山东省日照市宁波路学校2027届数学九年级第一学期期末达标检测试题含解析

山东省日照市宁波路学校2027届数学九年级第一学期期末达标检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图所示，是的中线，是上一点，，的延长线交于，（）A． B． C． D．2．若关于x的一元二次方程kx2+2x–1=0有实数根，则实数k的取值范围是A．k≥–1 B．k>–1C．k≥–1且k≠0 D．k>–1且k≠03．对于不为零的两个实数a，b，如果规定a★b，那么函数的图象大致是（）A． B． C． D．4．如图，△ABC中，∠B＝70°，则∠BAC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．当点B的对应点D恰好落在AC上时，∠CAE的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°5．一元二次方程x2+4x＝5配方后可变形为（）A．（x+2）2＝5 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣2）2＝9 D．（x﹣2）2＝216．如图，在扇形中，∠，，则阴影部分的面积是（）A． B．C． D．7．如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝8．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位：）与旋钮的旋转角度（单位：度）（）近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A． B． C． D．9．二位同学在研究函数(为实数，且)时，甲发现当0<<1时，函数图像的顶点在第四象限；乙发现方程必有两个不相等的实数根，则()A．甲、乙的结论都错误 B．甲的结论正确，乙的结论错误C．甲、乙的结论都正确 D．甲的结论错误，乙的结论正确10．如图是一根空心方管，它的俯视图是（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图所示，已知：点，，．在内依次作等边三角形，使一边在轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…，则第个等边三角形的周长等于．12．在一个不透明的口袋中，有大小、形状完全相同，颜色不同的球15个，从中摸出红球的概率为，则袋中红球的个数为_____．13．如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：第一步：如图①，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC（余下部分不再使用）；第二步：如图②，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；第三步：如图③，将MN左侧纸片绕G点按顺时针旋转180º，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180º，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片（裁剪和拼图过程均无缝且不重叠）则拼成的这个四边形纸片的周长的最大值为___cm．14．如图，在中，、分别是、的中点，点在上，是的平分线，若，则的度数是________．15．如图，的直径长为6，点是直径上一点，且，过点作弦，则弦长为______．16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，tanA＝，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，点F是DE上一动点，以点F为圆心，FD为半径作⊙F，当FD＝_____时，⊙F与Rt△ABC的边相切．17．已知＝，则的值是_______．18．计算：sin45°＝____________．三、解答题(共66分)19．（10分）将一块面积为的矩形菜地的长减少，它就变成了正方形，求原菜地的长．20．（6分）某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高CD，在课外活动时间测得下列数据：如图，从地面E点测得地下停车场的俯角为30°，斜坡AE的长为16米，地面B点(与E点在同一个水平线)距停车场顶部C点(A、C、B在同一条直线上且与水平线垂直)2米．试求该校地下停车场的高度AC及限高CD(结果精确到0.1米，≈1.732)．21．（6分）如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°，使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？22．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有实数根．（1）求k的取值范围．（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，若2x1x2﹣x1﹣x2＝1，求k的值．23．（8分）课堂上同学们借助两个直角三角形纸板进行探究，直角三角形纸板如图所示，分别为Rt△ABC和Rt△DEF，其中∠A＝∠D＝90°，AC＝DE＝2cm．当边AC与DE重合，且边AB和DF在同一条直线上时：（1）在下边的图形中，画出所有符合题意的图形；（2）求BF的长．24．（8分）国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：61.762.463.665.966.468.569.169.369.5c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：d．中国的国家创新指数得分为69.5.（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）根据以上信息，回答下列问题：（1）中国的国家创新指数得分排名世界第______；（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线的上方．请在图中用“”圈出代表中国的点；（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为______万美元；（结果保留一位小数）（4）下列推断合理的是______．①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．25．（10分）如图，河流两岸PQ，MN互相平行，C、D是河岸PQ上间隔50m的两个电线杆，某人在河岸MN上的A处测得∠DAB＝30°，然后沿河岸走了100m到达B处，测得∠CBF＝70°，求河流的宽度（结果精确到个位，＝1.73，sin70°＝0.94，cos70°＝0.34，tan70°＝2.75）26．（10分）如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．（1）求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C，若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】作DH∥BF交AC于H，根据三角形中位线定理得到FH=HC，根据平行线分线段成比例定理得到，据此计算得到答案．【详解】解：作DH∥BF交AC于H，

