人教A版高中数学选择性必修一章末检测卷(三)　第三章

章末检测卷(三)第三章(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m的值为()A.14 B.13 C.答案A解析在椭圆y21m+x2=1中,a2=1m,所以2×1m=2×1×2=4故m=142.已知双曲线x2a2-y2=1(a>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合,则此双曲线的渐近线方程是A.y=±5x B.y=±55C.y=±3x D.y=±33答案D解析∵y2=8x的焦点是(2,0),∴双曲线x2a2-y2=1的半焦距又虚半轴长b=1且a>0,所以a=22-1∴双曲线的渐近线方程是y=±33x3.从抛物线y2=4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=4,设抛物线的焦点为F,则直线PF的斜率为()A.33 B.32 C.3答案C解析设P(x0,y0),依题意可知抛物线准线为x=-1,所以x0=4-1=3,所以y0=23,所以P(3,23),F(1,0),所以直线PF的斜率k=233-1=4.直线y=kx+1与椭圆x25+y2m=1总有公共点,则mA.(1,+∞) B.(0,1)∪(1,+∞)C.[1,5)∪(5,+∞) D.(0,1)∪(1,5)答案C解析直线y=kx+1过定点(0,1),只需该点落在椭圆内或椭圆上,∴025+12m≤1,解得m≥1,又∴m的取值范围是[1,5)∪(5,+∞).5.已知中心在原点,焦点坐标为(0,±52)的椭圆截直线3x-y-2=0所得的弦的中点的横坐标为12,则该椭圆的方程为(A.x275+y225=1 B.C.x280+y230=1 D.答案B解析设椭圆方程为y2a2+x2b则a2=b2+c2=b2+50,①设直线3x-y-2=0与椭圆相交的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则b∴b2(y1-y1)(y1+y2)+a2(x1-x2)(x1+x2)=0.而弦的中点的横坐标为12,则纵坐标为-1即x1+x2=2×12=1y1+y2=2×-12=-1,y∴b2×3×(-1)+a2×1=0,即a2=3b2,②联立①②得a2=75,b2=25.故该椭圆的方程为x225+6.已知F为双曲线C:x29-y216=1的左焦点,P,Q为双曲线C右支上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PFQA.28 B.36 C.44 D.48答案C解析如图,∵双曲线C:x29-y216=1的左焦点为F∴点A(5,0)是双曲线的右焦点,又b=4,∴虚轴长为2b=8,∴|PQ|=16.∵|PF|-|PA|=2a=6,①|QF|-|QA|=2a=6,②∴①+②得|PF|+|QF|-|PQ|=12,∴△PFQ的周长l=|PF|+|QF|+|PQ|=12+2|PQ|=44.7.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=3|OF|,△MFO的面积为162,则抛物线的方程为()A.y2=6x B.y2=8xC.y2=16x D.y2=20x答案C解析设M(x0,y0),由|MF|=3|OF|,可得x0-p22又y02=2px0,所以x0-p2即x02+px0-2p2解得x0=p或x0=-2p(舍去),所以M(p,2p)或M(p,-2p),所以S△MFO=12×p2×2p=16解得p=±8,因为p>0,所以p=8,所以抛物线的方程为y2=16x.8.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若P为双曲线上一点,且|PF1|=2|PF2A.(1,3) B.(1,3]C.(3,+∞) D.[3,+∞)答案B解析如图所示,由|PF1|=2|PF2|知P在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|=2|PF2|,∴|PF1|=4a,|PF2|=2a.在△F1PF2中,由余弦定理得cos∠F1PF2=P=16a2+4a2-4c22∵0<∠F1PF2≤π,且当点P是双曲线的右顶点时,∠F1PF2=π,∴-1≤cos∠F1PF2<1,∴-1≤54-e24<1,且e>1,解得1<二、选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.若椭圆C:x2m+y2m2-1=1的一个焦点坐标为(0,A.m=2 B.C的长轴长为3C.C的短轴长为22 D.C的离心率为3答案ACD解析由椭圆的焦点坐标可得c=1且焦点在y轴上,则m2-1-m=1所以a=m2-1=3,b=m=所以椭圆的长轴长为23,短轴长为22,离心率e=ca=33,10.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为233,右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于MA.渐近线方程为y=±3xB.渐近线方程为y=±33C.∠MAN=60°D.∠MAN=120°答案BC解析如图,双曲线C:x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=±ba则c2a2=a2+则b2a2=13,ba=33或b故渐近线方程为y=±33x取MN的中点P,连接AP,利用点到直线的距离公式可得d=|AP|=abc则cos∠PAN=|AP||AN|=abcb∴cos∠MAN=cos2∠PAN=2cos2∠PAN-1=2×a2c2-1=12,11.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,以F为圆心,|FA|为半径的圆交l于B,D两点.若∠ABD=90°,且△ABF的面积为93,则()A.△ABF是等边三角形B.|BF|=3C.点F到准线的距离为3D.抛物线C的方程为y2=6x答案ACD解析根据题意作图,连接FD,如图所示.因为以F为圆心,|FA|为半径的圆交l于B,D两点,所以|FA|=|FB|,又∠ABD=90°,所以|FA|=|AB|,所以△ABF为等边三角形,故A正确;∠ABD=90°,则AB∥x轴,过F作FE⊥AB于点E,则点E为AB的中点,点E的横坐标为p2,点B的横坐标为-p所以点A的横坐标为3p2,|AB|=2所以S△ABF=34|AB|2=34×4p2=9解得p=3,则|BF|=|AB|=2p=6,故B错误;焦点F到准线的距离为p=3,故C正确;抛物线C的方程为y2=6x,故D正确.三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)12.抛物线y=4x2的焦点到准线的距离是.

