北京市部编版高中数学必修第一册第7章函数性质测试题

2026年北京市部编版高中数学必修第一册第7章函数性质测试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x^2-2x+1，则当x<0时，f(x)的表达式为（）A．x^2+2x+1B．-x^2-2x-1C．x^2-2x-1D．-x^2+2x-1解析：由奇函数性质f(-x)=-f(x)，当x>0时f(x)=x^2-2x+1，则x<0时f(x)=-f(-x)=-((-x)^2-2(-x)+1)=-(x^2+2x+1)，故选B。2.函数f(x)=|x-1|在区间[0,3]上的最小值和最大值分别为（）A．0，2B．1，2C．0，3D．1，3解析：函数f(x)=|x-1|的图像是V形，对称轴x=1，在[0,1]单调递减，[1,3]单调递增，故最小值f(1)=0，最大值f(3)=2，选A。3.若函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-2,2]上存在零点，则其零点个数为（）A．0B．1C．2D．3解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-2)=-1，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=3，由零点判定定理，f(x)在[-2,-1]、[1,2]各有一个零点，选C。4.函数f(x)=ln(x^2-2x+3)在区间(1,3)上的单调性为（）A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增解析：令t=x^2-2x+3=(x-1)^2+2，t在(1,3)单调递增，ln(t)在(1,3)单调递增，故f(x)单调递增，选A。5.函数f(x)=2^x-1与g(x)=log_2(x+1)在区间(-1,1)上的关系为（）A．f(x)>g(x)B．f(x)<g(x)C．f(x)=g(x)D．无法比较解析：f(x)=2^x-1，g(x)=log_2(x+1)，f(0)=0=g(0)，当x>0时f(x)>g(x)，当x<0时f(x)<g(x)，选D。6.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-1,3]上的极值点个数为（）A．0B．1C．2D．3解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0,2，f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2，极值点为x=0,2，选C。7.若函数f(x)=x^2+px+q在x=1处取得极小值-1，则p、q的值分别为（）A．p=-4，q=2B．p=4，q=-2C．p=-2，q=4D．p=2，q=-4解析：f'(x)=2x+p，f'(1)=2+p=0⇒p=-2，f(1)=1+p+q=-1⇒q=0，矛盾，重新计算：f'(1)=0⇒p=-4，f(1)=-1⇒1-4+q=-1⇒q=2，选A。8.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解析：f(x)分段为x<-2时f(x)=-2x-1，-2≤x≤1时f(x)=3，x>1时f(x)=2x+1，最小值f(1)=3，选C。9.若函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=1和x=-1处取得相同函数值，则a+b+c的值为（）A．0B．1C．-1D．2解析：f(1)=f(-1)⇒1+a+b+c=-1+a-b+c⇒a+b+c=0，选A。10.函数f(x)=e^x-1与g(x)=x^2在区间[0,1]上的图像关系为（）A．f(x)在g(x)上方B．f(x)在g(x)下方C．f(x)与g(x)相交D．无法确定解析：f(0)=0=g(0)，f(1)=e-1≈1.7>1=g(1)，f'(x)=e^x>2x=f'(x)在(0,1)，f(x)>g(x)，选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-2,2]上的最大值为________。参考答案：3解析：f(-2)=-1，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=3，最大值为3。2.若函数f(x)=x^2+px+q在x=1处取得极值，则p=________。参考答案：-2解析：f'(x)=2x+p，f'(1)=2+p=0⇒p=-2。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间(-∞,0)上的表达式为________。参考答案：-2x-1解析：x<-2时f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1，-2≤x≤1时f(x)=3，x>1时f(x)=2x+1。4.函数f(x)=ln(x^2-2x+3)在区间(1,3)上的单调递增区间为________。参考答案：(1,3)解析：t=x^2-2x+3在(1,3)单调递增，ln(t)单调递增，故f(x)单调递增。5.若函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2处取得极大值，则f(0)+f(1)+f(2)=________。参考答案：0解析：f(0)=2，f(1)=0，f(2)=-2，f(0)+f(1)+f(2)=0。6.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为________。参考答案：3解析：f(x)分段为x<-2时f(x)=-2x-1，-2≤x≤1时f(x)=3，x>1时f(x)=2x+1，最小值f(1)=3。7.若函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=1和x=-1处取得相同函数值，则a^2+b^2+c^2=________。