人教版高中数学选择性必修一 题库 第三章　培优课　抛物线焦点弦性质的应用

培优课抛物线焦点弦性质的应用抛物线的焦点弦有很多性质，比如：设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1·x2=p24，y1·y2=-p(2)以弦AB为直径的圆与准线相切；(3)|AB|=x1+x2+p=2psin2α(α是直线AB(4)1|AF|+1|BF|=2运用这些性质可以减少运算，使解决问题变得更加快捷.一、x1·x2=p24，y1·y2=-p例1已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若OA·OB=-12，则抛物线C的方程为()A.x2=8y B.x2=4yC.y2=8x D.y2=4x答案C解析设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).方法一设直线AB的方程为x=my+p2联立y2=2px,x=my+p2,消去x，得则y1y2=-p2，x1x2=y12y得OA·OB=x1x2+y1y2=p24-p2=-34p2=-12，解得p=4(即抛物线C的方程为y2=8x.方法二直接运用x1·x2=p24，y1·y2=-p得OA·OB=x1x2+y1y2=p24-=-34p2=-12，解得p=4(舍负)即抛物线C的方程为y2=8x.反思感悟在选择题中运用推导得出的公式处理，就可以避免小题大做，而且可以事半功倍，起到很好的效果.跟踪训练1已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，点O为坐标原点，则∠AOB是()A.直角 B.锐角C.钝角 D.与点A，B位置有关答案C解析方法一抛物线C的焦点F的坐标为(0，1)，由题意分析可知，直线m的斜率一定存在.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线m的方程为y=kx+1，与抛物线C：x2=4y联立，得x2-4kx-4=0，所以x1+x2=4k，x1x2=-4，所以OA·OB=x1x2+y1y2=x1x2+x124·x224=-4+1=-3<0方法二抛物线焦点在y轴上，则x1x2=-p2=-4，y1y2=p24=1，则OA·OB=x1x2+y1y2=-4+1=-3<0，故∠AOB二、|AB|=x1+x2+p=2p例2抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程.解当焦点在x轴正半轴时，设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，则直线方程为y=-x+p2设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|=2psin2135°，∴2p故所求的抛物线方程为y2=4x.当焦点在x轴负半轴时，设抛物线的方程为y2=-2px(p>0)时，同理可求得抛物线方程为y2=-4x.综上，抛物线方程为y2=±4x.反思感悟利用|AB|=x1+x2+p=2psin2α(α是直线AB的倾斜角，α跟踪训练2经过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p=.

答案2解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵AB的中点M的横坐标为7，∴x1+x2=14，∴14+p=2psin230°三、1|AF|+1|BF|=例3过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|=2|BF|，则|AB|等于()A.4 B.92 C.5 D.答案B解析因为|AF|=2|BF|，1|AF|+=12|BF|+1|BF|=32解得|BF|=32，|AF|=3故|AB|=|AF|+|BF|=92反思感悟将求弦长问题通过焦半径与p之间的关系，转化为焦半径问题.跟踪训练3如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|=4，则线段AB的长为()A.5 B.6 C.163 D.答案C解析如图，过点A作AD⊥l，|AD|=|AF|=12|AC|=4，|OF|=p2=4×1所以p=2，因为1|AF|+1|BF|=2p，|所以|BF|=43所以|AB|=|AF|+|BF|=4+43=16四、以弦AB为直径的圆与准线相切的应用例4求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切.证明设抛物线的准线为l，焦点为F，如图，作AA'⊥l于点A'，BB'⊥l于点B'，M为AB的中点，作MM'⊥l于点M'，则由抛物线定义可知|AA'|=|AF|，|BB'|=|BF|，在直角梯形BB'A'A中，|MM'|=12(|AA'|+|BB'|=12(|AF|+|BF|)=12|AB即|MM'|等于以AB为直径的圆的半径.故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.延伸探究分别以焦半径AF，BF为直径的圆，与y轴有什么关系？解它们都与y轴相切，证明如下：设抛物线的准线为l，如图，作AA'⊥l于点A'，交y轴于点E，取AF的中点M，作MM'⊥y轴于点M'，则由抛物线的性质可知|AA'|=|AF|，|OF|=|A'E|，在直角梯形OFAE中，|MM'|=12(|OF|+|AE|)=12(|A'E|+|AE=12|AA'|=12|AF即|MM'|等于以AF为直径的圆的半径，故以AF为直径的圆与y轴相切，同理可得以BF为直径的圆与y轴相切.反思感悟解析几何中的选择题和填空题都很小巧灵活，既考查运算功底(通法)，也考查思维的灵活性(小题小做).为了不“小题大做”，熟悉一些常见的二级结论尤为重要.跟踪训练4过抛物线y2=2pxp>0的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，以AB为直径的圆与准线l的公共点为M，若∠AMF=60°，则∠MFO的大小为(A.15° B.30° C.45° D.不确定答案B解析如图，取AB的中点G，连接MG，则以线段AB为直径的圆与准线l切于点M，MG∥x轴，由题意知Fp2，0，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=联立y=kx-p2,y2=2由根与系数的关系得y1+y2=2p∴点M-p2，pk，∴kMF∴kAB·kMF=-1，∴MF⊥AB，∵∠AMF=60°，∴∠GAM=∠GMA=30°，∴∠MFO=∠GMF=30°.1.知识清单：抛物线焦点弦性质的应用.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：对焦点弦的性质记忆混淆，导致出错.1.已知O为坐标原点，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F(1，0)，过F的直线l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列直线与以AB为直径的圆相切的是()A.y轴 B.x=-1C.x=-2 D.不存在答案B解析抛物线焦点为F(1，0)，即p2=1，p=2，故抛物线C：y2=4x，准线方程为x=-1，由焦点弦性质知，以弦AB为直径的圆与准线相切，故选B2.过抛物线C：y2=8x的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，若|AF|=6，则|BF|等于()A.9或6 B.6或3 C.9 D.3答案D解析方法一设点A为第一象限内的点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>0，y1>0，则由题意可得F(2，0)，|AF|=x1+2=6，则x1=4，由y12=8x1，得y1=4所以kAB=424-2=2直线AB的方程为y=22(x-2)，将直线AB的方程代入y2=8x化简得x2-5x+4=0，所以x2=1，所以|BF|=x2+2=3.方法二由抛物线焦点弦的性质可得，1|AF|+1|BF|=所以1|BF|=12-16=13，可得3.已知抛物线y=2x2的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点，若直线MN过点F，则x1x2等于()A.-18 B.-116 C.-1 D答案B解析方法一依题意，直线MN斜率存在，设其方程为y=kx+18由x2=12y,y=kx+18,∴x1x2=-116方法二y=2x2即x2=12y由抛物线焦点弦的性质知，x1x2=-p2=-1164.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1+x2=6，则PQ的中点M到抛物线准线的距离为.

