人教A版高中数学选择性必修一第一课时　双曲线的简单几何性质

3.2.2双曲线的简单几何性质第一课时双曲线的简单几何性质学习目标1.掌握双曲线的简单几何性质:范围、焦点、渐近线、离心率等.2.能用双曲线的简单几何性质求标准方程.3.会求双曲线的离心率.【引入】在研究椭圆的几何性质时,我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率等多方面进行了研究,下面我们类比研究椭圆性质的方法研究双曲线的相关性质.一、双曲线的简单几何性质探究1试类比椭圆,分析双曲线x2a2-y2b2=1(提示(1)范围利用双曲线的方程求出它的范围,由方程x2a2-y2b2=1可得于是,x2a2≥1,y∈R,即x2≥a2,y所以x≥a或x≤-a,y∈R.(2)对称性x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心,又叫做双曲线的中心.(3)顶点双曲线与对称轴的交点,叫做双曲线的顶点.顶点是A1(-a,0),A2(a,0),只有两个.探究2如图,线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长为2a,a叫做双曲线的实半轴长;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长.据此,你能发现双曲线的范围还受怎样的限制?与矩形对角线y=±bax有什么关系提示双曲线在第一象限内部分的方程为y=ba·x2-a2,它与y=bax的位置关系:曲线在y=bax的下方,它与y探究3如何定义双曲线的离心率?它有什么几何意义?提示e=ca.因为c>a>0,所以可以看出e>1,另外,注意到ba=c2-a2a=c2-a2a2=1.双曲线的几何性质标准方程x2a2(a>0,b>0)y2a2(a>0,b>0)图形性质范围x≥a或x≤-ay≥a或y≤-a对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)实轴和虚轴实轴:线段A1A2,长:2a虚轴:线段B1B2,长:2b实半轴长:a,虚半轴长:b焦点(±a2+(0,±a2焦距|F1F2|=2c渐近线y=±bay=±ab离心率e=ca,e∈(1,+∞a,b,c关系c2=a2+b2c2=a2+b22.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它的渐近线是y=±x.温馨提示(1)等轴双曲线的离心率为2,渐近线方程为y=±x.(2)焦点到渐近线的距离为b.(3)双曲线上的点到焦点的距离最小值:同侧时,最小值为c-a;异侧时,最小值为c+a.例1(链接教材P124例3)求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.解双曲线的方程化为标准方程是x29-y∴a2=9,b2=4,∴a=3,b=2,c=13.又双曲线的焦点在x轴上,∴顶点坐标为(-3,0),(3,0),焦点坐标为(13,0),(-13,0)实轴长2a=6,虚轴长2b=4,离心率e=ca=13渐近线方程为y=±23x思维升华由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准方程是解决本题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.训练1求以椭圆x216+y29=1解椭圆的焦点F1(-7,0),F2(7,0)即为双曲线的顶点.∵双曲线的顶点和焦点在同一直线上,∴双曲线的焦点应为椭圆长轴端点A1(-4,0),A2(4,0),即c=4,a=7,∴b=c2∴双曲线的方程为x27-故该双曲线的实轴长为2a=27,虚轴长为2b=6,离心率为e=ca=477,渐近线方程为y=±二、由双曲线的几何性质求标准方程例2(链接教材P124T2)分别求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)一个焦点为(0,13),且离心率为135(2)渐近线方程为y=±12x,且经过点A(2,(3)过(3,-1)且实轴与虚轴长度相等.解(1)依题意,可知双曲线的焦点在y轴上,且c=13,又ca=13∴a=5,b=c2-故其标准方程为y225-(2)法一∵双曲线的渐近线方程为y=±12x若焦点在x轴上,设所求双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(则ba=12∵A(2,-3)在双曲线上,∴4a2-9联立①②,无解.若焦点在y轴上,设所求双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(则ab=12∵A(2,-3)在双曲线上,∴9a2-4联立③④,解得a2=8,b2=32.