人教版高中数学选择性必修一 题库 第二章　2.2.1　直线的点斜式方程

2.2.1直线的点斜式方程学习目标1.了解由斜率公式推导直线的点斜式方程的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.(重点)3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题.(难点)导语射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若要把子弹飞行的轨迹看作一条直线，且射击手达到了上述的两个动作要求，则托枪的手的位置相当于直线上的定点，眼睛瞄准的方向即为直线的倾斜方向.一、求直线的点斜式方程问题1给定一个点P0(x0，y0)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线.怎么确定P0(x0，y0)和斜率k之间的关系？提示根据过两点的直线的斜率公式得y-y0x-x0=k，即y-y0=知识梳理我们把方程y-y0=k(x-x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程.方程y-y0=k(x-x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式.注意点：(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此种形式.(2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y=y0.特别地，x轴的方程是y=0.(3)当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程.此时可将方程写成x=x0.特别地，y轴的方程是x=0.例1(课本例1)直线l经过点P0(-2，3)，且倾斜角α=45°，求直线l的点斜式方程，并画出直线l.解直线l经过点P0(-2，3)，斜率k=tan45°=1，代入点斜式方程得y-3=x+2.画图时，只需再找出直线l上的另一点P1(x1，y1)，例如，取x1=-1，则y1=4，得点P1的坐标为(-1，4)，过P0，P1两点的直线即为所求，如图所示.例1根据条件写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(-4，3)，斜率k=3；(2)经过点B(-1，4)，倾斜角为135°.解(1)由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为y-3=3(x+4).(2)由题意知，直线的斜率k=tan135°=-1，故所求直线的点斜式方程为y-4=-(x+1).反思感悟求直线的点斜式方程的步骤及注意点(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y-y0=k(x-x0).(2)点斜式方程y-y0=k(x-x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x=x0除外.跟踪训练1求满足下列条件的直线方程：(1)经过点(2，-3)，倾斜角是直线y=33x的倾斜角的2(2)经过点P(5，-2)，且与y轴平行；(3)过P(-2，3)，Q(5，-4)两点.解(1)∵直线y=33x的斜率为3∴直线y=33x的倾斜角为∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为3.∴所求直线方程为y+3=3(x-2)，即3x-y-23-3=0.(2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示.但直线上点的横坐标均为5，故直线方程可记为x=5.(3)过P(-2，3)，Q(5，-4)两点的直线斜率kPQ=-4-35-(-2)=-7∵直线过点P(-2，3)，∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y-3=-(x+2)，即x+y-1=0.二、直线的斜截式方程问题2直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程.提示由点斜式方程得y-b=k(x-0)，即y=kx+b.知识梳理1.直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距.2.把方程y=kx+b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.注意点：(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况，只能在直线斜率存在的前提下使用；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距.(2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.例2已知直线l1的方程为y=-2x+3，l2的方程为y=4x-2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程.解由斜截式方程知，直线l1的斜率k1=-2，又因为l∥l1，所以kl=-2.由题意知，l2在y轴上的截距为-2，所以直线l在y轴上的截距b=-2.由斜截式可得直线l的方程为y=-2x-2.延伸探究1本例中若将“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等”改为“直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”，求直线l的方程.解∵l1⊥l，直线l1：y=-2x+3，∴l的斜率为12∵l与l2在y轴上的截距互为相反数，直线l2：y=4x-2，∴l在y轴上的截距为2.∴直线l的方程为y=12x延伸探究2若本例条件不变，求本例中直线l与两坐标轴围成的三角形的面积.解令x=0得y=-2，令y=0得x=-1.所以所求三角形的面积为S=12反思感悟求直线的斜截式方程的策略(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.(2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可.三、根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直例3(课本例2)已知直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，试讨论：(1)l1∥l2的条件是什么？(2)l1⊥l2的条件是什么？解(1)若l1∥l2，则k1=k2，此时l1，l2与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之，若k1=k2，且b1≠b2，则l1∥l2.(2)若l1⊥l2，则k1k2=-1；反之，若k1k2=-1，则l1⊥l2.例3已知直线l1：y=-3m8x+10-3m8和l2：6my=-x+4，问m为何值时，l1解当m=0时，l1：4y-5=0；l2：x-4=0，l1与l2垂直；当m≠0时，l2的方程可化为y=-16mx+由-3m8=-16m，得由10-3m8≠23m，得m≠23所以当m=-23时，l1与l2又-3m8·-1故当m=-23时，l1与l2当m=0时，l1与l2垂直.反思感悟若l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2，l1⊥l2⇔k1k2=-1.跟踪训练2(1)当a为何值时，直线l1：y=-x+2a与直线l2：y=(a2-2)x+2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y=(2a-1)x+3与直线l2：y=4x-3垂直？解(1)由题意可知，kl1=-1，kl2=∵l1∥l2，∴a解得a=-1，故当a=-1时，直线l1：y=-x+2a与直线l2：y=(a2-2)x+2平行.(2)由题意可知，kl1=2a-1，k∵l1⊥l2，∴4(2a-1)=-1，解得a=38故当a=38时，直线l1：y=(2a-1)x+3与直线l2：y=4x-3垂直1.知识清单：(1)直线的点斜式方程.(2)直线的斜截式方程.2.方法归纳：待定系数法、数形结合法.3.常见误区：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离.1.已知直线l的倾斜角为60°，且在y轴上的截距为-2，则此直线的方程为()A.y=3x+2 B.y=-3x+2C.y=-3x-2 D.y=3x-2答案D解析∵直线l的倾斜角为60°，∴k=tan60°=3，∴直线l的方程为y=3x-2.2.已知直线l的方程为y+274=94(x-1)，则l在y轴上的截距为(A.9 B.-9 C.274 D.-答案B解析由y+274=94(x-1得y=94x-9∴l在y轴上的截距为-9.3.若直线y=kx+b通过第一、三、四象限，则有()A.k>0，b>0 B.k>0，b<0C.k<0，b>0 D.k<0，b<0答案B解析∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.4.已知直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直，则a=.