答案4解析由抛物线的方程y2=4x，可得p=2，故它的焦点为F(1，0)，准线方程为x=-1.由中点坐标公式可得PQ的中点Mx1+x22，y1+则M到准线的距离为x1+课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分1.设AB为过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为()A.p2 B.p C.2p D.答案C解析当AB垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时AB为抛物线的通径，长度等于2p.2.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2xA.-4 B.4 C.p2 D.-p2答案A解析x1x2=p24，y1y2=-p2，所以y3.已知AB是过抛物线2x2=y的焦点的弦.若|AB|=4，则AB中点的纵坐标是()A.1 B.2 C.58 D.答案D解析如图所示，设线段AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A'，Q，B'，由题意得|AA'|+|BB'|=|AB|=4，|PQ|=|AA'又|PQ|=y0+18∴y0+18=2，∴y0=154.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过点F作斜率为1的直线l交抛物线C于P，Q两点，则1|PF|+1|QF|的值为(A.12 B.78 C.1 D答案C解析由抛物线焦点弦的性质可得，1|PF|+1|QF|=25.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l：x=-32，若过焦点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，则以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系为(A.相交 B.相切C.相离 D.以上三个答案均有可能答案C解析根据结论可知以AB为直径的圆和准线相切，该抛物线的准线为x=-1，故这个圆和直线x=-32相离6.(多选)(2023·新高考全国Ⅱ)设O为坐标原点，直线y=-3(x-1)过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则()A.p=2B.|MN|=8C.以MN为直径的圆与l相切D.△OMN为等腰三角形答案AC解析A项，直线y=-3(x-1)过点(1，0)，所以抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F(1，0)，所以p2=1，p=2，故AB项，由题意知直线y=-3(x-1)的倾斜角为α=120°，所以|MN|=2psin2α=4siC项，由抛物线焦点弦的性质知C正确；D项，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，且x1>x2，由y=-3(x-1),y2=4x,消去y并化简得3x2-10x+3=解得x1=3，x2=13则y1=-3×(3-1)=-23，y2=-3×13-1=所以|OM|=32+(-23|ON|=132+且|MN|=163所以△OMN不是等腰三角形，故D错误.7.(5分)已知直线l：y=x-1经过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，则|AB|=.

答案8解析设直线AB的倾斜角为α，则sinα=22，由题意知，直线l：y=x-1过点(1，0)，所以p2=1，解得p=2，则|AB|=2psi8.(5分)若抛物线y2=4x，过其焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，则|AF|+2|BF|的最小值为.

