)已知M为棱AS上的点，且平面PMB与平面SAD所成角的余弦值为235，求AMAS的值；

(3)在(2)已知的条件下，设点G在DS延长线上，且DGDS=2.25.(本小题8分)

如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，E为AD的中点，O为BE的中点．将△ABE沿BE折起到A′BE，使得平面A′BE⊥平面BCDE(如图2)．

(Ⅰ)求证：A′O⊥CD；

(Ⅱ)求直线A′C与平面A′DE所成角的正弦值；

(Ⅲ)在线段A′C上是否存在点P，使得OP/​/平面A′DE？若存在，求出A′PA′C的值；若不存在，请说明理由．26.(本小题10分)

设n(n≥2)为正整数，若α=(x1,x2,…,xn)满足：

①xi∈{0,1,…,n−1}，i=1，2，…，n；

②对于1≤i<j≤n，均有xi≠xj；

则称a具有性质E(n)．

对于a=(x1,x2,…,xn)和β=(y1,y2,…,yn)，定义集合T(α,β)={t|t=|xi−yi|，i=1，2，…，n}．

(Ⅰ)设a=(0,1,2)，若β=(y1,y2,y3)具有性质E(3)1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】D

10.【答案】C

11.【答案】C

12.【答案】B

13.【答案】−410

14.【答案】2ππ

15.【答案】1

16.【答案】4017.【答案】14

18.【答案】719.【答案】1或2

20.【答案】①②④

21.【答案】π.

当x=−π2时，f(x)max=3；当x=−π22.【答案】解：(1)在△ABC中，c=2bcosB,∠C=2π3，

根据正弦定理bsinB=csinC=2R可得sinC=2sinBcosB，

根据二倍角的正弦公式可得sinC=sin2B，

因为C=2π3，

所以当C=2B时，B=π3，所以C+B=π，

不合题意，舍去，所以C+2B=π，

所以2B=π3，所以B=π6；

(2)选①：cb=sinCsinB=3，与已知条件矛盾，

故△ABC不存在；

选②：因为C=2π3，B=π6，所以A=π6，

根据正弦定理可得asinA=bsinB=csinC=2R，

所以a=R，b=R，c=3R，

因为△ABC的周长为4+23，

所以a+b+c=(2+3)R=4+23，

所以R=2，所以a=2，b=2，c=23，

设BC中点为23.【答案】(1)证明：连接BD，与AC交于点O，连接B1O，AB1，

由勾股定理得，EB1=12+12+(22)2=3，B1O=22+(12)2+(12)2=322，OE=(22)2+(12)2+(12)2=62，

所以B1O2=OE2+EB12，即EB1⊥OE，

24.【答案】证明：如图，取SC中点F，连接EF，FD，

∵E为SB的中点，∴EF/​/BC且EF=12BC.，

∵底面四边形ABCD是矩形，P为棱AD的中点，∴PD/​/BC且PD=12BC．

∴PD//EF且PD=EF，故四边形PEDF是平行四边形，

∴PE//FD，又PE⊄平面SCD，FD⊂平面SCD，

∴PE//平面SCD；

23；

直线BG在平面PMB内，理由如下：

∵△SAD是正三角形，DGDS=2，则SD=SA=SG=2，∠ADG=∠ASD=60°，

∴∠MSG=120°，∠MSP=30°，SP=3，由

知AM=43，则SM=23，

在△MSG中GM=SG2+SM2−2SG⋅SMcos120°=4+49+43=2313，

在△MSP中PM=SP2+SM2−2SP⋅SMcos30°=3+49−2=133，25.【答案】(Ⅰ)证明：如图，

在矩形ABCD中，∵AB=2，BC=4，E为AD中点，∴AB=AE=2，

∵O为BE的中点，∴AO⊥BE，由题意可知，A′O⊥BE，

∵平面A′BE⊥平面BCDE，平面A′BE∩平面BCDE=BE，A′O⊂平面A′BE，

∴A′O⊥平面BCDE，

∵CD⊂平面BCDE，

∴A′O⊥CD．

(Ⅱ)解：取BC中点为F，连接OF，

由矩形ABCD性质，AB=2，BC=4，可知OF⊥BE，

由(Ⅰ)可知，A′O⊥BE，A′O⊥OF，

以O为原点，OA′为z轴，OF为x轴，OE为y轴建立坐标系，

在Rt△BAE中，由AB=2，AE=2，则BE=22,OA=2，

∴A′(0,0,2),E(0,2,0),F(2,0,0)，B(0,−2,0),C(22,2,0),D(2,22,0)，

A′C=(22,2,−2)，ED=(2,2,0)，A′E=(0,2,−2)，

设平面A′DE的一个法向量为m=(x,y,z)，

则m⋅A′E=0m⋅ED=0，2y−2z=02x+2y=0，令y=z=126.【答案】解：(1)根据题意，令β=(0,1,2)，即y1=0，y2=1，y3=2，

则根据题意可得，t=|xi−yi|=0(i=1,2,3)，则相应的一个T(α,β)={0}；

若β=(0,2,1)，即y1=0，y2=2，y3=1，

则根据题意可得，t=|xi−yi|=0,i=11,i=2,3，则相应的一个T(α,β)={0，1}；

若β=(1,0,2)，即y1=1，y2=0，y3=2，

则根据题意可得，t=|xi−yi|=1,i=1,20,i=3，则相应的一个T(α,β)={0，1}；

若β=(1,2,0)，即y1=1，y2=2，y3=0，

则根据题意可得，t=|xi−yi|=1,i=1,22,i=3，则相应的一个T(α,β)={1，2}；

同理可得，若β=(2,0,1)，则相应的一个T(α,β)={1，2}；

若β=(2,1,0)，则相应的一个T(α,β)={0，2}；

(2)假设存在α=(x1,x2,…,x6)，和β=(y1,y2,…,y6)均具有性质E{6}，且T(α,β)={0，1，2，3，4，5}，

则0+1+2+3+4+5=i=15|xi−yi|=15，因为|xi−yi