陕西西北工业大学附属中学2026-2027学年第一学期高二年级第一次月考数学试题（含答案）

陕西西北工业大学附属中学2026−2027学年第一学期高二年级第一次月考数学试题一、单选题1．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（

）A． B．C． D．2．设是三条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则3．如图，在三棱台中，，、分别为、的中点，设，，，则可用表示为（

）A． B．C． D．4．已知直线与直线则是的（

）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件5．已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．6．在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（

）A． B． C． D．7．在分别写有数字1，2，3，4，5的5张一样的卡片中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第1次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（

）A．和为对立事件 B．与为相互独立事件C．与为相互独立事件 D．与为互斥事件8．已知，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（

）A． B． C． D．1二、多选题9．下列结论正确的有（

）A．倾斜角为的直线的一个方向向量是B．已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是C．直线与直线之间的距离是D．已知直线（，不同时为0），若直线过点，则直线的方程可化为10．某市文化和旅游局制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长．现为进一步发展该市文旅，提升经济，2025年5月份对该市旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度得分采用百分制，统计的综合满意度得分成绩绘制成如下频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列结论正确的是（

）A．频率分布直方图中B．2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的平均数近似值为79.5C．2025年5月份对该市旅游的游客满意度得分的第60百分位数近似值为82.5D．若落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，则落在的平均成绩为87，落在的成绩的方差为2311．已知正方体的棱长为，其中，点为线段的中点，则下列选项正确的是（

）A．时，B．时，三棱锥的体积为定值C．当点落在以为球心，为半径的球面上时，的最小值为1D．时，直线与面的交点轨迹长度为三、填空题12．已知直线方程为，则直线的倾斜角为________．13．直线l过点（1，2），且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程是___________.14．是棱长为2的正方体的内切球的一条直径，点为的中点．若空间内动点满足，则的最小值为________．四、解答题15．已知两直线.（1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程；（2）已知两点，动点在直线运动，求的最小值.16．在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，，且．（1）求的值；（2）若点，分别在边和上，且与的面积之比为，求的最小值．17．甲、乙两人组成“光之队”参加猜灯谜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响．（1）求“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜的概率；（2）求“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜的概率；（3）求在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量的概率．18．如图，在四棱锥中，平面平面，，为棱的中点．（1）证明：平面；（2）若，（i）求平面与平面的夹角的正弦值；（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19．已知函数的部分图象如图1所示，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于点，点为该部分图象与轴的交点.（1）求的解析式；（2）将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成的二面角，如图2所示.（i）求直线与平面所成的角的正弦值；（ii）求以线段的中点为球心，半径为的球与二面角所围成的几何体的体积.注：球缺的定义：如图3，一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫球缺的底面，垂直于底面的直径被截下的线段长叫球缺的高.设球的半径为，球缺的高为，则球缺的体积公式为.参考答案1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】B4．【答案】B5．【答案】C6．【答案】B7．【答案】B8．【答案】C9．【答案】ABD10．【答案】ABCD11．【答案】ABD12．【答案】

/13．【答案】或14．【答案】/15．（1）联立方程，解得；因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为，故所求直线方程为，即；（2）设点关于直线对称的点为，则，解得，即；则,故的最小值为.

16．（1）由已知，即，由正弦定理有，即，得，又，则，所以，又，则，所以；（2）设，，则，，与的面积之比为，由，，则有，在中，由余弦定理可得：，则，当且仅当时，等号成立，符合题意，所以的最小值为.17．（1）记“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜为事件，则，即“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜的概率为.（2）记事件表示在两轮活动中甲猜对个灯谜，其中，事件表示在两轮活动中乙猜对个灯谜，其中，所以，，，，，，记事件表示“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜，则，所以，即“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜的概率为;（3）记事件表示在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量，则，所以，即在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量的概率为．18．【答案】（1）取PD中点N，连接MN，AN，因为M，N分别为PC，PD中点，所以，且，因为，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）（i）因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面，因为平面，所以，，因为，所以，即，所以两两垂直，以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示，则，所以，因为平面，为棱的中点，所以即为平面的法向量，设平面的法向量，则，即，令，则，所以，所以，则，所以平面与平面的夹角的正弦值.（ii）假设线段上存在点满足条件，设，，则，所以点到平面的距离，解得，则，所以存在，使得点到平面的距离是.19．（1）由图可得，，周期，所以，由，得，所以，所以，因为，所以当时，，所以；（2）（i）法一如图①，设在平面上的射影为，连接、，则，，.在平面上过作轴的平行线，过点作交于，交轴于，则，，，，因为在平面上的射影为，所以在平面上的射影为，故和平面所成角为，，所以和平面所成角的正弦值为.法二如图，以的方向为轴的正方向，在平面内过且垂直轴的直线为轴，过且垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图②，设在平面上的射影为，则，，，，，，平面的法向量为设直线和平面所成角为，则（ii）法一由图①，设与轴相交于点，如图③所示，由，得，，则，即与重合，即，，三点共线取线段的中点，则，得，，即，则，且，又轴，故轴设线段的中点为，连，则，且.又平面，则平面，则点在球上，且球被平面所截的图形是以点为圆心、为半径的圆.同理可得，球被平面所截的图形也是半径为的圆.所以球与二面角所围成的几何体如图④所示.不妨设其体积为，则因为，得球缺的高，故，，故.法二如图，以的方向为轴的正方向，在平面内过且垂直轴的直线为轴，过且垂直平面