答案3+22解析由题意知p=2，所以1|AF|+1|BF|=2|AF|+2|BF|=(|AF|+2|BF|)1|AF|+1|BF|=3+2|BF||AF|当且仅当2|BF||AF|=|AF||BF|时9.(10分)已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(5分)(2)若|AB|=9，求线段AB的中点M到准线的距离.(5分)解(1)方法一因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k=tan60°=3.又F32所以直线l的方程为y=3x联立y消去y，得x2-5x+94=0若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=5，而|AB|=|AF|+|BF|=x1+=x1+x2+p，所以|AB|=5+3=8.方法二因为抛物线y2=6x，所以p=3，又直线l的倾斜角α=60°，所以|AB|=2psin2(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知，|AB|=|AF|+|BF|=x1+p2+x2+=x1+x2+p=x1+x2+3=9，所以x1+x2=6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x=-32所以M到准线的距离等于3+32=910.(10分)已知点P(1，m)是抛物线C：y2=2px(p>0)上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|=2，过焦点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B.(1)求抛物线C的方程；(3分)(2)若|AB|=8，求直线l的斜率.(7分)解(1)由题意|PF|=1+p2=2，p=2∴抛物线方程为y2=4x.(2)方法一由(1)知焦点为F(1，0)，若直线l斜率不存在，则|AB|=4，不符合题意，因此设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0)，由y=k(x-1),y2=4x,得k2x2-(2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=2k|AB|=x1+x2+2=2k2解得k=1或k=-1.方法二若直线l的斜率不存在，则|AB|=4，不符合题意，设直线l的倾斜角为α，根据焦点弦的性质，|AB|=2p代入可得sin2α=2p|AB|=即α=45°或135°，则k=tanα=±1.11.设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.334 B.938 C.答案D解析易知抛物线中p=32，焦点F3直线AB的斜率k=33故直线AB的方程为y=33由抛物线的性质可得弦长|AB|=2psi又O到直线AB的距离d=p2·sin30°=3∴S△OAB=12|AB|·d=912.(多选)已知抛物线y2=2px(p>0)上三点A(x1，y1)，B(1，2)，C(x2，y2)，F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是()A.抛物线的准线方程为x=-1B.若FA+FB+FC=0，则2|FB|=|FA|+|FC|C.若A，F，C三点共线，则y1y2=-1D.若|AC|=6，则AC的中点到y轴距离的最小值为2答案ABD解析把点B(1，2)代入抛物线y2=2px，得p=2，所以抛物线的准线方程为x=-1，故A正确；因为A(x1，y1)，B(1，2)，C(x2，y2)，F(1，0)，所以FA=(x1-1，y1)，FB=(0，2)，FC=(x2-1，y2)，又由FA+FB+FC=0，得x1+x2=2，所以|FA|+|FC|=x1+1+x2+1=4=2|FB|，故B正确；因为A，F，C三点共线，所以线段AC是焦点弦，所以y1y2=-p2=-4，故C不正确；设AC的中点为M(x0，y0)，因为|AF|+|CF|≥|AC|，|AF|+|CF|=x1+1+x2+1=2x0+2，所以2x0+2≥6，得x0≥2，即AC的中点到y轴距离的最小值为2，故D正确.13.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧.若|AC|=2|AF|，则|BF|等于()A.2 B.3 C.4 D.5答案C解析抛物线y2=4x的焦点F(1，0)，准线方程l：x=-1，设准线l与x轴交于点H，不妨设点A在第四象限，过A和B分别作AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D，E，如图，由抛物线的定义可知|AF|=|AD|，|BF|=|BE|，又|AC|=2|AF|，所以|AC|=2|AD|，则∠ACD=π6所以直线AB的倾斜角为π3因为|HF|=p=2，|HF||AD|=|CF||AC|=所以|AF|=|AD|=43又|AB|=2psin2π即|AF|+|BF|=163，所以|BF|=414.(5分)如图，过抛物线y=14x2的焦点的直线交抛物线与圆x2+(y-1)2=1于A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，D(xD，yD)四点，且xA<xB<xC<xD，则|AB|·|CD|=.答案1解析抛物线y=14x2可化为x2=4y，则p=2，由题图可知|AB|=|AF|-1=yA+1-1=yA，|CD|=|DF|-1=yD+1-1=yD，∴|AB|·|CD|=yAyD，又yAyD=p24=1，∴|AB|·|15.(多选)已知点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，AB，CD是经过点F的弦且AB⊥CD，直线AB的斜率k>0，B，C两点在x轴上方，O为坐标原点，则下列结论中正确的是()A.OC·OD=-34pB.四边形ACBD面积的最小值为16p2C.1|AB|+1|CD|D.若|AF|·|BF|=4p2，则直线CD的斜率为-3答案ACD解析如图所示，Fp2，0，设A(