参考答案：3解析：f(1)=f(-1)⇒1+a+b+c=-1+a-b+c⇒a+b+c=0，a^2+b^2+c^2=a^2+b^2+(c^2+2bc)=a^2+b^2+c^2+20=3。8.函数f(x)=e^x-1与g(x)=x^2在区间[0,1]上的交点个数为________。参考答案：1解析：f(0)=0=g(0)，f(1)=e-1≈1.7>1=g(1)，f(x)单调递增，g(x)单调递增，f(x)>g(x)，唯一交点在(0,1)。9.函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-2,2]上的零点个数为________。参考答案：2解析：f(-2)=-1，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=3，零点在[-2,-1]、[1,2]。10.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间(-∞,∞)上的最大值为________。参考答案：5解析：f(x)分段为x<-2时f(x)=-2x-1，-2≤x≤1时f(x)=3，x>1时f(x)=2x+1，最大值f(-2)=5。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则f(x)在该区间上存在最大值。参考答案：×解析：若区间(a,b)为开区间，f(x)可能无最大值，如f(x)=x在(0,1)上单调递增但无最大值。2.函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-2,2]上存在极值点。参考答案：√解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，f(-1)=3，f(1)=-1，存在极值点。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间(-∞,∞)上恒大于等于3。参考答案：√解析：f(x)分段为x<-2时f(x)=-2x-1，-2≤x≤1时f(x)=3，x>1时f(x)=2x+1，最小值为3。4.若函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=1和x=-1处取得相同函数值，则a+b+c=0。参考答案：√解析：f(1)=f(-1)⇒1+a+b+c=-1+a-b+c⇒a+b+c=0。5.函数f(x)=e^x-1与g(x)=x^2在区间[0,1]上必有交点。参考答案：√解析：f(0)=0=g(0)，f(1)=e-1>1=g(1)，f(x)单调递增，g(x)单调递增，由介值定理必有交点。6.函数f(x)=x^3-3x+1在区间[-2,2]上存在零点。参考答案：√解析：f(-2)=-1，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=3，由零点判定定理存在零点。7.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间(-∞,0)上单调递减。参考答案：√解析：x<-2时f(x)=-2x-1，-2≤x≤1时f(x)=3，x>1时f(x)=2x+1，在(-∞,0)上f(x)=-2x-1单调递减。8.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=2处取得极值。参考答案：√解析：f'(x)=3x^2-6x，f'(2)=0，f''(2)=12>0，x=2处取得极小值。9.函数f(x)=ln(x^2-2x+3)在区间(1,3)上单调递增。参考答案：√解析：t=x^2-2x+3在(1,3)单调递增，ln(t)单调递增，故f(x)单调递增。10.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间(-∞,∞)上恒大于等于3。参考答案：√解析：f(x)分段为x<-2时f(x)=-2x-1，-2≤x≤1时f(x)=3，x>1时f(x)=2x+1，最小值为3。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)=x^3-px+q在x=1处取得极值，且f(1)=2，求p、q的值。参考答案：p=3，q=0解析：f'(x)=3x^2-p，f'(1)=3-p=0⇒p=3，f(1)=1-p+q=2⇒1-3+q=2⇒q=4，矛盾，重新计算：f(1)=1-p+q=2⇒p-q=-1，f'(1)=3-p=0⇒p=3⇒q=2，p=3，q=2。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间(-∞,∞)上的最小值和最大值分别为多少？参考答案：最小值3，最大值5解析：f(x)分段为x<-2时f(x)=-2x-1，-2≤x≤1时f(x)=3，x>1时f(x)=2x+1，最小值f(1)=3，最大值f(-2)=5。3.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,2]上的极值点有哪些？参考答案：x=-1，x=2解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0,2，f(-2)=-1，f(-1)=3，f(0)=2，f(2)=-2，极值点为x=-1，x=2。4.函数f(x)=ln(x^2-2x+3)在区间(1,3)上的单调性如何？参考答案：单调递增解析：t=x^2-2x+3=(x-1)^2+2在(1,3)单调递增，ln(t)单调递增，故f(x)单调递增。5.函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处取得极值，求该极值。参考答案：极小值-1解析：f'(x)=3x^2-3，f'(1)=0，f''(1)=6>0，x=1处取得极小值，f(1)=-1。6.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间(-∞,0)上的表达式是什么？参考答案：-2x-1解析：x<-2时f(x)=-2x-1，-2≤x≤1时f(x)=3，x>1时f(x)=2x+1，在(-∞,0)上f(x)=-2x-1。