北师大版高中数学选修2-5立体几何专题练习题

2026年北师大版高中数学选修2-5立体几何专题练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面α：x-y+z=1的距离为（）A.1B.√3C.√6D.2√3解析：点A到平面α的距离公式为d=|Ax₀-y₀+z₀+d|/√(A²+B²+C²)，代入A(1,2,3)和平面方程得d=|1-2+3-1|/√(1+1+1)=√3，故选B。2.已知直线l：x=2与平面α：x-y+2z=1的位置关系是（）A.平行B.相交于一点C.直线在平面内D.垂直解析：直线l的方向向量为(0,0,1)，平面α的法向量为(1,-1,2)，两向量点积为0，故直线l与平面α垂直，选D。3.过点P（1，0，-1）且与平面α：2x+y-z=3垂直的直线方程为（）A.x=1，y=0B.x-1=2(y-0)，z+1=-1(y-0)C.x-1=y，y=-zD.x-1=2(y-0)，z+1=-(y-0)解析：垂直平面的直线方向向量为(2,1,-1)，代入点P得直线方程为x-1=2(y-0)，z+1=-(y-0)，选D。4.已知三棱锥A-BCD的顶点A在平面α上的射影为O，若∠BCD=90°，∠OBC=30°，∠OCD=45°，则AO的长度为（）A.√2/3B.√3/3C.1/3D.2/3解析：设OB=OC=1，则OB=√3/3，OC=√2/2，由勾股定理得OD=√(1-(√3/3)²-(√2/2)²)=√(1-5/9-1/2)=√(7/18)，AO=OD•cos45°=√(7/18)•√2/2=√(7/36)=√2/6，故选A。5.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁的中点，则直线AE与平面B₁BCC₁的位置关系是（）A.平行B.相交于一点C.直线在平面内D.垂直解析：取BC中点G，连接EG，则EG平行于平面B₁BCC₁，且EG与AE相交于E，故AE与平面B₁BCC₁相交，选B。6.已知平面α与平面β的夹角为60°，直线l在平面α内，且与平面β的夹角为30°，则直线l与平面α的法向量的夹角为（）A.30°B.60°C.90°D.120°解析：设平面α的法向量为n₁，平面β的法向量为n₂，l与n₁的夹角为θ，l与n₂的夹角为30°，由余弦定理cos30°=cosθ•cos60°，得cosθ=√3/2，故θ=30°，选A。7.在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为等边三角形，侧棱AA₁垂直于底面，若AA₁=2，AB=1，则点A₁到平面BCC₁B₁的距离为（）A.√3/3B.√2/3C.1D.2√3/3解析：取BC中点D，连接AD，则AD垂直于BC，AD=√3/2，A₁D=√(AA₁²+AD²)=√(4+(√3/2)²)=√(19/4)，点A₁到平面BCC₁B₁的距离为A₁D•sin60°=√(19/4)•√3/2=√(57/8)，故选D。8.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，高为3，E为棱PC的中点，则直线PE与底面ABCD的夹角为（）A.30°B.45°C.60°D.90°解析：取CD中点F，连接EF，则EF垂直于CD，EF=√2，PE=√(PF²+EF²)=√(3²+(√2)²)=√(11)，直线PE与底面的夹角θ满足sinθ=3/√11≈0.28，θ≈16°，故选A。9.在空间直角坐标系中，平面α：x+y+z=1与平面β：2x-y+z=0的公共垂线方程为（）A.x=y=zB.x-y+z=0C.x+y-z=0D.2x-y+z=1解析：两平面的法向量分别为(1,1,1)和(2,-1,1)，公共垂线的方向向量为(1,1,1)×(2,-1,1)=(2,1,-3)，过原点得方程x+y-3z=0，故选C。10.已知三棱锥A-BCD的体积为8，底面BCD的面积为4，点A到平面BCD的距离为（）A.1B.2C.4D.8解析：V=1/3×底面积×高，8=1/3×4×h，得h=6，故选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A₁到平面BCD₁的距离为_________解：取CD₁中点M，连接AM，AM=√(AD²+DM²)=√(1²+(√2/2)²)=√(3/2)，点A₁到平面BCD₁的距离为AM•sin60°=√(3/2)•√3/2=3/4，填3/4。2.已知平面α：x-y+2z=1与平面β：2x+y-z=3的夹角为_________解：法向量分别为(1,-1,2)和(2,1,-1)，cosθ=|1×2-1×1+2×(-1)|/√(1+1+4)√(4+1+1)=|-1|/√6√6=1/36，θ=arccos(1/36)，填arccos(1/36)。3.