∵AD是△ABC的中线，

∴BD=DC，

∴FH=HC，∴FC=2FH，

∵DH∥BF，，，∴AF：FC=1：6，∴AF：AC=1：7，

故选：D．本题考查平行线分线段成比例定理，作出平行辅助线，灵活运用定理、找准比例关系是解题的关键．2、C【解析】解：∵一元二次方程kx2﹣2x﹣1=1有两个实数根，∴△=b2﹣4ac=4+4k≥1，且k≠1，解得：k≥﹣1且k≠1．故选C．点睛：此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于1，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于1，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于1，方程没有实数根．3、C【分析】先根据所给新定义运算求出分段函数解析式，再根据函数解析式来判断函数图象即可.【详解】解：∵a★b，∴∴当x>2时，函数图象在第一象限且自变量的值不等于2，当x≤2时，是反比例函数，函数图象在二、四象限.故应选C.本题考查了分段函数及其图象，理解所给定义求出分段函数解析式是解题的关键.4、C【解析】由三角形内角和定理可得∠ACB=80°，由旋转的性质可得AC=CE，∠ACE=∠ACB=80°，由等腰的性质可得∠CAE=∠AEC=50°．【详解】∵∠B＝70°，∠BAC＝30°∴∠ACB＝80°∵将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．∴AC＝CE，∠ACE＝∠ACB＝80°∴∠CAE＝∠AEC＝50°故选C．本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．5、B【分析】两边配上一次项系数一半的平方可得．【详解】∵x2+4x=5，∴x2+4x+4=5+4，即（x+2）2=9，故选B．本题主要考查解一元二次方程的基本技能，熟练掌握解一元二次方程的常用方法和根据不同方程灵活选择方法是解题的关键．6、D【分析】利用阴影部分的面积等于扇形面积减去的面积即可求解.【详解】=故选D本题主要考查扇形面积和三角形面积，掌握扇形面积公式是解题的关键.7、C【解析】试题解析：∵等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，∴y与x的函数关系式为：故选C．点睛：根据三角形的面积公式列出即可求出答案.8、C【解析】根据已知三点和近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0)可以大致画出函数图像，并判断对称轴位置在36和54之间即可选择答案.【详解】解：由图表数据描点连线，补全图像可得如图，抛物线对称轴在36和54之间，约为41℃∴旋钮的旋转角度在36°和54°之间，约为41℃时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气.故选：C，本题考查了二次函数的应用，二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数图像对称性质，判断对称轴位置是解题关键.综合性较强，需要有较高的思维能力，用图象法解题是本题考查的重点．9、D【分析】先根据函数的解析式可得顶点的横坐标，结合判断出横坐标可能取负值，从而判断甲不正确；再通过方程的根的判别式判断其根的情况，从而判断乙的说法.【详解】，原函数定为二次函数甲：顶点横坐标为，，所以甲不正确乙：原方程为，化简得：必有两个不相等的实数根，所以乙正确故选：D.本题考查二次函数图象的性质、顶点坐标、一元二次方程的根的判别式，对于一般形式有：（1）当，方程有两个不相等的实数根；（2）当，方程有两个相等的实数根；（3）当，方程没有实数根.10、B【分析】俯视图是从物体的上面看，所得到的图形：注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．【详解】如图所示：俯视图应该是故选：B．本题考查了作图−三视图，解题的关键是掌握看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．二、填空题(每小题3分,共24分)11、【解析】∵OB=，OC=1，∴BC=2，∴∠OBC=30°，∠OCB=60°．而△AA1B1为等边三角形，∠A1AB1=60°，∴∠COA1=30°，则∠CA1O=90°．在Rt△CAA1中，AA1=OC=，同理得：B1A2=A1B1=，依此类推，第n个等边三角形的边长等于．第n个等边三角形的周长等于.12、【分析】等量关系为：红球数：总球数=，把相关数值代入即可求解．【详解】设红球有x个，根据题意得：，

