21.2.4 一元二次方程根的判别式 课件 -2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

#华东师大版九年级上册数学21.2.4《一元二次方程根的判别式》专项练习（全文1444字）##一\(b、c\)知识点梳理对于一元二次方程$\boldsymbol{ax^2+bx+c=0(a\neq0)}$，把$\boldsymbol{\Delta=b^2-4ac}$叫做一元二次方程的**根的判别式**，用来直接判断方程实数根的个数，不需要解方程。1.$\boldsymbol{\Delta>0}$：方程有**两个不相等的实数根**；2.$\boldsymbol{\Delta=0}$：方程有**两个相等的实数根**；3.$\boldsymbol{\Delta<0}$：方程**没有实数根**。反过来也成立：方程有两个不相等实数根$\Rightarrow\Delta>0$；方程有两个相等实数根$\Rightarrow\Delta=0$；方程没有实数根$\Rightarrow\Delta<0$。重要隐藏条件：只要是一元二次方程，就必须满足$\boldsymbol{a\neq0}$。在含参数的题目中，求参数取值范围时，**不能漏掉$a≠0$**。解题思路：①先整理成一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$；②写出$\(a,b,c\)$（带符号）；③计算$\Delta=b^2-4ac$；④根据题目条件列不等式或等式求解参数；⑤检验二次项系数不为0。本节高频易错点：①判断是一元二次方程，求参数范围忘记$a≠0$；②找$\(a,b,c\)$漏掉负号，导致$\Delta$计算错误；③混淆结论，把$\Delta>0$写成“两个实数根”；④题目没有说明是一元二次方程，直接默认$a≠0$；⑤证明$\Delta$恒正或恒负时，配方出错；⑥文字表述不规范，“两个相等实数根”不能说成“一个实数根”。##二\(b、c\)基础选择题1.一元二次方程$x^2-5x+2=0$的判别式$\Delta$的值是（）A.$17$B.$33$C.$-17$D.$-33$2.方程$x^2-4x+4=0$根的情况是（）A.两个不相等实数根B.两个相等实数根C.没有实数根D.无法判断3.关于$x$的一元二次方程$2x^2-3x+\(m=\)0$有两个不相等实数根，则$m$的取值范围是（）A.$m>\dfrac98$B.$m<\dfrac98$C.$m\ge\dfrac98$D.$m\le\dfrac98$4.下列方程没有实数根的是（）A.$x^2+x=0$B.$x^2-2x-1=0$C.$x^2-2x+3=0$D.$x^2-4x+4=0$5.关于$x$的方程$(k-1)x^2+2x+1=0$有实数根，则$k$的取值范围是（）A.$k\le2$B.$k\le2$且$k≠1$C.$\(k<2\)$D.$\(k<2\)$且$k≠1$##三\(b、c\)填空题1.一元二次方程$3x^2+2x-1=0$，$\Delta=$________。2.若方程$x^2-6x+\(m=\)0$有两个相等实数根，则$\(m=\)$________。3.一元二次方程$x^2+3x+5=0$根的情况：________________。4.关于$x$的方程$x^2+kx+4=0$有两个相等实数根，则$\(k=\)$________。5.若一元二次方程$ax^2-2x+1=0$无实数根，则$a$取值范围________。##四\(b、c\)解答题1.不解方程，判断下列方程根的情况：（1）$x^2+3x-2=0$；（2）$2x^2-4x+2=0$；（3）$x^2-2x+5=0$2.已知关于$x$的一元二次方程$x^2-2x+k-1=0$有两个不相等实数根，求$k$的取值范围。3.求证：无论$m$取何实数，一元二次方程$x^2-(m+2)x+2\(m=\)0$总有实数根。4.拓展探究：已知一元二次方程$(m-1)x^2+2mx+m+3=0$有两个相等实数根，求$m$的值。##五\(b、c\)参考答案与解析###选择题1.A。解析：$\Delta=(-5)^2-4\times1\times2=25-8=17>0$。2.B。解析：$\Delta=16-16=0$，两个相等实数根。3.B。解析：$\Delta=9-8m>0$，解得$m<\dfrac98$。4.C。解析：$\Delta=4-12=-8<0$，无实数根。5.A。解析：分两种情况：①$k-1=0$，一元一次方程有根；②$k-1≠0$，$\Delta\ge0$，综合得$k\le2$。###填空题1.$16$；解析：$\Delta=4+12=16$。2.$9$；解析：$\Delta=36-4\(m=\)0$，$\(m=\)9$。3.没有实数根；解析：$\Delta=9-20=-11<0$。4.$\pm4$；解析：$\Delta=k^2-16=0$，$\(k=\)\pm4$。5.$\(a>1\)$；解析：$\Delta=4-4a<0$且$a≠0$，得$\(a>1\)$。###解答题1.（1）$a=1,b=3,c=-2$，$\Delta=9+8=17>0$，方程有两个不相等实数根。（2）$a=2,b=-4,c=2$，$\Delta=16-16=0$，方程有两个相等实数根。（3）$a=1,b=-2,c=5$，$\Delta=4-20=-16<0$，方程没有实数根。2.解：由题意，$\Delta>0$$\Delta=(-2)^2-4\times1\times(k-1)=4-4k+4=8-4k>0$解得$\(k<2\)$。$\because$是一元二次方程，二次项系数为1，满足条件，$\therefore\(k<2\)$。3.证明：$a=1,b=-(m+2),c=2m$$\Delta=[-(m+2)]^2-4\times1\times2m$$=m^2+4m+4-8\(m=\)m^2-4m+4=(m-2)^2$$\because$任何实数的平方$(m-2)^2\ge0$，即$\Delta\ge0$$\therefore$无论$m$取何实数，方程总有实数根。4.解：方程是一元二次方程，且有两个相等实数根$\begin{cases}m-1\neq0\\\Delta=0\end{cases}$$\Delta=(2m)^2-4(m-1)(m+3)=4m^2-4(m^2+2m-3)$$=4m^2-4m^2-8m+12=-8m+12=0$$-8\(m=\)-12$，解得$\(m=\)\dfrac32$又$m-1≠0$，$\(m=\)\dfrac32$满足条件，$\therefore\(m=\)\dfrac32$。##六\(b、c\)易错总结根的判别式题型，**审题第一要务：看题目有没有说“一元二次方程”**。如果没有说明，需要分情况讨论，可能是一元一次方程，不需要$\Delta$。只要写明是一元二次方程，参数题必须保证二次项系数$a≠0$，这是最容易丢分的地方。代入求$\Delta$时，$b\(b、c\)c$要连同正负号一起代入，很多同学直接取绝对值，计算出错。答题文字描述要严格规范：$\Delta>0$写“两个不相等实数根”；$\Delta=0$写“两个相等实数根”；$\Delta<0$写“没有实数根”，不能简写。证明方程总有实数根，需要计算$\Delta$，再配方，利用平方非负性证明$\Delta\ge0$。求参数取值范围时，看清题目条件：“有实数根”对应$\Delta\ge0$；“两个不相等实数根”对应$\Delta>0$，不等号不要写反。做题时注意，判别式只能判断有没有实数根，不能直接求出根。根的判别式是中考高频考点，常和参数\(b、c\)代数式配方结合，和后面韦达定理一起综合出题。做完题目一定要回头检查二次项系数是否不等于0，避免漏掉限制条件。（全文1444字）下一节：**21.2.5一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）**，继续同格式1444字专项练习吗？华东师大版（新教材）数学九年级上册21.2.4一元二次方程根的判别式授课教师：.

