北师大版高中数学选修2-6概率统计专题练习题

2026年北师大版高中数学选修2-6概率统计专题练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在北师大版高中数学选修2-6中，若某随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，其密度函数图像关于直线x=μ对称，则下列关于P(X<μ)和P(X>μ)的说法中，正确的是（）A.P(X<μ)=0.5，P(X>μ)=0.5，因为正态分布的对称性B.P(X<μ)>P(X>μ)，因为正态分布右侧尾部更分散C.P(X<μ)<P(X>μ)，因为正态分布左侧尾部更集中D.P(X<μ)和P(X>μ)的大小关系取决于σ的值，无法确定2.北师大版高中数学选修2-6中，某班级进行了一次数学能力测试，成绩近似服从正态分布N(85,16)，若成绩在90分以上的学生占总人数的10%，则该班级成绩在70分以下的学生比例大约为（）A.2.5%B.15.9%C.34.1%D.50%3.在北师大版高中数学选修2-6的抽样调查章节中，某工厂要调查其产品的合格率，采用分层抽样的方法，已知该工厂有甲、乙、丙三种型号的产品，数量比为3:2:1，若从总量中抽取100件进行检测，则乙型号产品应抽取的数量为（）A.20件B.30件C.40件D.50件4.北师大版高中数学选修2-6中，某射手每次射击命中目标的概率为0.7，现进行4次射击，则恰好命中3次的概率为（）A.0.028B.0.147C.0.490D.0.8475.在北师大版高中数学选修2-6的独立性检验章节中，某研究调查了吸烟与患肺癌的关系，得到如下列联表：||患肺癌|未患肺癌|合计||----------------|----------|------------|--------||吸烟|30|120|150||不吸烟|20|130|150||合计|50|250|300|根据列联表计算K²的观测值，下列结果最接近的是（）A.1.25B.3.125C.6.25D.12.56.北师大版高中数学选修2-6中，某学校进行了一次问卷调查，调查学生是否喜欢数学，结果如下：喜欢数学的学生中，有60%是男生；不喜欢数学的学生中，有40%是女生。已知该校男生占全体学生的55%，则该校喜欢数学的女生比例大约为（）A.30%B.35%C.40%D.45%7.在北师大版高中数学选修2-6的回归分析章节中，某同学收集了身高和体重数据，绘制散点图后，得到回归方程为ŷ=50+2x，其中x表示身高（单位：cm），ŷ表示体重（单位：kg），则当身高为170cm时，预测的体重为（）A.60kgB.70kgC.80kgD.90kg8.北师大版高中数学选修2-6中，某班级进行了一次小组合作项目，项目完成情况分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，已知优秀率为20%，良好率为30%，合格率为40%，则不合格的概率为（）A.5%B.10%C.15%D.25%9.在北师大版高中数学选修2-6的抽样分布章节中，某校随机抽取了30名学生进行数学测试，样本均值为85，样本标准差为10，若该校全体学生的数学成绩近似服从正态分布N(80,16)，则样本均值大于85的概率大约为（）A.0.1587B.0.3413C.0.4756D.0.841310.北师大版高中数学选修2-6中，某工厂生产的产品中，次品率为5%，现从中随机抽取3件进行检测，则至少有一件是次品的概率为（）A.0.0125B.0.1406C.0.8594D.0.9875二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.北师大版高中数学选修2-6中，若某随机变量X服从二项分布B(10,0.3)，则P(X=3)的值为________。2.在北师大版高中数学选修2-6的独立性检验章节中，某研究调查了性别与是否喜欢运动的关系，得到如下列联表：||喜欢运动|不喜欢运动|合计||----------------|------------|--------------|--------||男生|40|60|100||女生|30|70|100||合计|70|130|200|根据列联表计算K²的观测值，观测值的大致范围为________。3.在北师大版高中数学选修2-6的抽样分布章节中，某校随机抽取了50名学生进行英语测试，样本均值为70，样本标准差为8，若该校全体学生的英语成绩近似服从正态分布N(65,36)，则样本均值大于72的概率大约为________。4.北师大版高中数学选修2-6中，某工厂生产的产品中，次品率为4%，现从中随机抽取5件进行检测，则恰好有一件是次品的概率为________。5.在北师大版高中数学选修2-6的回归分析章节中，某同学收集了年龄和血压数据，绘制散点图后，得到回归方程为ŷ=120+0.5x，其中x表示年龄（单位：岁），ŷ表示血压（单位：mmHg），则当年龄为40岁时，预测的血压为________。6.在北师大版高中数学选修2-6的独立性检验章节中，某研究调查了吸烟与是否患慢性支气管炎的关系，得到如下列联表：||患慢性支气管炎|未患慢性支气管炎|合计||----------------|-----------------|-------------------|--------||吸烟|25|75|100||不吸烟|15|85|100||合计|40|160|200|根据列联表计算K²的观测值，观测值的大致范围为________。7.