∴所求双曲线的标准方程为y28-法二由双曲线的渐近线方程为y=±12x可设双曲线方程为x222-y2=λ(λ∵A(2,-3)在双曲线上,∴2222-(-3)2=λ,∴所求双曲线的标准方程为y28-(3)可设方程为x2-y2=λ(λ≠0),则将(3,-1)代入,有λ=9-1=8,于是双曲线的标准方程为x28-思维升华巧设双曲线方程的方法(1)当双曲线的焦点不明确时,方程可能有两种形式,此时应注意分类讨论;为了避免讨论,也可设双曲线的方程为mx2-ny2=1(mn>0).(2)常见双曲线方程的设法如下.①渐近线为y=±nmx的双曲线方程可设为x2m2-y2n2=λ(λ≠0,m>0,n>0);如果两条渐近线的方程为Ax±By=0,那么双曲线的方程可设为A2x2-B2y2=m(m≠②与双曲线x2a2-y2b2=1或y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)共渐近线的双曲线方程可设为x2a③与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)离心率相等的双曲线方程可设为x2a2-y2b2=λ(λ>0)④等轴双曲线的方程可设为x2-y2=λ(λ≠0).⑤与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)共焦点的双曲线方程可设为x2a2-λ训练2根据条件分别求双曲线的标准方程:(1)与双曲线x29-y216=1有共同渐近线,且过点(-3(2)与椭圆x28+y24=1有相同的焦点,其中一条渐近线为直线y解(1)设所求双曲线方程为x29-y216=λ(由题意可知(-3)29-(23)216=λ∴所求双曲线的标准方程为x294(2)设双曲线方程为x2a2-y2b2由椭圆x28+y24=1,求得两焦点为(-2,0),∴对于双曲线:c=2.又y=3x为双曲线的一条渐近线,∴ba=3,解得a=1,b=3∴所求双曲线的标准方程为x2-y2三、求双曲线的渐近线和离心率角度1求双曲线的渐近线例3(1)点(3,0)到双曲线x216-y29=1A.95 B.85 C.6(2)已知双曲线C:y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)的离心率e答案(1)A(2)y=±33解析(1)由双曲线方程知a=4,b=3,渐近线其中一条为y=34x,即3x-4y=0则点(3,0)到其渐近线的距离为|3×3-4(2)由ab=a2b2=a2c2-a2=1e角度2求双曲线的离心率例4(1)如果双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)(2)设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,答案(1)(2,+∞)(2)3解析(1)如图,因为|AO|=|AF|,F(c,0),所以xA=c2又因为A在右支上且不在顶点处,所以c2>a,所以e=c故双曲线离心率的取值范围为(2,+∞).(2)不妨设|PF1|>|PF2|,则|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a,又|F1F2|=2c,在△PF1F2中,∠PF1F2=30°,由余弦定理得(2a)2=(4a)2+(2c)2-2×4a·2c·cos30°,整理得(e-3)2=0,所以e=3.思维升华1.求渐近线的方法(1)计算a,b值代入渐近线方程.(2)利用ba=e2-1或ab2.求双曲线离心率的三种方法(1)若可求得a,c,则直接利用e=ca求解(2)若已知a,b,可直接利用e=1+ba(3)若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+q·ac+r·a2=0(p,q,r为常数,且p≠0),则转化为关于e的方程pe2+q·e+r=0求解.训练3已知F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦,如果∠PF2解设F1(c,0),将x=c代入双曲线的方程得c2a2-那么y=±b2由|PF2|=|QF2|,∠PF2Q=90°,知|PF1|=|F1F2|,所以b2a=2c,所以b2=2所以c2-2ac-a2=0,所以ca2-2×c即e2-2e-1=0,所以e=1+2或e=1-2(舍去),所以双曲线的离心率为1+2.【课堂达标】1.双曲线与椭圆x216+y264=1有相同的焦点,它的一条渐近线方程为y=-x,A.x2-y2=96 B.y2-x2=160C.x2-y2=80 D.y2-x2=24答案D解析由y=-x知等轴双曲线,焦点y轴,焦点为(0,±43),∴a2=b2=24,故选D.2.(多选)已知双曲线方程为x2-8y2=32,则()A.实轴长为82 B.虚轴长为4C.焦距为6 D.离心率为3答案ABD解析双曲线方程x2-8y2=32化为标准方程为x232-y可得a=42,b=2,c=6,所以双曲线的实轴长为82,虚轴长为4,焦距为12,离心率为323.渐近线方程为y=±3x的双曲线的离心率为.

