人教版高中数学选择性必修一 题库 第一章　1.4.2　第1课时　距离问题

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第1课时距离问题学习目标1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、互相平行的平面间的距离问题.(重点)2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用.导语立交桥是伴随着高速公路应运而生的.城市的立交桥不仅大大方便了交通，而且成为城市建设的美丽风景.在设计过程中，工程师需要计算出上、下纵横高速公路之间的距离、立交桥上的高速公路与地面之间的距离，工程师是如何计算出来的？一、点到直线的距离问题1已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.请找出向量AP在直线l上的投影向量AQ，其模为多少？如何利用这些条件求点P到直线l提示如图，设AP=a，则向量AP在直线l上的投影向量AQ=(a·u)u.|AQ|=|(a·u)u|=|a·u|，在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为PQ=|AP|2知识梳理点到直线的距离已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设AP=a，则向量AP在直线l上的投影向量AQ=(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ=|AP|2典例在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA=2，AB=3，AA1=2，求O1到直线AC的距离.解方法一连接AO1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，∴AO1=(-2，0，2)，AC=(-2，3，∴AO1·AC=(-2，0，2)·(-2，3，0)取a=AO1=(-2，0，2u=AC|AC∴a·u=4∴O1到直线AC的距离d=a2-(a方法二建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，过O1作O1D⊥AC于点D，设D(x，y，0)，则O1D=(x，y，-2)，AD=(x-2，y，∵AC=(-2，3，0)，O1D⊥∴-2x+3∴D18∴|O1D|=1813即O1到直线AC的距离为2286延伸探究1在典例的条件下，M，N分别是O1A1，O1C1的中点，证明：MN∥AC，并求直线MN与AC的距离.解建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，3，0)，M(1，0，2)，N0∴AC=(-2，3，0)，MN=-1，∴MN∥AC又MN与AC不重合，∴MN∥AC，故点M到直线AC的距离即所求距离.直线AC的单位方向向量u=AC|AC|=-213，313，∴点M到直线AC的距离d=MA2-(MA·所以直线MN与AC的距离为79313反思感悟(1)用向量法求点到直线的距离的一般步骤①求直线的单位方向向量u.②计算所求点与直线上某一点所构成的向量a.③利用公式d=a2(2)如果求空间中两条平行直线l，m间的距离，可在其中一条直线(如l)上任取一点P，将两条平行直线的距离转化为点P到另一条直线m的距离求解.二、点、直线、平面到平面的距离问题2已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.如何利用向量AP与n求点P到平面α的距离？提示过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，向量AP在向量n上的投影向量为QP，借助数量积运算可知|QP|=|AP·n||n|，向量QP的长度与P到平面α知识梳理点到平面的距离已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离PQ=|AP注意点：实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度.延伸探究2(课本例6)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.(1)求点B到直线AC1的距离；(2)求直线FC到平面AEC1的距离.解以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E1，1所以AB=(0，1，0)，AC1=(-1，1，AE=0EC1FC=-1，12(1)取a=AB=(0，1，0)，u=AC1|AC1|=33(-1，1，-1)，则a2所以，点B到直线AC1的距离为a2-(a·u(2)因为FC=EC1=-1，12，0，所以FC∥EC1所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离.设平面AEC1的法向量为n=(x，y，z)，则n所以12y取z=1，则x=1，y=2.所以，n=(1，2，1)是平面AEC1的一个法向量.又因为AF=0，12，0，|AF·n||即直线FC到平面AEC1的距离为66延伸探究2在典例的条件下，E，F分别为AB，BC的中点.求点O到平面O1EF的距离.解建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，O1(0，0，2)，E2，32，0，F(1∴EF=-1，3设平面O1EF的法向量为n=(x，y，z)，则n·EF取y=2，则x=3，z=92，∴n又OO1=(0，0，2∴点O到平面O1EF的距离为|OO1·n延伸探究3在典例及延伸探究1，2的条件下，证明：MN∥平面O1EF，并求直线MN到平面O1EF的距离.解建立如图所示的空间直角坐标系，易知MN∥AC，AC∥EF，∴MN∥EF，又MN⊄平面O1EF，EF⊂平面O1EF，∴MN∥平面O1EF，∴点M到平面O1EF的距离即所求距离.由延伸探究2知，平面O1EF的一个法向量为n=3，2，92，MO1∴点M到平面O1EF的距离为|MO1·故直线MN到平面O1EF的距离为6133延伸探究4在典例及延伸探究1，2的条件下，证明平面BMN∥平面O1EF，并求两平面的距离.解建立如图所示的空间直角坐标系，则M(1，0，2)，N0B(2，3，0)，∴MN=-1，32，0，BM=(设平面BMN的法向量为m=(a，b，c)，则m·MN取b=2，则a=3，c=9∴m=3，2，∴平面BMN∥平面O1EF，∴点M到平面O1EF的距离与两平面的距离相等，由延伸探究3知，所求距离为6133反思感悟(1)用向量法求点面距离的步骤①建系：建立恰当的空间直角坐标系.②求点坐标：写出(求出)相关点的坐标.