答案-1解析由题意可知a·(a+2)=-1，解得a=-1.课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分1.过点P(2，-1)，且倾斜角为90°的直线方程为()A.y=-1 B.x=2C.y=2 D.x=-1答案B解析过点P(2，-1)，且倾斜角为90°的直线垂直于x轴，其方程为x=2.2.直线y=ax+1的倾斜角为120°，则实数a的值为()A.33 B.-33 C.3答案D解析直线y=ax+1的倾斜角为120°，因此该直线的斜率k=a，又k=tan120°=-3，所以a=-3.3.已知直线l过点(-3，4)且方向向量为(1，-2)，则l在x轴上的截距为()A.-1 B.1 C.-5 D.5答案A解析因为直线l的方向向量为(1，-2)，所以直线l的斜率k=-2，又直线l过点(-3，4)，所以直线方程为y-4=-2(x+3)，令y=0，得x=-1，所以l在x轴上的截距为-1.4.过点(-1，3)且垂直于直线y=12x+32的直线方程为(A.y-3=-2(x+1) B.y-3=-2(x-1)C.y-3=-12(x+1) D.y-3=12(答案A解析所求直线与已知直线垂直，因此所求直线的斜率为-2，故方程为y-3=-2(x+1).5.以A(2，-5)，B(4，-1)为端点的线段的垂直平分线的方程是()A.y-(-3)=2(x-3) B.y-3=2(x-3)C.y-3=-12(x-3) D.y-(-3)=-12(答案D解析由A(2，-5)，B(4，-1)，知线段AB的中点坐标为(3，-3)，又由斜率公式可得kAB=-1-(-5)4-2=2所以线段AB的垂直平分线的斜率为k=-1kAB=-所以线段AB的垂直平分线的方程为y-(-3)=-12(x-3)6.(多选)已知直线l：y=3x-1，则()A.直线l过点(3，-2)B.直线l的斜率为3C.直线l的倾斜角为60°D.直线l在y轴上的截距为1答案BC解析对于A，将(3，-2)代入y=3x-1，可知不满足方程，故A不正确；对于B，由y=3x-1，知直线l的斜率为3，故B正确；对于C，设直线l的倾斜角为α，则tanα=3，可得α=60°，故C正确；对于D，由y=3x-1，令x=0，可得直线l在y轴上的截距为-1，故D不正确.7.(5分)已知斜率为-43的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线l的方程为.答案y=-43x+4或y=-43解析设l：y=-43x+b令x=0，得y=b；令y=0，得x=34b由题意，得12·|b|·34∴b2=16，∴b=±4.故直线l的方程为y=-43x8.(5分)直线l的斜率k为方程x2-2x+1=0的根，且在y轴上的截距为5，则直线l的方程为.

答案y=x+5解析由题意，方程x2-2x+1=0的根为1，所以k=1，又在y轴上的截距为5，则直线l的方程为y=x+5.9.(10分)求满足下列条件的m的值.(1)直线l1：y=-x+1与直线l2：y=(m2-2)x+2m平行；(5分)(2)直线l1：y=-2x+3与直线l2：y=(2m-1)x-5垂直.(5分)解(1)∵l1∥l2，∴两直线的斜率相等.∴m2-2=-1且2m≠1，∴m=±1.(2)∵l1⊥l2，∴2m-1=12∴m=3410.(10分)直线l过点(2，2)，且与x轴和直线y=x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程.解当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经检验符合题目的要求.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k(x-2)，令y=0，得x=2k由三角形的面积为2，得12×2解得k=12可得直线l的方程为y-2=12(x-2)综上可知，直线l的方程为x=2或y=12x11.(多选)同一坐标系中，直线l1：y=ax+b与l2：y=bx-a大致位置正确的是()答案BC解析因为l1：y=ax+b，l2：y=bx-a，对于A，由图可得直线l1的斜率a<0，在y轴上的截距b<0，而l2的斜率b>0，矛盾，故A错误；对于B，由图可得直线l1的斜率a>0，在y轴上的截距b<0，而l2的斜率b<0，在y轴上的截距-a<0，即a>0，符合题意，故B正确；对于C，由图可得直线l1的斜率a<0，在y轴上的截距b>0，而l2的斜率b>0，在y轴上的截距-a>0，即a<0，符合题意，故C正确；对于D，由图可得直线l1的斜率a>0，在y轴上的截距b>0，而l2的斜率b<0，矛盾，故D错误.12.已知直线l：y=xsinθ+cosθ的图象如图所示，则角θ是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案D解析结合图象易知，sinθ<0，cosθ>0，则角θ是第四象限角.13.(5分)在y轴上的截距为-6，且与y轴相交成60°角的直线方程为.

答案y=±33x解析由题意知，直线与y轴相交成60°角，则直线的倾斜角为30°或150°，可得直线斜率为tan30°=33或tan150°=-3即k=±33所以所求直线方程为y=±33x14.(5分)已知直线y=33x-1的倾斜角为α，另一直线l的倾斜角β=2α，且过点(2，-1)，则直线l的方程为.答案y=3x-23-1解析因为已知直线的斜率为33即tanα=33，所以α=30°所以直线l的斜率k=tanβ=tan2α=tan60°=3，又l过点(