解得：x=1．

故答案为1．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13、【分析】首先确定剪拼之后的四边形是个平行四边形，其周长大小取决于MN的大小．然后在矩形中探究MN的不同位置关系，得到其长度的最大值与最大值，从而问题解决．【详解】解：画出第三步剪拼之后的四边形M1N1N2M2的示意图，如答图1所示．图中，N1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC，M1M2=M1G+GM+MH+M2H=2（GM+MH）=2GH=BC（三角形中位线定理），又∵M1M2∥N1N2，∴四边形M1N1N2M2是一个平行四边形，其周长为2N1N2+2M1N1=2BC+2MN．∵BC=6为定值，∴四边形的周长取决于MN的大小．如答图2所示，是剪拼之前的完整示意图，过G、H点作BC边的平行线，分别交AB、CD于P点、Q点，则四边形PBCQ是一个矩形，这个矩形是矩形ABCD的一半，∵M是线段PQ上的任意一点，N是线段BC上的任意一点，根据垂线段最短，得到MN的最小值为PQ与BC平行线之间的距离，即MN最小值为4；而MN的最大值等于矩形对角线的长度，即，四边形M1N1N2M2的周长=2BC+2MN=12+2MN，∴最大值为12+2×=12+．故答案为：12+．此题通过图形的剪拼，考查了动手操作能力和空间想象能力，确定剪拼之后的图形，并且探究MN的不同位置关系得出四边形周长的最值是解题关键．14、100°【分析】利用三角形中位线定理可证明DE//BC，再根据两直线平行，同位角相等可求得∠AED，再根据角平分线的定义可求得∠DEF，最后根据两直线平行，同旁内角互补可求得∠EFB的度数．【详解】解：∵在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE∥BC，

∴∠AED=∠C=80°，∠DEF+∠EFB=180°,

又ED是∠AEF的角平分线，

∴∠DEF=∠AED=80°，

∴∠EFB=180°-∠DEF=100°．

故答案为：100°．本题考查三角形中位线定理，平行线的性质定理，角平分线的有关证明．能得出DE是ABC中位线，并根据三角形的中位线平行于第三边得出DE∥BC是解题关键．15、【分析】连接OA，先根据垂径定理得出AE=AB，在Rt△AOE中，根据勾股定理求出AE的长，进而可得出结论．【详解】连接AO，∵CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD于点E，∴AE=AB．∵CD=6，∴OC=3，∵CE=1，∴OE=2，在Rt△AOE中，∵OA=3，OE=2，∴AE=，∴AB=2AE=．故答案为：．本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．16、或【分析】如图1，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，切点为H，连接FH，则HF⊥AC，解直角三角形得到AC＝4，AB＝5，根据旋转的性质得到∠DCE＝∠ACB＝90°，DE＝AB＝5，CD＝AC＝4，根据相似三角形的性质得到DF＝；如图2，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，延长DE交AB于H，推出点H为切点，DH为⊙F的直径，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】如图1，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，切点为H，连接FH，则HF⊥AC，∴DF＝HF，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，tanA＝＝，∴AC＝4，AB＝5，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，∴∠DCE＝∠ACB＝90°，DE＝AB＝5，CD＝AC＝4，∵FH⊥AC，CD⊥AC，∴FH∥CD，∴△EFH∽△EDC，∴＝，∴＝，解得：DF＝；如图2，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，延长DE交AB于H，∵∠A＝∠D，∠AEH＝∠DEC∴∠AHE＝90°，∴点H为切点，DH为⊙F的直径，∴△DEC∽△DBH，∴＝，∴＝，∴DH＝，∴DF＝，综上所述，当FD＝或时，⊙F与Rt△ABC的边相切，故答案为：或．本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．17、【分析】根据合比性质：，可得答案．【详解】由合比性质，得，