③求向量：求出相关向量的坐标(AP，α内两不共线向量，平面α的法向量n)④求距离d=|AP(2)如果直线l∥平面α，求直线l到平面α的距离，可在直线l上任取一点P，则点P到平面α的距离等于直线l到平面α的距离.(3)如果两个平面α，β互相平行，求这两个平行平面的距离，可在其中一个平面α内任取一点P，则点P到平面β的距离等于这两个平行平面的距离.1.知识清单：(1)点到直线的距离.(2)点到平面的距离与直线到平面的距离和两个平行平面的距离的转化.2.方法归纳：数形结合、转化法.3.常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用.对公式推导过程的理解是应用的基础.1.已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为()A.223 B.1 C.2 D.2答案A解析∵A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，AB=(1，0，0)，BC=(-1，2，-2)∴点A到直线BC的距离为d=|=1--1322.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA=PB=PC=1，则点P到平面ABC的距离是()A.66 B.63 C.3答案D解析以P为坐标原点，分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1).可以求得平面ABC的一个法向量为n=(1，1，1)，则点P到平面ABC的距离为d=|PA·n3.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为()A.36 B.33 C.23答案B解析建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，0)，C1(0，1，0)，D(0，0，1)，A(1，0，1)，所以DA1=(1，0，-1DC1=(0，1，-1AD=(-1，0，0)，设平面A1C1D的一个法向量为m=(x，y，1)，则m⊥DA1解得x故m=(1，1，1)，显然平面AB1C∥平面A1C1D，所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d=|AD·m||4.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1C1到平面ACD1的距离为.答案3解析以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，所以AC=(-1，1，0)，AD1=(-1，0，1)，AA1=(0设n=(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则n·AC=-x+y=0,n·AD1=-直线A1C1到平面ACD1的距离即点A1到平面ACD1的距离，故d=n·AA1n课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=a，AA1=2a，则点D1到直线AC的距离为()A.3a B.3a2 C.2答案D解析方法一连接BD，AC交于点O(图略)，则D1O=(2a)2+方法二如图建立空间直角坐标系，易得C(a，a，0)，D1(0，a，2a)，取a=CD1=(-a，0，2au=AC|AC则点D1到直线AC的距离为a2-(a·u2.两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量n=(-1，0，1)，则两平面间的距离是()A.32 B.22 C.3答案B解析∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，OA=(2，1，1)，且两平面的一个法向量n=(-1，0，1)∴两平面间的距离d=|n·OA||3.如图，已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A=5，AB=12，则直线B1C1到平面A1BCD1的距离是()A.5 B.8 C.6013 D.答案C解析以D为坐标原点，DA，DC，DD1则C(0，12，0)，D1(0，0，5).设B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x>0).设平面A1BCD1的法向量为n=(a，b，c)，由n⊥BC，n⊥得n·BC=(a，b，c)·(-x，0，0)=-ax=0，n·CD1=(a，b，c)·(0，-12，5)=-12b+5c所以a=0，b=512c所以可取n=(0，5，12).又B1B=(0，0，-5)，所以点B1到平面A1BCD1的距离为|B因为B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距离为60134.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，则点C1到平面B1EF的距离等于()A.23 B.223 C.答案D解析以D1为坐标原点，分别以D1A1，D1C则B1(2，2，0)，C1(0，2，0)，E(2，1，2)，F(1，2，2).B1E=(0，-1，2)，B1F=(-1，设平面B1EF的法向量为n=(x，y，z)，则n·B令z=1，得n=(2，2，1).又∵B1C1=(-2，0，∴点C1到平面B1EF的距离d=|n·B1C5.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，G为线段DD1上的点，且DG=13DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，则直线A1D1到平面EFGH的距离为(A.43737 B.23737 答案A解析以点D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.则E1F0，1D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，∴EF=(-1，0，0)，FG=A1D1=(-1，0，0)，则A1D1=又∵EF⊂平面EFGH，A1D1⊄平面EFGH，∴A1D1∥平面EFGH.∴A1D1到平面EFGH的距离，即为点D1到平面EFGH的距离.设平面EFGH的法向量为n=(x，y，z)，则n·EF令z=6，则y=-1，∴n=(0，-1，6)，又∵D1F∴点D1到平面EFGH的距离d=D1F∴直线A1D1到平面EFGH的距离为4376.(多选)已知平面α的一个法向量为n=(-1，-2，2)，点A(x2，2x+1，2)为平面α内一点，若点P(0，1，2)到平面α的距离为4，则x的值为()A.2 B.1 C.-3 D.