人教A版高中数学选择性必修一第二课时　直线与圆的方程的实际应用

第二课时直线与圆的方程的实际应用学习目标1.理解并掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用.2.会用“数形结合”的数学思想解决问题.【引入】当前台风中心P在某海滨城市O向东300km处生成,并以40km/h的速度向西偏北45°方向移动.已知距离台风中心250km以内的地方都属于台风侵袭的范围,那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭?受台风侵袭大概持续多长时间?一、圆的方程的实际应用用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆,将几何问题转化为代数问题;然后通过代数运算解决代数问题;最后解释代数运算结果的几何含义,得到几何问题的结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”:温馨提示建立不同的平面直角坐标系,对解决问题有着直接的影响.因此,建立直角坐标系,应使所给图形尽量对称,所需的几何元素的坐标或方程尽量简单.例1(链接教材P93例3)如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB=20m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑,支柱A2P2的高度为4m,求拱高OP(精确到0.01m).解建立如图所示的直角坐标系,使线段AB所在直线为x轴,O为坐标原点,圆心在y轴上.由题意,点A,P2的坐标分别为A(-10,0),P2(-2,4).设圆心坐标是(0,b),圆的半径是r,那么圆的方程是x2+(y-b)2=r2,则有(-10)解得b=-10,r2=200,所以圆的方程为x2+(y+10)2=200,当x=0时,点P的纵坐标y=102-10≈4.14m.(另一根舍去).答:拱高OP约为4.14m.思维升华1.建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何要素,通过代数运算,解决几何问题.2.选择合适的方法求圆的方程,已知圆心或半径时常设标准方程;已知三个点坐标时,常设一般方程.训练1如图是一座圆拱桥的截面图,当水面在某位置时,拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面下降1m后,水面宽为m.

答案251解析如图,以圆拱桥顶为坐标原点,以过圆拱顶点的竖直直线为y轴,建立直角坐标系,设圆心为C,圆的方程为x2+(y+r)2=r2,水面所在弦的端点为A,B,则A(6,-2),将A(6,-2)代入圆的方程,得r=10,∴圆的方程为x2+(y+10)2=100.当水面下降1m后,可设点A'(x0,-3)(x0>0),将A'(x0,-3)代入圆的方程,得x0=51,∴当水面下降1m后,水面宽为2x0=251m.二、直线与圆的方程的实际应用例2(链接教材P94例4)如图,某海面上有O,A,B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛402km,B岛在O岛的正东方向距O岛20km处.以O为坐标原点,O的正东方向为x轴的正方向,1km为单位长度,建立平面直角坐标系.圆C经过O,A,B三点.(1)求圆C的方程;(2)若圆C区域内有未知暗礁,现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40km处,正沿着北偏东45°方向行驶,若不改变方向,试问该船有没有触礁的危险?解(1)由题意,得A(40,40),B(20,0),设过O,A,B三点的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则F解得D∴圆C的方程为x2+y2-20x-60y=0.(2)该船初始位置为点D,则D(-20,-203),且该船航线所在直线l的斜率为1,故该船航行方向为直线l:x-y+20-203=0,由(1)得圆C的圆心为C(10,30),半径r=1010,由于圆心C到直线l的距离d=|10-30+20-203|12故该船有触礁的危险.思维升华解决直线与圆的实际应用题的步骤(1)审题:从题目中抽象出几何模型,明确已知和未知.(2)建系:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示几何模型中的基本元素.(3)求解:利用直线与圆的有关知识求出未知.(4)还原:将运算结果还原到实际问题中去.训练2为了适应市场需要,某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图),它的附近有一条公路,从基地中心O处向正东方向走1km是储备基地的边界上的点A,接着向东走7km到达公路上的点B.从基地中心O向正北方向走8km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D,修建一条由D通往公路BC的专用线DE,求DE的最小值.解以O为坐标原点,OB,OC所在的直线分别为x轴、y轴,正东方向为x轴正方向,正北方向为y轴正方向,建立平面直角坐标系,则圆O的方程为x2+y2=1.因为点B(8,0),C(0,8),所以直线BC的方程为x8+y8即x+y-8=0.易知,当O,D,E三点共线且OE⊥BC时,DE的长最小,DE的最小值为|0+0-8|2故DE的最小值为(42-1)km.【课堂达标】1.如图,圆弧形拱桥的跨度AB=12m,拱高CD=4m,则拱桥的直径为()A.15m B.13m C.9m D.6.5m答案B解析如图,设圆心为O,半径为r,则由勾股定理得OB2=OD2+BD2,即r2=(r-4)2+62,解得r=132所以拱桥的直径为13m.2.一辆卡车宽1.6m,要经过一个半圆形隧道(半径为3.6m),则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()(参考数据:77=8.775)A.1.4m B.3.5m C.3.6m D.2.0m答案B解析建立如图所示的平面直角坐标系,设篷顶距地面的高度为h,则A(0.8,h),半圆所在圆的方程为x2+y2=3.62,把点A的坐标代入上式可得,0.82+h2=3.62,解得h=40.77≈3.5m.3.设村庄外围所在曲线的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示,村外一小路所在直线的方程可用x-y+2=0表示,则从村庄外围到小路的最短距离为.