答案1解析y=4x2化为x2=14y,2p=14,p=13.如图所示,已知点Q(22,0)及抛物线y=x24上的动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值为答案2解析如图所示,过点P作PM垂直于准线交准线于点M,则由抛物线的定义可知y+|PQ|=|PM|-1+|PQ|=|PF|+|PQ|-1,则当且仅当P,F,Q三点共线时,|PF|+|PQ|的值最小,最小值为|QF|=(22故y+|PQ|的最小值为3-1=2.14.油纸伞是中国传统工艺品,至今已有1000多年的历史.为宣传和推广这一传统工艺,某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上,如图所示.该伞沿是一个半径为2的圆,圆心到伞柄底端的距离为233,当阳光与地面的夹角为60°时,在地面形成了一个椭圆形影子,且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上,该椭圆的长轴长为答案8解析因为伞沿是半径为2的圆,圆心到伞柄底端的距离为233,设伞柄与地面的夹角为则tanθ=2233所以θ=60°,阳光光线与伞柄平行,所以椭圆的长半轴长a=2sin60°=4长轴长2a=83四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)已知点A(-2,1),B(2,4),C(2,1)中恰有两个点在抛物线E:x2=2py(p>0)上.(1)求E的标准方程;(2)若点M(x1,y1),N(x2,y2)在E上,且x1x2=-4,证明:直线MN过定点.(1)解因为点A(-2,1),C(2,1)关于y轴对称,抛物线E也关于y轴对称,所以点A(-2,1),C(2,1)在E上,将点A(-2,1)代入抛物线E:x2=2py(p>0)得4=2p,即p=2,所以抛物线E的方程为x2=4y.(2)证明由题意可知,直线MN的斜率一定存在,则设直线MN的方程为y=kx+m,由y=kx+m,x2=4y,消由根与系数的关系得x1x2=-4m=-4,则m=1,所以直线MN:y=kx+1,显然恒过定点(0,1).16.(15分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(2,1),离心率为22,过点B(3,0)(1)求椭圆的方程;(2)若|MN|=322,求直线MN解(1)由题意有4a2+1b2=1,e=a2-b2=c2,解得a=6,b=3,c=3,所以椭圆的方程为x26+(2)由直线MN过点B且与椭圆有两交点,则直线MN的斜率必存在.可设直线MN方程为y=k(x-3),代入椭圆方程整理得(2k2+1)x2-12k2x+18k2-6=0,Δ=24-24k2>0,得k2<1.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=12k22k2+1,x|MN|=(=(=(k2+1)[(解得k=±22,满足k2<1所以所求直线方程为y=±22(x-3)即x-2y-3=0或x+2y-3=0.17.(15分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与y24-x22=1(1)求双曲线C的方程,并写出其离心率与渐近线方程;(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在圆x2+y2=10上,求实数m的值.解(1)因为双曲线C与y24-x2所以可设双曲线C的方程为x22-y24=λ(代入M(2,-2),得22-24=λ,得λ=故双曲线C的方程为x2-y22所以a=1,b=2,c=3,故离心率e=3,渐近线方程为y=±2x.(2)联立直线AB与双曲线C的方程,得x整理得x2-2mx-m2-2=0,Δ=8m2+8>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中点坐标为x1由根与系数的关系,得x1+x2=2m,y1+y2=(x1+m)+(x2+m)=(x1+x2)+2m=4m,所以AB的中点坐标为(m,2m),又点(m,2m)在圆x2+y2=10上,所以m2+4m2=10,所以m=±2.18.(17分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点M(0,2)(1)求椭圆的方程;(2)设过定点N(2,0)的直线l(斜率存在)与椭圆相交于A、B两点,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线l斜率的取值范围.解(1)因为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点M(0,2)所以b=2,ca=6又a2=b2+c2,所以a2=12.所以椭圆的方程为x212+(2)设直线l的方程为y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),则OA=(x1,y1),OB=(x2,y2).由x得(1+3k2)x2-12k2x+12k2-12=0.所以x1+x2=12k21+3k2,x1y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=12k4-12k21+3k所以OA·OB=x1x2+y1y2=12k2-121+3k2解得k>3或k<-3.故直线l斜率的取值范围为{k|k>3或k<-3}.19.(17分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(-2,-1)(1)求椭圆C的方程;(2)过点B(-4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x=-4于点P,Q,求|PB||BQ|的值解(1)因为a=2b,所以椭圆的方程为x24b又椭圆过点A(-2,-1),所以44b2+解得b2=2,则a2=8.所以椭圆C的方程为x28+(2)由题意知直线MN的斜率存在.当直线MN的斜率为0时,直线与x轴重合,则与椭圆的交点即为其左、右顶点.不妨设M(-22,0),N(22,0),则直线MA的方程为y=-1-2+22(x+22),直线NA的方程为y=-1-2-