答案233解析分焦点在x,y轴讨论,知ba=3或ab=∴e=1+b2a2=1+3=2或e=4.中心在坐标原点,离心率为53的双曲线的焦点在y轴上,则它的渐近线方程为.答案y=±34解析∵ca=53,∴c2a2∴b2a2=169,∴ba=43又∵双曲线的焦点在y轴上,设双曲线方程y2a2-x2b2=1(∴双曲线的渐近线方程为y=±abx∴所求双曲线的渐近线方程为y=±34x课时精练一、基础巩固1.双曲线x29-y216=1A.6 B.8 C.9 D.10答案B解析由已知得左焦点的坐标为(-5,0),右顶点的坐标为(3,0),所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.2.双曲线3x2-y2=3的渐近线方程是()A.y=±3x B.y=±13C.y=±3x D.y=±33答案C解析双曲线方程可化为标准方程x21-y∴a=1,b=3,∴双曲线的渐近线方程为y=±bax即y=±3x.3.若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线互相垂直,A.2 B.2 C.3 D.3答案A解析由题意,渐近线方程为y=±x,∴e=2.4.设双曲线x2a2-y29=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则A.4 B.3 C.2 D.1答案C解析由双曲线的几何性质可得,双曲线x2a2-y29=1(a>0)的渐近线方程为又因为渐近线方程为3x±2y=0,即y=±32x,故a5.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若双曲线上存在点P满足|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|=4∶6∶A.2 B.52 C.5答案B解析e=|F1F2|6.已知双曲线的实轴和虚轴等长,且过点(5,3),则双曲线方程为()A.x225-y225=1 B.C.y216-x216=1 D.答案D解析由题意知,所求双曲线是等轴双曲线,设其方程为x2-y2=λ(λ≠0),将点(5,3)代入方程,可得λ=52-32=16,所以双曲线方程为x2-y2=16,即x216-7.(多选)若双曲线C的一个焦点F(5,0),P是双曲线上一点,且渐近线方程为y=±43x,则下列结论正确的是(A.C的方程为x29-B.C的离心率为5C.焦点到渐近线的距离为3D.|PF|的最小值为2答案AD解析双曲线C的一个焦点F(5,0),且渐近线方程为y=±43x,可得c=5焦点坐标在x轴上,ba=4因为c=5,所以b=4,a=3,所以C的方程为x29-y216=1离心率为e=53,B不正确焦点到渐近线的距离为d=4×542+|PF|的最小值为c-a=2,D正确.8.已知双曲线C:x26-y23=1,则C的右焦点的坐标为;C答案(3,0)3解析在双曲线C:x26-y23=1中∴c=3,则C的右焦点的坐标为(3,0),C的渐近线方程为y=±36x即y=±12x,即x±2y=0则C的焦点到其渐近线的距离d=33=39.已知双曲线C:x24-y2m=1(m>0)的开口比等轴双曲线的开口更开阔,则实数m答案(4,+∞)解析∵等轴双曲线的离心率为2,且双曲线C的开口比等轴双曲线的开口更开阔,∴双曲线C:x24-y2m=1的离心率e>2,即4+m4>2,∴10.若一双曲线与椭圆4x2+y2=64有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该双曲线的方程为.

答案y236-解析椭圆4x2+y2=64可变形为x216+ya2=64,c2=64-16=48,∴焦点为(0,43),(0,-43),离心率e=32则双曲线的焦点在y轴上,c'=43,e'=23=2从而a'=6,b'=23,故所求双曲线的方程为y236-11.求符合下列条件的双曲线的标准方程:(1)顶点间距离为6,渐近线方程为y=±32x(2)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率e=233,过点A(0,-b)和解(1)设以y=±32x为渐近线的双曲线方程为x24-y29=当λ>0时,a2=4λ,∴2a=24λ=6即λ=94当λ<0时,a2=-9λ,∴2a=2-9λ=6即λ=-1.∴双曲线的方程为x29-4y281=1(2)∵e=233,∴ca=233,∴a2=3b2.①又∵直线AB的方程为bx-ay-ab=0,∴d=aba2+b2=32,即4a2b2=3(a解由①②组成的方程组,得a2=3,b2=1,∴双曲线的标准方程为x23-y二、综合运用12.双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,右顶点为A,虚轴的一个端点为B,若△ABF为等腰三角形,A.3 B.2C.2或3 D.1+3答案D解析由题意易知F(-c,0),A(a,0),设B(0,b),则|AF|2=(a+c)2=a2+c2+2ac,|AB|2=a2+b2,|BF|2=b2+c2.由△ABF为等腰三角形,分析可得|AF|=|BF|,即a2+c2+2ac=b2+c2,变形可得c2-2a2-2ac=0,又e=ca,则有e2-2e-2=0,解得e=1±3又双曲线中e>1,所以e=1+3.13.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2答案x23-解析把x=c代入x2a2-y2b2=1不妨设Ac,b2a双曲线的一条渐近线方程为y=bax即bx-ay=0,则d1=|bc-b2|a2故d1+d2=|bc-b=bc-b2+bc+b又ca=c2a2=a得a2=3,所以双曲线的方程为x23-14.已知F1,F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点,当PF1|解因为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,所以|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=2a+|PF2|,所以PF1|2PF2|=(2a+P