-6答案AD解析因为AP=(0，1，2)-(x2，2x+1，2)=(-x2，-2x，0)，n=(-1，-2，2)，所以AP·n=x2+4x，|n|=1+4+4=3，所以点P到平面α的距离为d=|AP·n||n|=|7.(5分)如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB=3，AD=4，PA=1，则P到BD的距离为.答案13解析如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，所以PB=(3，0，-1)，BD=(-3，4，0)，取a=PB=(3，0，-1)，u=BD|BD则a2=10，a·u=-9所以点P到BD的距离为a2-(a·u8.(5分)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BC，CD的中点，则直线BD到平面EFD1B1的距离为.答案1解析如图建立空间直角坐标系，则B(1，1，0)，E12，1，0，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，所以EB=12，0，0，B1D1=(-1，-1，0)，B1则n令z=1，则n=(-2，2，1)，因为BD∥B1D1，BD⊄平面EFD1B1，B1D1⊂平面EFD1B1，所以BD∥平面EFD1B1，所以直线BD到平面EFD1B1的距离即为点B到平面EFD1B1的距离，所以直线BD到平面EFD1B1的距离为d=|EB·n||9.(10分)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，M为BB1的中点，N为BC的中点.(1)求点M到直线AC1的距离；(4分)(2)求点N到平面MA1C1的距离.(6分)解(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，M(2，0，1)，C1(0，2，2)，直线AC1的一个单位方向向量为u=0AM=(2，0，1)，故点M到直线AC1的距离d=|AM|2-(AM(2)设平面MA1C1的法向量为n=(x，y，z)，则n·A取x=1，得z=2，故n=(1，0，2)为平面MA1C1的一个法向量，因为N(1，1，0)，所以MN=(-1，1，-1)，故N到平面MA1C1的距离d=|MN·n||10.(12分)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点.(1)求直线FC1到直线AE的距离；(6分)(2)求直线FC1到平面AB1E的距离.(6分)解建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(1，1，1)，E0F1，1，12，C1(0A(1，0，0).(1)因为AE=-1FC1所以AE∥F即AE∥FC1，所以点F到直线AE的距离即为直线FC1到直线AE的距离.取u=AE|AE又AF=0，1，12.所以AF2所以直线FC1到直线AE的距离为54-5(2)因为AE∥FC1，所以FC1∥平面AB1E，所以直线FC1到平面AB1E的距离等于C1到平面AB1E的距离.C1B1=(1，0，0)，AB1=(0，1，1)，设平面AB1E的法向量为n=(x，即y+z=0,-x+12z=0,取z所以C1到平面AB1E的距离为|C1所以直线FC1到平面AB1E的距离为1311.如图，ABCD-EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足AP=34AB+12AD+23AE，则A.34 B.45 C.5答案C解析如图，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，AB，AD，AE可作为x因为AP=34AB+1所以AP=34，12，23，AB|AP·所以P点到AB的距离d=|AP|2-AP12.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，M为棱A1B1上的一点，且A1M=λ(0<λ<2)，设点N为ME的中点，则点N到平面D1EF的距离为()A.3λ B.22 C.23λ答案D解析以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则M(2，λ，2)，D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)，ED1=(-2，0，1)，EF=(0，2，0)，EM=(0，λ设平面D1EF的法向量为n=(x，y，z)，则n取x=1，得n=(1，0，2)，所以点M到平面D1EF的距离为d=|EM·n||因为N为EM的中点，所以N到平面D1EF的距离为5513.(5分)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”，如图.已知在鳖臑P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=BC=2，M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为.答案2解析以B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系，如图，则B(0，0，0)，A(2，0，0)，P(2，0，2)，C(0，2，0)，由M为PC的中点可得M(1，1，1).BM=(1，1，1)，BA=(2，0，0)，BP=(2，0，2)设n=(x，y，z)为平面MAB的法向量，则n即2令z=-1，可得n=(0，1，-1)，点P到平面MAB的距离为d=|n·BP14.(5分)如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1，则线段AB1上的动点P到直线BC1的距离的最小值为.答案5解析如图，在平面ABC内过点A作Ay⊥AB，显然射线AB，Ay，AA1两两垂直，以点A为原点，射线AB，Ay，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，因为正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，B1(1，0，1)，C11所以AB1=(1，0，1)，因为动点P在线段AB1上，则令AP=tAB1=(t，0，t)，0≤t≤即有点P(t，0，t)，所以BP=(t-1，0，t)，则|BP|2=(t-1)2+t2=2t2-2t+1，从而BP·BC1|BC因此点P到直线BC1的距离d=|=2=158t2-当且仅当t=35所以线段AB1上的动点P到直线BC1的距离的最小值为5515.如图，在四棱锥P-ABCD的平面展开图中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△A