北师大版高中数学选修2-9立体几何专题练习题

2026年北师大版高中数学选修2-9立体几何专题练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）到平面α：x-y+z=1的距离为（）A．√3/3B．√6/3C．√11/3D．2√3/3解析：点A到平面α的距离公式为d=|Ax₀-y₀+z₀+d|/√(A²+B²+C²)，代入A(1,2,3)和α方程得d=|1-2+3-1|/√(1+1+1)=√3/3，选A。2.已知直线l：x=2t+1，y=-t+2，z=3t-1与平面β：x+y-z=5相交，则交点P的坐标为（）A．(3,1,2)B．(4,0,3)C．(5,1,4)D．(2,3,1)解析：将l参数方程代入β方程得(2t+1)+(2-t)-(3t-1)=5，解得t=1，代入l得P(3,1,2)，选A。3.设正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，侧棱长为√3，则其侧面与底面所成二面角的余弦值为（）A．1/√3B．√2/2C．√3/2D．1/2解析：取CD中点E，连接PE，则∠PEO为二面角平面角，OE=1，PE=√3，cos∠PEO=OE/PE=1/√3，选A。4.在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，AA₁=3，则点A₁到平面BCC₁B₁的距离为（）A．√5/2B．√10/3C．2√2/3D．√7/3解析：取BC中点F，连接A₁F，则A₁F⊥平面BCC₁B₁，A₁F=√(A₁B²-A₁F²)=√(9-5)=2√2/3，选C。5.已知球O的半径为R，点P在球面上运动，且OP与球面上某截面圆的圆心O₁的距离为d（0<d<R），则点P到截面圆的距离的最大值为（）A．√(R²-d²)B．R-dC．√(2Rd-d²)D．R+d解析：最大距离为OP与截面圆的圆心连线与球半径构成的直角三角形斜边上的高，即√(R²-d²)，选A。6.在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁=1，底面△ABC的面积为S，则三棱锥B-ABC₁的体积为（）A．S/2B．S/4C．S/6D．S/8解析：三棱锥B-ABC₁的高为AA₁=1，底面△ABC₁面积为S/2，体积为(S/2)×1×1/3=S/6，选C。7.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点P在棱BB₁上运动，则点P到平面ADD₁A₁的距离的最小值为（）A．√2/2B．1/2C．√3/3D．1/√2解析：平面ADD₁A₁即为正方形ADD₁A₁，BB₁⊥平面ADD₁A₁，最小距离为BB₁=1/2，选B。8.设圆锥的底面半径为R，母线与底面所成的角为θ，过圆锥轴线上距顶点h（h<R）的截面将圆锥分为上、下两部分，则上下两部分体积之比为（）A．sin²θ:cos²θB．tan²θ:cot²θC．cos²θ:sin²θD．cot²θ:tan²θ解析：设截面半径为r，由相似三角形得r/R=h/Rtanθ，上部分高为h，下部分高为R-h，体积比=(1/3πr²h)/(1/3πR²(R-h))=(h²tan²θ)/(R²-Rh)≈sin²θ:cos²θ，选A。9.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁上靠近B的三等分点，则直线AE与平面BFD₁所成角的正弦值为（）A．1/3B．√2/3C．√3/3D．2/3解析：取B₁D₁中点G，连接FG，则FG⊥平面BFD₁，∠AEG为所求角，AG=√(1+1+9/4)=√(13/4)，EG=√(1+1)=√2，sin∠AEG=EG/AG=√2/√(13/4)=2√2/√13≈2/3，选D。10.已知三棱台的上、下底面边长分别为1、2，高为1，则其侧面展开图（扇环）的外弧长与内弧长之比为（）A．2:1B．3:1C．4:1D．5:1解析：外弧长为2π×2=4π，内弧长为2π×1=2π，比值为4π:2π=2:1，选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在棱DD₁上运动，则点P到直线AC的距离的最小值为_________。解：取AC中点O，连接DO，DO⊥AC，且DO=√(1²+1²)=√2，P到AC距离最小为DO=√2/2，填√2/2。2.已知球O的半径为R，点A、B在球面上，且OA⊥OB，则球面上与AB距离为R的点的轨迹所围成的面积（球冠面积）为_________。解：设轨迹为球冠，高为h，由OA⊥OB得球心O到AB距离为√(R²-R²/2)=R/√2，h=R-R/√2=R(√2-1)，球冠面积=2πR²(√2-1)，填2πR²(√2-1)。3.在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=2，△ABC为边长为2的等边三角形，则点P到平面ABC的距离为_________。解：点P到平面ABC距离即PA=2，填2。4.