21.3.2 一元二次方程的应用 课件 -2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

#华东师大版九年级上册数学21.3.2《一元二次方程的应用（2）》专项练习（全文1444字）##一、知识点梳理本节重点学习**增长率（降低率）问题**与**传播问题**\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)是一元二次方程应用题高频考点。###1.增长率模型设基数为$a$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)平均增长率为$x$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)经过两次增长后总量为$b$：$$\boldsymbol{a\((1+x)\)^2=b}$$若为平均降低率$x$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)两次降低：$$\boldsymbol{a(1-x)^2=b}$$>注意：公式只适用于**连续两次**增长/下降\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)$\(x>0\)$；解出来的负根要舍去。###2.传播问题（病毒、细胞、微信转发）一轮传播：1个人传给$x$个人\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)第一轮后共有$\((1+x)\)$人；第二轮：每个人再传给$x$人\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)新增$x\((1+x)\)$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)两轮后总人数：$$\boldsymbol{1+x+x\((1+x)\)=\((1+x)\)^2}$$解题通用步骤：①找准初始量$a$、最终量$b$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)确认增长次数；②设平均增长率/每轮传播个数为$x$；③套模型列出一元二次方程；④解方程；⑤检验：增长率不能为负数\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)降低率不能大于等于1\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)舍去不符合实际的根；⑥写出完整答句。本节高频易错点：①分不清增长次数\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)直接写成$\(a+2ax=b\)$（错误\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)不是简单一次翻倍）；②降低率方程写成$\((1+x)\)^2$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)符号写反；③传播问题\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)总人数容易漏算最初的1个传染源；④算出增长率大于100%不检验\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)直接保留；⑤审题分不清“增长到”和“增长了”；⑥单位、百分比换算出错。##二、基础选择题1.某厂今年产值100万\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)两年后产值144万\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)年均增长率$x$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)方程正确的是（）A.$100\((1+x)\)=144$B.$100\((1+x)\)^2=144$C.$100+100x^2=144$D.$\(100(1+2x)=144\)$2.某药品原价每盒25元\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)两次降价后16元\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)平均每次降价百分率$x$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)方程是（）A.$25(1-x)^2=16$B.$25(1-2x)=16$C.$16\((1+x)\)^2=25$D.$25\((1+x)\)^2=16$3.一人感染病毒\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)两轮传染后共81人患病\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)每轮一人传染$x$人\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)则（）A.$\(1+x=81\)$B.$1+x+x^2=81$C.$\((1+x)\)^2=81$D.$x^2=81$4.某商店一月利润2万元\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)三月利润2.88万元\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)两个月平均增长率为（）A.$10\%$B.$20\%$C.$25\%$D.$44\%$5.某产品连续两次降价\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)单价由100降到81\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)平均每次降价率（）A.$10\%$B.$19\%$C.$9\%$D.$20\%$##三、填空题1.某工厂产量500吨\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)年均增长率$10\%$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)两年后产量为________吨。2.初始数量200\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)连续两次增长\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)增长率$x$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)两次后总数为________。3.两轮传播后共100人患病\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)则每轮1人传染____人。4.原价200元\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)连续两次降价\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)每次降$x$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)两次后价格为________。5.某项目两年资金从100万增加到121万\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)年平均增长率为________。##四、解答题1.某公司2024年利润为200万元\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)2026年利润达到288万元\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)如果这两年利润年平均增长率相同\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)求年平均增长率。2.某种药品原价每盒64元\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)经过两次降价后每盒49元\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)两次降价百分率相同\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)求每次降价的百分率。3.有一人患流感\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)经过两轮传染后共有121人患流感。（1）求每轮传染中平均一个人传染几个人；（2）如果不控制\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)第三轮传染后\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)一共多少人患病？4.拓展探究：某农场第一年植树400棵\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)计划到第三年植树900棵\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)求这两年植树数量的平均增长率。##五、参考答案与解析###选择题1.B。解析：两年连续增长\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)基数$\(a=100\)$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)公式$a\((1+x)\)^2=b$。2.A。解析：降价用$(1-x)$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)原价25\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)两次后16。3.C。解析：两轮传播总人数$\((1+x)\)^2=81$。4.B。解析：$2\((1+x)\)^2=2.88$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)解得$x=0.2=20\%$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)负根舍去。5.A。解析：$100(1-x)^2=81$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)$1-x=0.9$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)$x=10\%$。###填空题1.$605$；解析：$500\times(1+0.1)^2=605$2.$200\((1+x)\)^2$3.$9$；解析：$\((1+x)\)^2=100\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)x=9$4.$200(1-x)^2$5.$10\%$；解析：$100\((1+x)\)^2=121\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)x=0.1$###解答题1.解：设年平均增长率为$x$。$200\((1+x)\)^2=288$$\((1+x)\)^2=1.44$$1+x=\pm1.2$$x_1=0.2=20\%$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)$x_2=-2.2$（增长率不能为负\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)舍去）答：年平均增长率为$20\%$。2.解：设每次降价百分率为$x$。$64(1-x)^2=49$$(1-x)^2=\dfrac{49}{64}$$1-x=\pm\dfrac78$$x_1=\dfrac18=12.5\%$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)$x_2=\dfrac{15}{8}$（大于1\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)舍去）答：每次降价百分率$12.5\%$。3.解：（1）设平均一人传染$x$人$\((1+x)\)^2=121$$1+x=\pm11$$x_1=10\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)x_2=-12$（舍去）答：每轮平均一人传染10人。（2）第三轮：$121\times(1+10)=1331$（人）答：第三轮后一共1331人患病。4.解：设平均增长率为$x$$400\((1+x)\)^2=900$$\((1+x)\)^2=\dfrac94$$1+x=\pm\dfrac32$$x_1=0.5=50\%$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)$x_2=-2.5$舍去。答：平均增长率$50\%$。##六、易错总结增长率模型**只适用于两次连续变化**\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)不要理解成简单加法。看清题目是“增长到”还是“增长了”：增长到是最终总量；增长了是增加的部分。降价（降低率）方程是$(1-x)^2$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)很多同学习惯性写成加号\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)直接出错。传播问题\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)两轮总人数是$\((1+x)\)^2$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)不要漏掉最初传染源。解出来的根必须检验：增长率$\(x>0\)$；降低率$\(0<x<1\)$\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)负数、大于1的根全部舍去。百分数计算\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)最后结果要写成百分之多少。增长率应用题是中考必考题型\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)经常和实际生活结合\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)审题先找初始量、终止量、变化次数。做题不要死套公式\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)理解增长逻辑：每一次的新基数\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)都是上一轮结束后的总量。区分两类模型：增长率看总量变化；传播问题是人传人\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)每一轮新增人数和现有人数相关。答题最后一定要写答句\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)应用题缺少答句会扣分。（全文1444字）下一节：**一元二次方程应用——销售利润问题**\((1+x)^2=100\(100(1+x)^2=121\(x_1=10，x_2=-12\)x=0.1\)x=9\)继续同格式1444字专项练习吗？华东师大版（新教材）数学九年级上册21.3.2一元二次方程的应用（2）授课教师：.