故答案为：．此题考查比例的性质，利用合比性质是解题关键．18、1．【分析】根据sin45°＝代入计算即可．【详解】sin45°＝，故答案为：1．本题考查特殊角的三角函数值，熟练记忆是关键．三、解答题(共66分)19、原菜地长为.【分析】设原菜地的长为，根据正方形的性质可得原矩形菜地的宽，再根据矩形的面积公式列出方程求解即可.【详解】设原菜地的长为，则原矩形菜地的宽由题意得：解得：，(不合题意，舍去)答：原菜地的长为.本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意正确建立方程是解题关键.20、AC=6米；CD=5.2米.【分析】根据题意和正弦的定义求出AB的长，根据余弦的定义求出CD的长．【详解】解：由题意得，AB⊥EB，CD⊥AE，∴∠CDA＝∠EBA＝90°，∵∠E＝30°，∴AB＝AE＝8米，∵BC＝2米，∴AC＝AB﹣BC＝6米，∵∠DCA＝90°﹣∠DAC＝30°，∴CD＝AC×cos∠DCA＝6×≈5.2(米)．本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是①掌握特殊角的函数值，②能根据题意做构建直角三角形，③熟练掌握直角三角形的边角关系.21、（20+17）cm．【分析】过点B作BM⊥CE于点M，BF⊥DA于点F，在Rt△BCM和Rt△ABF中，通过解直角三角形可求出CM、BF的长，再由CE=CM+BF+ED即可求出CE的长．【详解】过点B作BM⊥CE于点M，BF⊥DA于点F，如图所示．在Rt△BCM中，BC=30cm，∠CBM=30°，∴CM=BC•sin∠CBM=15cm．在Rt△ABF中，AB=40cm，∠BAD=60°，∴BF=AB•sin∠BAD=20cm．∵∠ADC=∠BMD=∠BFD=90°，∴四边形BFDM为矩形，∴MD=BF，∴CE=CM+MD+DE=CM+BF+ED=15+20+2=20+17（cm）．答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是（20+17）cm．本题考查了解直角三角形的应用以及矩形的判定与性质，通过解直角三角形求出CM、BF的长是解题的关键．22、（1）；（2）k＝1【分析】（1）由△≥1，求出k的范围；（2）由根与系数的关系可知：x1+x2＝﹣2k﹣1，x1x2＝k2，代入等式求解即可．【详解】解：（1）∵一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝1有实数根，∴△＝（2k+1）2﹣4k2≥1，∴；（2）由根与系数的关系可知：x1+x2＝﹣2k﹣1，x1x2＝k2，∴2x1x2﹣x1﹣x2＝2k2+2k+1＝1，∴k＝1或k＝﹣1，∵；∴k＝1．本题考查根与系数的关系；熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，并能用判别式判断根的存在情况是解题的关键．23、（1）补全图形见解析；（2）BF＝(＋2)cm或BF＝(－2)cm．【分析】（1）分两种情况：①△DEF在△ABC外部，②△DEF在△ABC内部进行作图即可；（2）根据（1）中两种情况分别求解即可.【详解】（1）补全图形如图：情况Ⅰ：情况Ⅱ：（2）情况Ⅰ：解：∵在Rt△ACF中，∠F＝∠ACF＝45°∴AF＝AC＝2cm．∵在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴BC＝4，AB＝．∴BF＝(＋2)cm．情况Ⅱ：解：∵在Rt△ACF中，∠F＝∠ACF＝45°∴AF＝AC＝2cm．∵在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴BC＝4，AB＝．∴BF＝(－2)cm．本题主要考查了勾股定理与解直角三角形的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.24、（1）17；（2）如图所示，见解析；（3）2.8；（4）①②.【分析】（1）由国家创新指数得分为69.5以上（含69.5）的国家有17个，即可得出结果；

（2）根据中国在虚线l1的上方，中国的创新指数得分为69.5，找出该点即可；

（3）根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可得出结果；

（4）根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可判断①②的合理性．【详解】解：（1）∵国家创新指数得分为69.5以上（含69.5）的国家有17个，

∴国家创新指数得分排名前40的国家中，中国的国家创新指数得分排名世界第17，

故答案为17；

（2）如图所示：

（3）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.8万美元；

故答案为2.8；

（4）由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，

①相比于点A、B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；合理；

②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值；合理；

故答案为①②．本题考查了频数分布直方图、统计图、样本估计总体、近似数和有效数字等知识；读懂频数分布直方图和统计图是解题的关键．25、河流的宽度CF的值约为37m．【分析】过点C作CE∥AD，交AB于点E，则四边形AECD是平行四边形，利用平行四边形的性质可得出AE、EB及∠CEF的值，通过