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，侧棱长为√3，则其侧面展开图（扇环）的外弧长与内弧长之比为_________。解：外弧长为2π×√3，内弧长为2π×1，比值为√3:1，填√3:1。5.在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，AA₁=3，则点A₁到直线BC的距离为_________。解：过A₁作A₁D⊥平面ABC交BC延长线于D，AD=√(AA₁²-AC²)=√(9-1)=2√2，填2√2。6.设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点P在棱BB₁上运动，则点P到平面ADD₁A₁的距离的取值范围为_________。解：最小为0，最大为BB₁=1，范围为[0,1]，填[0,1]。7.已知圆锥的底面半径为R，母线与底面所成的角为θ，过圆锥轴线上距顶点h（h<R）的截面将圆锥分为上、下两部分，则上部分侧面积为_________。解：截面半径r=Rtanθ，侧面积=πr√(r²+母线²)=πRtanθ√(R²tan²θ+R²sec²θ)=πR²tan²θ，填πR²tan²θ。8.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁上靠近B的三等分点，则直线AE与直线B₁D₁所成角的余弦值为_________。解：cos∠AEB₁=|AE×B₁D₁|/|AE||B₁D₁|=|(-1,1,1)×(0,-1,1)|/√3×√2=√6/6，填√6/6。9.已知三棱台的上、下底面边长分别为1、2，高为1，则其体积为_________。解：体积=(1/3)×(1²+1×2+2²)×1=7/3，填7/3。10.设球O的半径为R，点A、B在球面上，且OA⊥OB，则球面上与AB距离为R/2的点的轨迹所围成的体积为_________。解：轨迹为球带，高为R/2，体积=2πR³/3×(1/2)=πR³/3，填πR³/3。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，对角线AC与B₁D₁所成角的余弦值为√3/2。解：cos∠ACB₁=|AC×B₁D₁|/|AC||B₁D₁|=|(1,1,1)×(1,-1,1)|/√3×√3=0，错误。2.已知圆锥的底面半径为R，母线与底面所成的角为θ，过圆锥轴线上距顶点h（h<R）的截面将圆锥分为上、下两部分，则上下两部分侧面积之比为sin²θ:cos²θ。解：上部分侧面积=πr₁l₁，下部分侧面积=πr₂l₂，l₁/l₂=tanθ/cotθ，r₁/r₂=tanθ/cotθ，比值为sin²θ:cos²θ，正确。3.在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=2，△ABC为边长为2的等边三角形，则点P到直线BC的距离为√3。解：过P作PQ⊥BC交BC于Q，PQ=PA/2=1，BQ=√3，PQ²+BQ²=PB²=2²，正确。4.设球O的半径为R，点A、B在球面上，且OA⊥OB，则球面上与AB距离为R的点的轨迹为球冠。解：轨迹为球带，非球冠，错误。5.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁上靠近B的三等分点，则直线AE与平面BFD₁所成角的正弦值为√2/2。解：sin∠AEG=EG/AG=√2/√(13/4)=2√2/√13≈0.5477，错误。6.已知三棱台的上、下底面边长分别为1、2，高为1，则其侧面展开图（扇环）的外弧长与内弧长之比为2:1。解：外弧长为2π×√2，内弧长为2π×1，比值为√2:1，错误。7.在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，AA₁=3，则三棱锥A-ABC₁的体积为1。解：体积=(1/3)×(1×2×1)=2/3，错误。8.设圆锥的底面半径为R，母线与底面所成的角为θ，过圆锥轴线上距顶点h（h<R）的截面将圆锥分为上、下两部分，则上下两部分体积之比为tan²θ:cot²θ。解：体积比=(1/3πr₁²h₁)/(1/3πR²(R-h₁))=(h₁²tan²θ)/(R²-Rh₁)≈tan²θ:cot²θ，正确。9.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁上靠近B的三等分点，则直线AE与直线B₁C₁所成角的余弦值为1/√2。解：cos∠AEB₁=|AE×B₁C₁|/|AE||B₁C₁|=|(-1,1,1)×(0,1,1)|/√3×√2=√6/6，错误。10.已知三棱台的上、下底面边长分别为1、2，高为1，则其体积为3。解：体积=(1/3)×(1²+1×2+2²)×1=7/3，错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁上靠近B的三等分点，求直线AE与平面BFD₁所成角的正弦值。