在北师大版高中数学选修2-6的抽样分布章节中，某校随机抽取了30名学生进行物理测试，样本均值为65，样本标准差为5，若该校全体学生的物理成绩近似服从正态分布N(60,25)，则样本均值大于68的概率大约为________。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.北师大版高中数学选修2-6中，若某随机变量X服从二项分布B(n,p)，则P(X=k)随着k的增大而单调递增。2.在北师大版高中数学选修2-6的独立性检验章节中，若K²的观测值大于6.635，则可以认为两个分类变量之间存在显著的相关性。3.北师大版高中数学选修2-6中，若某随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，则P(X<μ)=P(X>μ)=0.5。4.在北师大版高中数学选修2-6的抽样分布章节中，样本均值的抽样分布总是近似服从正态分布。5.北师大版高中数学选修2-6中，若某工厂生产的产品中，次品率为3%，现从中随机抽取4件进行检测，则至少有一件是次品的概率为0.8208。6.在北师大版高中数学选修2-6的回归分析章节中，回归方程中的系数表示自变量每变化一个单位，因变量平均变化的量。7.北师大版高中数学选修2-6中，若某班级进行了一次小组合作项目，项目完成情况分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，已知优秀率为20%，良好率为30%，合格率为40%，则不合格的概率为10%。8.在北师大版高中数学选修2-6的独立性检验章节中，若K²的观测值小于3.841，则可以认为两个分类变量之间不存在显著的相关性。9.北师大版高中数学选修2-6中，若某随机变量X服从二项分布B(10,0.5)，则P(X=5)的值为0.2461。10.在北师大版高中数学选修2-6的抽样分布章节中，样本方差的抽样分布总是近似服从正态分布。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.北师大版高中数学选修2-6中，简述正态分布的性质及其在实际问题中的应用。2.在北师大版高中数学选修2-6的抽样调查章节中，简述分层抽样的原理及其优缺点。3.北师大版高中数学选修2-6中，简述独立性检验的基本步骤及其应用场景。4.在北师大版高中数学选修2-6的回归分析章节中，简述回归方程的系数的含义及其计算方法。5.北师大版高中数学选修2-6中，简述样本均值的抽样分布的性质及其应用。6.在北师大版高中数学选修2-6的抽样分布章节中，简述样本方差的抽样分布的性质及其应用。7.北师大版高中数学选修2-6中，简述二项分布的性质及其在实际问题中的应用。8.在北师大版高中数学选修2-6的独立性检验章节中，简述K²检验的原理及其应用场景。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.北师大版高中数学选修2-6中，某班级进行了一次数学竞赛，成绩近似服从正态分布N(80,25)，若成绩在85分以上的学生占总人数的15.87%，求成绩在70分以下的学生比例。2.在北师大版高中数学选修2-6的抽样调查章节中，某工厂有甲、乙、丙三种型号的产品，数量比为3:2:1，若采用分层抽样的方法，从总量中抽取100件进行检测，求乙型号产品应抽取的数量。3.北师大版高中数学选修2-6中，某射手每次射击命中目标的概率为0.6，现进行5次射击，求恰好命中3次的概率。4.在北师大版高中数学选修2-6的独立性检验章节中，某研究调查了性别与是否喜欢运动的关系，得到如下列联表：||喜欢运动|不喜欢运动|合计||----------------|------------|--------------|--------||男生|50|50|100||女生|30|70|100||合计|80|120|200|根据列联表计算K²的观测值，并判断性别与是否喜欢运动是否相关。5.北师大版高中数学选修2-6中，某班级进行了一次小组合作项目，项目完成情况分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，已知优秀率为20%，良好率为30%，合格率为40%，求不合格的概率。6.在北师大版高中数学选修2-6的回归分析章节中，某同学收集了身高和体重数据，绘制散点图后，得到回归方程为ŷ=50+2x，其中x表示身高（单位：cm），ŷ表示体重（单位：kg），若身高为175cm，求预测的体重。7.北师大版高中数学选修2-6中，某工厂生产的产品中，次品率为5%，现从中随机抽取3件进行检测，求至少有一件是次品的概率。8.在北师大版高中数学选修2-6的抽样分布章节中，某校随机抽取了50名学生进行英语测试，样本均值为70，样本标准差为8，若该校全体学生的英语成绩近似服从正态分布N(65,36)，求样本均值大于72的概率。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A解析：正态分布的密度函数图像关于直线x=μ对称，因此P(X<μ)=P(X>μ)=0.5。2.B解析：正态分布N(85,16)的均值μ=85，标准差σ=4。根据标准正态分布表，P(X>90)=0.1，因此P(X<90)=0.9。由于正态分布的对称性，P(X<70)=P(X>90)=0.1，因此P(X<70)=15.9%。3.A解析：分层抽样的方法要求各层样本比例与总体比例相同。甲、乙、丙三种型号的产品数量比为3:2:1，总量为100件，则乙型号产品应抽取的数量为100×(2/6)=20件。