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB=1，则PC的长度为_________解：PC=√(PA²+AC²+AB²)=√(1²+1²+1²)=√3，填√3。4.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，高为3，则侧面与底面的夹角为_________解：取CD中点E，连接PE，PE=√(PF²+EF²)=√(3²+(√2)²)=√(11)，侧面与底面的夹角θ满足cosθ=2/√11，填arccos(2/√11)。5.在空间直角坐标系中，平面α：x+y+z=1与平面β：2x-y+z=0的公共垂线方程为_________解：公共垂线的方向向量为(1,1,1)×(2,-1,1)=(2,1,-3)，过原点得方程x+y-3z=0，填x+y-3z=0。6.已知三棱锥A-BCD的体积为8，底面BCD的面积为4，点A到平面BCD的距离为_________解：V=1/3×底面积×高，8=1/3×4×h，得h=6，填6。7.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A₁到平面BCD₁的距离为_________解：取CD₁中点M，连接AM，AM=√(AD²+DM²)=√(1²+(√2/2)²)=√(3/2)，点A₁到平面BCD₁的距离为AM•sin60°=√(3/2)•√3/2=3/4，填3/4。8.已知平面α：x-y+2z=1与平面β：2x+y-z=3的夹角为_________解：法向量分别为(1,-1,2)和(2,1,-1)，cosθ=|1×2-1×1+2×(-1)|/√(1+1+4)√(4+1+1)=|-1|/√6√6=1/36，θ=arccos(1/36)，填arccos(1/36)。9.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB=1，则PC的长度为_________解：PC=√(PA²+AC²+AB²)=√(1²+1²+1²)=√3，填√3。10.在正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，高为3，则侧面与底面的夹角为_________解：取CD中点E，连接PE，PE=√(PF²+EF²)=√(3²+(√2)²)=√(11)，侧面与底面的夹角θ满足cosθ=2/√11，填arccos(2/√11)。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若直线l与平面α垂直，则直线l与平面α内的所有直线都垂直。（√）解：直线l垂直于平面α的法向量，而平面α内的所有直线都与法向量平行或共线，故直线l与平面α内的所有直线都垂直。2.已知三棱锥A-BCD的体积为8，底面BCD的面积为4，则点A到平面BCD的距离为2。（√）解：V=1/3×底面积×高，8=1/3×4×h，得h=6，故点A到平面BCD的距离为6，不是2，错误。3.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，对角线AC与对角线B₁D₁平行。（×）解：AC与B₁D₁的方向向量分别为(1,1,0)和(-1,1,1)，点积不为0且不共线，故AC与B₁D₁不平行。4.若平面α与平面β的夹角为60°，直线l在平面α内，且与平面β的夹角为30°，则直线l与平面α的法向量的夹角为30°。（√）解：设平面α的法向量为n₁，平面β的法向量为n₂，l与n₁的夹角为θ，l与n₂的夹角为30°，由余弦定理cos30°=cosθ•cos60°，得cosθ=√3/2，故θ=30°。5.已知三棱锥A-BCD的顶点A在平面α上的射影为O，若∠BCD=90°，∠OBC=30°，∠OCD=45°，则AO的长度为√2/6。（√）解：设OB=OC=1，则OB=√3/3，OC=√2/2，由勾股定理得OD=√(1-(√3/3)²-(√2/2)²)=√(7/18)，AO=OD•cos45°=√(7/18)•√2/2=√(7/36)=√2/6。6.在空间直角坐标系中，平面α：x+y+z=1与平面β：2x-y+z=0的公共垂线方程为x+y-3z=0。（√）解：公共垂线的方向向量为(1,1,1)×(2,-1,1)=(2,1,-3)，过原点得方程x+y-3z=0。7.若直线l与平面α垂直，则直线l与平面α内的所有直线都垂直。（√）解：直线l垂直于平面α的法向量，而平面α内的所有直线都与法向量平行或共线，故直线l与平面α内的所有直线都垂直。8.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，对角线AC与对角线B₁D₁平行。（×）解：AC与B₁D₁的方向向量分别为(1,1,0)和(-1,1,1)，点积不为0且不共线，故AC与B₁D₁不平行。9.已知三棱锥A-BCD的体积为8，底面BCD的面积为4，则点A到平面BCD的距离为2。（√）解：V=1/3×底面积×高，8=1/3×4×h，得h=6，故点A到平面BCD的距离为6，不是2，错误。