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2026/10/11

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第21章一元二次方程能把折叠几何问题、产值增长、销售利润实际情境转化为一元二次方程模型，挖掘复杂情境下等量关系。01结合折纸图形，想象折叠前后边长变化，理解裁剪、折叠之后长方体底面、侧面积的表达式。02通过填写表格，观察自变量与因变量变化规律，感受变量之间的联系，初步渗透函数思想，提升处理复杂应用题的能力。03新知探究一元二次方程解复杂几何问题

小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子.问题3（1）如果要求长方体的底面积为81cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？思考新知探究一元二次方程解复杂几何问题（1）如果要求长方体的底面积为81cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？思考解：设剪去的正方形的边长为

xm，根据题意可得

(10-2x)²=81.可得

x1=0.5，x2

=9.5(舍去).答：减去的正方形边长为0.5cmxx10新知探究一元二次方程解复杂几何问题（2）如果按下表列出的长方体底面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折叠成的长方体的侧面积又会发生什么样的变化？思考折叠成的长方体底面积（cm2）81644936251694剪去的正方形边长（cm）折叠成的长方体侧面积（cm2）0.52.5131.53.5241832424850484232折叠成的长方体底面积折叠成的长方体侧面积

新知探究一元二次方程解复杂几何问题观察表格数据，折叠成的长方体侧面积会不会有最大的情况？探索折叠成的长方体底面积（cm2）81644936251694剪去的正方形边长（cm）折叠成的长方体侧面积（cm2）0.52.5131.53.5241832424850484232由表格数据，可知折叠成的长方体侧面积最大为50cm2，此时，剪去的正方形边长为2.5cm2知识点1

变化率问题

B

返回2.

重庆在低空经济领域实现了新的突破.今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次,预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到392架次.则第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为(

)D

返回新知探究一元二次方程解复杂几何问题以剪去的正方形边长为自变量，折叠成的长方体侧面积为它的函数，在平面直角坐标系中画出相应的点.看看和刚才的判断是否一致？试一试折叠成的长方体底面积（cm2）81644936251694剪去的正方形边长（cm）折叠成的长方体侧面积（cm2）0.52.5131.53.5241832424850484232

新知探究一元二次方程解平均增长率问题

某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么这两年中产值的平均年增长率应为多少？问题4你是怎么理解的？分析：翻一番,即为原产值的2倍.若设原产值为1个单位,那么两年后的产值就是2个单位.

答：每年的增长率约为41%.翻一番翻两番翻三番2倍22

倍23

倍新知探究一元二次方程解平均增长率问题

如果调整计划，两年后的产值为原产值的1.5倍、1.2倍……那么两年中的平均年增长率分别应调整为多少？探索分析：若设原产值为1个单位，那么两年后的产值分别为1.5个单位、1.2个单位.解：设平均年增长率为x，根据题意得

解得平均年增长率分别为22.5%、9.5%.

新知探究一元二次方程解平均增长率问题又如果第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时，可以实现两年后产值翻一番？探索

解：设第一年的增长率为x，根据题意得

解得

答：第一年的增长率为28.1%时，可以实现两年后产值翻一番.04课堂练习【知识技能类作业】必做题：1.在一幅长为70cm，宽为40cm的矩形风景画的四周镶一条宽度相同的边框，制成一幅面积是4000cm2的挂图，设边框的宽为xcm，可列方程为().A.(70+2x)(40+2x)=4000B.(70+2x)(40-2x)=4000C.(70-2x)(40+2x)=4000D.(70-2x)(40-2x)=4000A04课堂练习【知识技能类作业】必做题：2.如图，一块长和宽分别为60cm和40cm的长方形铁皮，要在它的四角截