解：取B₁D₁中点G，连接FG，则FG⊥平面BFD₁，∠AEG为所求角，AG=√(1+1+9/4)=√(13/4)，EG=√(1+1)=√2，sin∠AEG=EG/AG=√2/√(13/4)=2√2/√13≈0.5477。2.已知圆锥的底面半径为R，母线与底面所成的角为θ，过圆锥轴线上距顶点h（h<R）的截面将圆锥分为上、下两部分，求上下两部分体积之比。解：设截面半径为r，由相似三角形得r/R=h/Rtanθ，上部分高为h，下部分高为R-h，体积比=(1/3πr²h)/(1/3πR²(R-h))=(h²tan²θ)/(R²-Rh)≈tan²θ:cot²θ。3.在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=2，△ABC为边长为2的等边三角形，求点P到直线BC的距离。解：过P作PQ⊥BC交BC于Q，PQ=PA/2=1，BQ=√3，PQ²+BQ²=PB²=2²，PQ=√3。4.设球O的半径为R，点A、B在球面上，且OA⊥OB，求球面上与AB距离为R的点的轨迹所围成的面积。解：轨迹为球带，高为R，面积=2πR²(1-√(1-(R/2R)²))=2πR²(1-√3/2)。5.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁上靠近B的三等分点，求直线AE与直线B₁C₁所成角的余弦值。解：cos∠AEB₁=|AE×B₁C₁|/|AE||B₁C₁|=|(-1,1,1)×(0,1,1)|/√3×√2=√6/6。6.已知三棱台的上、下底面边长分别为1、2，高为1，求其侧面展开图（扇环）的外弧长与内弧长之比。解：外弧长为2π×√2，内弧长为2π×1，比值为√2:1。7.在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，AA₁=3，求三棱锥A₁-ABC的体积。解：体积=(1/3)×(1×2×3)=2。8.设圆锥的底面半径为R，母线与底面所成的角为θ，过圆锥轴线上距顶点h（h<R）的截面将圆锥分为上、下两部分，求上部分侧面积。解：截面半径r=Rtanθ，侧面积=πr√(r²+母线²)=πRtanθ√(R²tan²θ+R²sec²θ)=πR²tan²θ。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁上靠近B的三等分点，求直线AE与平面BFD₁所成角的正弦值。解：取B₁D₁中点G，连接FG，则FG⊥平面BFD₁，∠AEG为所求角，AG=√(1+1+9/4)=√(13/4)，EG=√(1+1)=√2，sin∠AEG=EG/AG=√2/√(13/4)=2√2/√13≈0.5477。2.已知圆锥的底面半径为R，母线与底面所成的角为θ，过圆锥轴线上距顶点h（h<R）的截面将圆锥分为上、下两部分，求上下两部分体积之比。解：设截面半径为r，由相似三角形得r/R=h/Rtanθ，上部分高为h，下部分高为R-h，体积比=(1/3πr²h)/(1/3πR²(R-h))=(h²tan²θ)/(R²-Rh)≈tan²θ:cot²θ。3.在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=2，△ABC为边长为2的等边三角形，求点P到直线BC的距离。解：过P作PQ⊥BC交BC于Q，PQ=PA/2=1，BQ=√3，PQ²+BQ²=PB²=2²，PQ=√3。4.设球O的半径为R，点A、B在球面上，且OA⊥OB，求球面上与AB距离为R的点的轨迹所围成的面积。解：轨迹为球带，高为R，面积=2πR²(1-√(1-(R/2R)²))=2πR²(1-√3/2)。5.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，F为棱BB₁上靠近B的三等分点，求直线AE与直线B₁C₁所成角的余弦值。解：cos∠AEB₁=|AE×B₁C₁|/|AE||B₁C₁|=|(-1,1,1)×(0,1,1)|/√3×√2=√6/6。6.已知三棱台的上、下底面边长分别为1、2，高为1，求其侧面展开图（扇环）的外弧长与内弧长之比。解：外弧长为2π×√2，内弧长为2π×1，比值为√2:1。7.在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，AA₁=3，求三棱锥A₁-ABC的体积。解：体积=(1/3)×(1×2×3)=2。8.设圆锥的底面半径为R，母线与底面所成的角为θ，过圆锥轴线上距顶点h（h<R）的截面将圆锥分为上、下两部分，求上部分侧面积。解：截面半径r=Rtanθ，侧面积=πr√(r²+母线²)=πRtanθ√(R²tan²θ+R²sec²θ)=πR²tan²θ。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.A4.A5.A6.C7.B8.A9.D10.A解析：1.公式法计算距离；2.参数方程代入平面方程；3.二面角计算；4.点到平面距离；5.球面几何性质；6.三棱锥体积公式；7.空间直线与平面距离；8.圆锥几何性质；9.空间直线与平面所成角；10.三棱台侧面展开图。二、填空题1.√2/212.2πR²(√2-1)13.214.√