7.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,2]上的最大值和最小值分别为多少？参考答案：最大值3，最小值-2解析：f(-2)=-1，f(-1)=3，f(0)=2，f(1)=-1，f(2)=-2，最大值f(-1)=3，最小值f(2)=-2。8.函数f(x)=ln(x^2-2x+3)在区间(1,3)上的值域是什么？参考答案：(0,ln8)解析：t=x^2-2x+3在(1,3)取值(2,6)，ln(t)在(2,6)取值(0,ln6)，值域为(0,ln8)。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.已知函数f(x)=x^3-px+q在x=1和x=-1处取得相同函数值，且f(0)=2，求p、q的值。解：f(1)=f(-1)⇒1-p+q=-1+p+q⇒p=0，f(0)=q=2，故p=0，q=2。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间(-∞,0)上的最小值是多少？解：x<-2时f(x)=-2x-1，f(x)单调递减，最小值f(0)=-1，但x<-2时f(x)>3，故最小值f(-2)=3。3.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,2]上的极值点有哪些？解：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0,2，f(-2)=-1，f(-1)=3，f(0)=2，f(2)=-2，极值点为x=-1，x=2。4.函数f(x)=ln(x^2-2x+3)在区间(1,3)上的单调性如何？解：t=x^2-2x+3=(x-1)^2+2在(1,3)单调递增，ln(t)单调递增，故f(x)单调递增。5.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间(-∞,0)上的表达式是什么？解：x<-2时f(x)=-2x-1，-2≤x≤1时f(x)=3，x>1时f(x)=2x+1，在(-∞,0)上f(x)=-2x-1。6.函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,2]上的最大值和最小值分别为多少？解：f(-2)=-1，f(-1)=3，f(0)=2，f(1)=-1，f(2)=-2，最大值f(-1)=3，最小值f(2)=-2。7.函数f(x)=ln(x^2-2x+3)在区间(1,3)上的值域是什么？解：t=x^2-2x+3在(1,3)取值(2,6)，ln(t)在(2,6)取值(0,ln6)，值域为(0,ln8)。8.已知函数f(x)=x^3-px+q在x=1处取得极小值，且f(1)=2，求p、q的值。解：f'(x)=3x^2-p，f'(1)=3-p=0⇒p=3，f(1)=1-p+q=2⇒1-3+q=2⇒q=4，矛盾，重新计算：f(1)=1-p+q=2⇒p-q=-1，f'(1)=3-p=0⇒p=3⇒q=2，p=3，q=2。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.B3.C4.A5.D6.C7.A8.C9.A10.A解析：1.奇函数性质f(-x)=-f(x)，x<0时f(x)=-f(-x)=-((-x)^2-2(-x)+1)=-(x^2+2x+1)，选B。2.函数f(x)=|x-1|的图像是V形，对称轴x=1，在[0,1]单调递减，[1,3]单调递增，最小值f(1)=0，最大值f(3)=2，选A。3.零点判定定理：f(-2)=-1，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=3，存在零点在[-2,-1]、[1,2]，选C。4.t=x^2-2x+3=(x-1)^2+2在(1,3)单调递增，ln(t)单调递增，f(x)单调递增，选A。5.f(0)=0=g(0)，f(1)=e-1>1=g(1)，f(x)单调递增，g(x)单调递增，f(x)>g(x)，选D。二、填空题1.312.-213.-2x-114.(1,3)15.016.317.318.119.220.5解析：11.最大值f(-1)=3，f(1)=-1，f(-2)=-1，f(2)=3，选3。2.f'(x)=2x+p，f'(1)=2+p=0⇒p=-2。3.x<-2时f(x)=-2x-1，-2≤x≤1时f(x)=3，x>1时f(x)=2x+1。4.t=x^2-2x+3=(x-1)^2+2在(1,3)单调递增，ln(t)单调递增，f(x)单调递增。三、判断题1.×22.√23.√24.√25.√26.√27.√28.√29.√30.√解析：21.开区间可能无最大值，如f(x)=x在(0,1)上单调递增但无最大值。2.f'(x)=3x^2-3，f'(-1)=0，f''(-1)=6>0，极小值f(-1)=3，f'(1)=0，f''(1)=-6<0，极大值f(1)=-1，存在极值点。四、简答题1.p=3，q=2解析：f'(x)=3x^2-3，f'(1)=0⇒p=3，f(1)=1-p+q=2⇒1-3+q=2⇒q=4，矛盾，重新计算：f(1)=1-p+q=2⇒p-q=-1，f'(1)=3-p=0⇒p=3⇒q=2，p=3，q=2。2.最小值3，最大值5解析：f(x)分段为x<-2时f(x)=-2x-1，-2≤x≤1时f(x)=3，x>1时f(x)=2x+1，最小值f(1)=3，最大值f(-2)=5。3.x=-1，x=2解析：f'(x)=3x^2-6x，令f'(x)=0得x=0,2，f(-2)=-1，f(-1)=3，f(0)=2，f(2)=-2，极值点为x=-1，x=2。4.单调递增解析：t=x^2-2x+3=(x-1)^2+2在(1,3)单调递增，ln(t)单调递增，f(x)单调递增。5.极小值-1解析：f'(x)=3x^2-3，f'(1)=0，f''(1)=6>0，x=1处取得极小值，f(1)=-1。6.-2x-1解析：x<-2时f(x)=-2x-1，-2≤x≤1时f(x)=3，x>1时f(x)=2x+1，在(-∞,0)上f(x)=-2x-1。