10.在正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，高为3，则侧面与底面的夹角为arccos(2/√11)。（√）解：取CD中点E，连接PE，PE=√(PF²+EF²)=√(3²+(√2)²)=√(11)，侧面与底面的夹角θ满足cosθ=2/√11，填arccos(2/√11)。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁的中点，求直线AE与平面B₁BCC₁的位置关系。解：取BC中点G，连接EG，则EG平行于平面B₁BCC₁，且EG与AE相交于E，故AE与平面B₁BCC₁相交。2.在空间直角坐标系中，平面α：x+y+z=1与平面β：2x-y+z=0的夹角为多少？解：法向量分别为(1,1,1)和(2,-1,1)，cosθ=|1×2-1×1+2×(-1)|/√(1+1+1)√(4+1+1)=|-1|/√6√6=1/36，θ=arccos(1/36)。3.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB=1，求PC的长度。解：PC=√(PA²+AC²+AB²)=√(1²+1²+1²)=√3。4.在正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，高为3，求侧面与底面的夹角。解：取CD中点E，连接PE，PE=√(PF²+EF²)=√(3²+(√2)²)=√(11)，侧面与底面的夹角θ满足cosθ=2/√11。5.已知三棱锥A-BCD的体积为8，底面BCD的面积为4，求点A到平面BCD的距离。解：V=1/3×底面积×高，8=1/3×4×h，得h=6。6.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A₁到平面BCD₁的距离为多少？解：取CD₁中点M，连接AM，AM=√(AD²+DM²)=√(1²+(√2/2)²)=√(3/2)，点A₁到平面BCD₁的距离为AM•sin60°=√(3/2)•√3/2=3/4。7.在空间直角坐标系中，平面α：x-y+2z=1与平面β：2x+y-z=0的公共垂线方程为多少？解：公共垂线的方向向量为(1,1,1)×(2,-1,1)=(2,1,-3)，过原点得方程x+y-3z=0。8.在正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，高为3，求侧面与底面的夹角。解：取CD中点E，连接PE，PE=√(PF²+EF²)=√(3²+(√2)²)=√(11)，侧面与底面的夹角θ满足cosθ=2/√11。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB=1，求PC的长度。解：PC=√(PA²+AC²+AB²)=√(1²+1²+1²)=√3。2.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁的中点，求直线AE与平面B₁BCC₁的位置关系。解：取BC中点G，连接EG，则EG平行于平面B₁BCC₁，且EG与AE相交于E，故AE与平面B₁BCC₁相交。3.在空间直角坐标系中，平面α：x+y+z=1与平面β：2x-y+z=0的夹角为多少？解：法向量分别为(1,1,1)和(2,-1,1)，cosθ=|1×2-1×1+2×(-1)|/√(1+1+1)√(4+1+1)=|-1|/√6√6=1/36，θ=arccos(1/36)。4.在正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，高为3，求侧面与底面的夹角。解：取CD中点E，连接PE，PE=√(PF²+EF²)=√(3²+(√2)²)=√(11)，侧面与底面的夹角θ满足cosθ=2/√11。5.已知三棱锥A-BCD的体积为8，底面BCD的面积为4，求点A到平面BCD的距离。解：V=1/3×底面积×高，8=1/3×4×h，得h=6。6.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A₁到平面BCD₁的距离为多少？解：取CD₁中点M，连接AM，AM=√(AD²+DM²)=√(1²+(√2/2)²)=√(3/2)，点A₁到平面BCD₁的距离为AM•sin60°=√(3/2)•√3/2=3/4。7.在空间直角坐标系中，平面α：x-y+2z=1与平面β：2x+y-z=0的公共垂线方程为多少？解：公共垂线的方向向量为(1,1,1)×(2,-1,1)=(2,1,-3)，过原点得方程x+y-3z=0。8.在正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，高为3，求侧面与底面的夹角。解：取CD中点E，连接PE，PE=√(PF²+EF²)=√(3²+(√2