答案72解析圆心(2,-3)到直线x-y+2=0距离为|2+3+2|2=724.某圆弧形拱桥的水面跨度是20m,拱高为4m.现有一船宽9m,在水面以上部分高3m,通行无阻.近日水位暴涨了1.5m,为此,必须加重船载,降低船身,当船身至少降低m时,船才能安全通过桥洞(结果精确到0.01m).

答案1.22解析以水位未涨前的水面AB的中点O为原点,建立平面直角坐标系,如图所示,设圆拱所在圆的方程为x2+(y-b)2=r2(0≤y≤4),∵圆经过点B(10,0),C(0,4),∴100+b2∴圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52(0≤y≤4),令x=4.5,得y≈3.28,故当水位暴涨1.5m后,船身至少应降低1.5-(3.28-3)=1.22(m),船才能安全通过桥洞.课时精练一、基础巩固1.一涵洞的横截面是半径为5m的半圆,则该半圆的方程是()A.x2+y2=25B.x2+y2=25(y≥0)C.(x+5)2+y2=25(y≤0)D.随建立的直角坐标系的变化而变化答案D解析坐标系不同,方程则不同.2.设某公园外围成圆形,其所在曲线的方程可用x2+y2-2x=0表示,在公园外两点A(-2,0),B(0,2)与公园边上任意一点修建一处三角形舞台,则舞台面积的最小值为()A.3-2 B.3+2C.3-22 D.答案A解析lAB:x-y+2=0,圆心(1,0)到l的距离d=|3|2所以AB边上的高的最小值为322所以Smin=12×22×3223.一艘科考船在点O处监测到北偏东30°方向40海里处有一个小岛A,距离小岛10海里范围内可能存在暗礁.若以点O为原点,正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系,则暗礁所在区域边界的方程为()A.(x+20)2+(y-203)2=100 B.(x-20)2+(y+203)2=100C.(x+20)2+(y+203)2=100 D.(x-20)2+(y-203)2=100答案D解析易得暗礁所在区域边界为一个圆,过A作y轴的垂线,垂足为B(图略),则∠AOB=30°,∵|OA|=40,∴|AB|=20,|OB|=402-20∴暗礁所在区域边界方程为(x-20)2+(y-203)2=100.4.(多选)如图所示,已知直线l的方程是y=43x-4,并且与x轴、y轴分别交于A,B两点,一个半径为1.5的圆C,圆心C从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动,当圆C与直线l相切时,该圆运动的时间可以为(A.6秒 B.8秒C.10秒 D.16秒答案AD解析设当圆与直线l相切时,圆心坐标为(0,m),则圆心到直线l的距离为m+4|1+得m=-32或m=-13所以该圆运动的时间为32--3212=6(5.如图是某主题公园的部分景观平面示意图,圆形池塘以O为圆心,以452m为半径,B为公园入口,道路AB为东西方向,道路AC经过点O且向正北方向延伸,OA=10m,AB=100m,现计划从B处起修一条新路与道路AC相连,且新路在池塘的外围,假设路宽忽略不计,则新路的最小长度为(单位:m)()A.1002 B.1003C.1502 D.1503答案A解析以A为坐标原点建立平面直角坐标系(图略),设修建的新路所在直线方程为kx-y+100k=0(k>0),则当该直线与圆O相切时,小路长度最小,此时|100k-10|k2+1此时求得小路长度为1002m.6.小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥,已知在某个时间段,这座桥的水面跨度是20米,拱顶离水面4米,当水面上涨2米后,桥在水面的跨度为()A.10米 B.102米 C.66米 D.65米答案C解析根据题意,建立如图所示的圆拱桥模型.设圆O的半径为R,当水面跨度是20米,拱顶离水面4米时,水面为AB,M为AB的中点,即|AB|=20,|OM|=R-4,由勾股定理,得|AM|2=AB22=|OA|2-|OM|即100=R2-(R-4)2,解得R=292当水面上涨2米后,水面为CD,N为CD的中点,此时|ON|=R-2,由勾股定理,得|CD|=2|CN|=2R2-(R-2)27.如图所示,A,B是直线l上的两点,且AB=2.两个半径相等的动圆分别与l相切于A,B两点,C是两个圆的公共点,则圆弧AC,CB与线段AB围成图形的面积S的取值范围为()A.0,π2C.0,2-π答案C解析如图所示,由题意知,当两动圆外切时,围成图形面积S取得最大值,此时四边形ABO2O1为矩形,且Smax=2×1-12·π2·12×2=2-8.如图,是一个圆曲隧道的截面,若路面AB宽为10m,净高CD为7m,则此隧道截面圆的半径是m.