4.B解析：该射手每次射击命中目标的概率为0.7，进行4次射击，恰好命中3次的概率为C(4,3)×0.7³×0.3=0.147。5.C解析：根据列联表计算K²的观测值公式为K²=∑(O-E)²/E，其中O为观测值，E为期望值。计算得到K²≈6.25。6.B解析：设喜欢数学的学生人数为x，不喜欢数学的学生人数为y，根据题意有：60%x+40%(y-x)=x55%(x+y)+45%(y-x)=y解得x=0.6(x+y)，y=0.4(x+y)，因此喜欢数学的女生比例为35%。7.C解析：回归方程为ŷ=50+2x，当身高为170cm时，预测的体重为ŷ=50+2×170=380kg，显然不合理，可能是题目有误。8.D解析：项目完成情况分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，已知优秀率为20%，良好率为30%，合格率为40%，则不合格的概率为1-20%-30%-40%=10%。9.A解析：样本均值的抽样分布近似服从正态分布N(80,16/30)，根据标准正态分布表，P(样本均值>85)=P(Z>1.25)=0.1587。10.B解析：次品率为5%，现从中随机抽取3件进行检测，至少有一件是次品的概率为1-P(全为正品)=1-0.95³=0.1406。二、填空题1.0.0576解析：二项分布B(10,0.3)，P(X=3)=C(10,3)×0.3³×0.7⁷≈0.0576。2.3.841-6.635解析：根据列联表计算K²的观测值公式为K²=∑(O-E)²/E，其中O为观测值，E为期望值。计算得到K²≈4.8，因此观测值的大致范围为3.841-6.635。3.15.87%解析：正态分布N(80,25)的均值μ=80，标准差σ=5。根据标准正态分布表，P(X>85)=0.1587，因此P(X<70)=P(X>85)=15.87%。4.0.1915解析：样本均值的抽样分布近似服从正态分布N(65,36/50)，根据标准正态分布表，P(样本均值>72)=P(Z>1.41)=0.1915。5.0.04096解析：次品率为4%，现从中随机抽取5件进行检测，恰好有一件是次品的概率为C(5,1)×0.04¹×0.96⁴≈0.04096。6.130mmHg解析：回归方程为ŷ=120+0.5x，当年龄为40岁时，预测的血压为ŷ=120+0.5×40=130mmHg。7.15%解析：项目完成情况分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，已知优秀率为20%，良好率为30%，合格率为40%，则不合格的概率为1-20%-30%-40%=10%。8.3.841-6.635解析：根据列联表计算K²的观测值公式为K²=∑(O-E)²/E，其中O为观测值，E为期望值。计算得到K²≈5.6，因此观测值的大致范围为3.841-6.635。9.15.87%解析：正态分布N(75,36)的均值μ=75，标准差σ=6。根据标准正态分布表，P(X>80)=0.1587，因此P(X<65)=P(X>80)=15.87%。10.0.1915解析：样本均值的抽样分布近似服从正态分布N(60,25/30)，根据标准正态分布表，P(样本均值>68)=P(Z>1.41)=0.1915。三、判断题1.错误解析：二项分布B(n,p)的P(X=k)随着k的增大而先增大后减小，当k=np时取得最大值。2.正确解析：根据K²检验的临界值表，若K²>6.635，则可以认为两个分类变量之间存在显著的相关性。3.正确解析：正态分布的密度函数图像关于直线x=μ对称，因此P(X<μ)=P(X>μ)=0.5。4.错误解析：样本均值的抽样分布只有在样本量足够大时才近似服从正态分布。5.正确解析：次品率为3%，现从中随机抽取4件进行检测，至少有一件是次品的概率为1-P(全为正品)=1-0.97⁴=0.8208。6.正确解析：回归方程中的系数表示自变量每变化一个单位，因变量平均变化的量。7.错误解析：项目完成情况分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，已知优秀率为20%，良好率为30%，合格率为40%，则不合格的概率为1-20%-30%-40%=10%。8.正确解析：根据K²检验的临界值表，若K²<3.841，则可以认为两个分类变量之间不存在显著的相关性。9.错误解析：二项分布B(10,0.5)，P(X=5)=C(10,5)×0.5⁵×0.5⁵=0.2461。10.错误解析：样本方差的抽样分布近似服从卡方分布，而不是正态分布。四、简答题1.正态分布的性质：-密度函数图像关于直线x=μ对称。-在x=μ处取得最大值，最大值为1/σ√(2π)。-当x→±∞时，密度函数值趋于0。应用：正态分布在自然科学和社会科学中广泛存在，如测量误差、人体身高、考试成绩等。2.分层抽样的原理：-将总体分成若干层，每层内的个体尽可能相似。-按比例从每层中抽取样本。优点：保证样本的代表性，提高抽样效率。缺点：需要了解总体分层信息。3.独立性检验的基本步骤：-建立假设：H₀（两个分类变量独立），H₁（两个分类变量相关）。-计算K²观测值。-查K²分布表，确定临界值。-判断是否拒绝H₀。应用场景：调查两个分类变量之间是否存在显著的相关性。4.回归方程的系数含义：-回归方程中的系数表示自变量每变化一个单位，因变量平均变化的量。计算方法：最小二乘法。5.样本均值的抽样分布性质：-样本均值的抽样分布的均值为总体均值μ。-样本均值的抽样分布的标准差为σ/√n。应