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2026/10/11

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第21章一元二次方程123了解一元二次方程根的判别式；能运用根的判别式，判断一元二次方程根的情况；会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围.公式法解一元二次方程的步骤：

02新知导入现在我们来解决问题1：绿苑小区准备在两幢楼房之间设置一块面积为900m2的矩形绿地，并且长比宽多10m.求绿地的长和宽.x(x+10)=900，x2+10x-900=0,它们都是所列方程的根，但负数根x，不符合题意，应舍去.取x+10≈35.4，符合题意.因此绿地的长约为35.4m，宽约为25.4m.03新知探究探究一元二次方程根的判别式我们在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到只有当b2-4ac≥0时，才能直接开平方，得03新知探究探究一元二次方程根的判别式【想一想】如果b2-4ac<0会怎么样？当b2-4ac<0时，无意义，所以方程没有实数根.也就是说，只有当一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的系数a、b、c满足条件b2-4ac≥0时才有实数根.因此，我们可以根据一元二次方程的系数直接判定根的情况.03新知探究(1)当b2-4ac>0时，方程的右边是一个正数，它有两个不相等的平方根，因此方程有两个不相等的实数根(2)当b2-4ac=0时，方程的右边是0，因此方程有两个相等的实数根：03新知探究(3)当b2-4ac<0时，方程的右边是是一个负数，而对于任何实数x，方程左边，因此方程没有实数根.总结归纳概括：这里的b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程a2+bx+c=0(a≠0)的实数根的情况:当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时，方程有两个相等的实数根;当Δ<0时，方程没有实数根.知识点1

一元二次方程根的判别式

C

C

返回知识点2

利用根的判别式判断一元二次方程根的情况3.

下列方程中，没有实数根的是(

)C

CA.

无实数根

B.

有两个相等的实数根C.

有两个不相等的实数根

D.

无法确定返回知识点3

利用根的判别式求字母的值或取值范围

D

返回03新知探究【例7】不解方程，判断下列方程的根的情况.(1)3x2=5x-2；(2)4x2

-2x+=0；(3)4(y2+1)-y=0.解：(1)原方程可变形为3x2-5x+2=0.因为Δ=(-5)2-4×3×2=25-24=1>0，所以方程有两个不相等的实数根.计算判别式时，方程必须化为一元二次方程的一般形式.03新知探究【例7】不解方程，判断下列方程的根的情况.(1)3x2=5x-2；(2)4x2

-2x+=0；(3)4(y2+1)-y=0.解：(2)因为Δ=(-2)2-4×4×=0，所以方程有两个相等的实数根.03新知探究【例7】不解方程，判断下列方程的根的情况.(1)3x2=5x-2；(2)4x2

-2x+=0；(3)4(y2+1)-y=0.解：(3)因为Δ=(-1)2-4×4×4=-63<0，所以方程没有实数根.03新知探究【试一试】已知关于x的方程2x2-(3+4k)x+2k2+k=0.(1)当k取何值时，方程有两个不相等的实数根?解：由题意可得Δ=[-(3+4k)]2-8(2k2+k)>0，整理得16k+9>0，解得03新知探究【试一试】已知关于x的方程2x2-(3+4k)x+2k2+k=0.(2)当k取何值时，方程有两个相等的实数根?(3)当k取何值时，方程没有实数根?由题意得Δ=16k+9=0，解得由题意得Δ=16k+9<0，解得随堂练习

基础过关(P33)解：(1)先化为一般形式