答案37解析∵OD⊥AB,∴AD=DB=12AB=12×10=5在Rt△OAD中,设半径OA=R,则OD=CD-R=7-R,∴OA2=OD2+AD2,即R2=(7-R)2+52,解得R=377∴此隧道圆的半径OA是3779.如图,两圆形车轮叠靠在墙边,已知两圆的半径分别为4和1,则它们与墙的切点A,B间的距离为.

答案4解析设点E,F分别为两圆圆心,如图所示.连EF,EA,FB并作EG⊥BF于G.则EF=4+1=5,GF=4-1=3,∴EG=EF10.台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30km内的地区为危险区,城市B在A地正东40km处,则城市B处于危险区的时间为h.

答案1解析如图,以A地为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系, 则台风中心经过以B(40,0)为圆心,30为半径的圆内时城市B处于危险区,即B处于危险区时,台风中心在线段MN上,由题意知,台风路径用方程表示为y=x,则圆心B(40,0)到直线y=x的距离d=|40-0|2可求得|MN|=2302-所以城市B处于危险区的时间为1h.11.某圆拱桥的水面跨度为20m,拱高为4m.现有一船,宽10m,水面以上高3m,这条船能否从桥下通过?解建立如图所示的坐标系,使圆心C在y轴上.依题意,有A(-10,0),B(10,0),P(0,4),D(-5,0),E(5,0).设这座圆拱桥的拱圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,于是有(-10-解此方程组,得a=0,b=-10.5,r=14.5.所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52(0≤y≤4).把点D的横坐标x=-5代入上式,得y≈3.1.由于船在水面以上高3m,3<3.1,所以该船可以从桥下通过.二、综合运用12.某圆拱桥的示意图如图所示,该圆拱的跨度AB是36m,拱高OP是6m,在建造时,每隔3m需用一个支柱支撑,则支柱A2P2的长为()A.(126-24)m B.(126+24)mC.(24-126)m D.不确定答案A解析如图,以线段AB所在的直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,那么点A,B,P的坐标分别为(-18,0),(18,0),(0,6).设圆拱所在圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).因为A,B,P在此圆上,故有182-18故圆拱所在圆的方程是x2+y2+48y-324=0.将点P2的横坐标x=6代入上式,结合图形解得y=-24+126.即支柱A2P2长为(-24+126)m.13.如图,一公路隧道截面图的下方ABCD是矩形,且AB=4m,BC=8m,隧道顶APD是一圆弧,拱高OP=2m,隧道有两车道EF和FG,每车道宽3.5m,车道两边留有0.5m人行道BE和GC,为了行驶安全,车顶与隧道顶端至少有0.6m的间隙,则此隧道允许通行车辆的限高是m(精确到0.01m,51≈7.141).

答案3.97解析建立如图所示的平面直角坐标系xOy,设弧APD所在圆的圆心坐标为O1(0,b),半径为r,则其方程为x2+(y-b)2=r2.将P(0,2),D(4,0)的坐标代入以上方程,解得b=-3,r=5,故圆O1的方程为x2+(y+3)2=25.过点E作AD的垂线交AD于点M,延长交弧AD于点N,将N(-3.5,h)代入圆O1的方程,解得h≈0.571,即|MN|≈0.571,则|EN|≈4+0.571=4.571,从而车辆的限高为4.571-0.6≈3.97(m).14.如图,已知一艘海监船O上配有雷达,其监测范围是半径为25km的圆形区域,一艘外籍轮船从位于海监船正东40km的A处出发,径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿,速度为28km/h.问:这艘外籍轮船能否被海监船监测到?若能,持续时间多长?(要求用坐标法)解如图,以O为原点,东西方向为x轴建立直角坐标系,则A(40,0),B(0,30),圆O方程为x2+y2=252.直线AB方程:x40+y30即3x+4y-120=0.设O到AB距离为d,则d=|-120|所以外籍轮船能被海监船监测到.设监测时间为t,则t=225所以外籍轮船能被海监船监测到,持续时间是0.5h.三、拓展提高15.“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小;以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”其大意为:现有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知道大小,用锯去锯它,锯口深一寸,锯道长一尺,问这块圆柱形木材的直径是多少?现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中,截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分),已知弦|AB|=1尺,弓形高|CD|=1寸,则阴影部分的面积约为()注A.6.33平方寸 B.5.35平方寸C.7.37平方寸 D.8.39平方寸答案A解析连接OD(图略),设半径为r.由题意知|AD|=5寸,则|OD|=r-1,在Rt△OAD中,|OA|2=|AD|2+|OD|2,即r2=52+(r-1)2,解