2027届浙江省名校协作体高三上学期开学考数学试卷及答案

高三年级数学学科练习4．练习结束后，只需上交答题卷.选择题部分项是符合题目要求的. 4．已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为22，则该四棱台的体积为()5．若x2−axF，离心率为，点P为第一象限2Q，设=λ(λ>0)，则λ=()U中随机取一个矩阵，定义随机变量X如下：对于U中的每个矩阵令33，则X(A)的数学期望为()符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.有()B．f(x)在区间上单调递增D．方程f在区间上存在3个不同的解11．如图，点P，A，B，C在水平放置的以O为球心的半球面上，半球的半径为3，PA，PB，PCA．直线PB//平面OACC．六面体OABCP体积的最大值为63D．当平面ABC与水平面不平行时，平面ABC与水平面所成的锐二面角的大小可取遍区间非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的22四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算1513分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且满足．（2）若D为BC边上的一点，AD平分∠BAC且AD=2，求△ABC面积的最小值．月份x12345销售额y（万元）（1）求销售额y（万元）关于月份x的一元线性回归方程；（2）若用非线性回归模型拟合上表中的成对数据，得到的经验回归方程的残差平方和为0.56，根据残差平方和的大小，判断该非线性回归模型与（1）中的线性回归模型哪一个拟合效果更好，请说明理由.若AB=2，CD=3，且直线BP与平面ACD所成角的正弦值为试求实数λ的值.1917分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为F，F2，左、右顶点分别为A1，A2，正方形F1E1F2E2的面积为A1A2对椭圆r上不与A1，A2重合的任意点P，定义其对应的“对偶直线”L(P)如下：设直线PA1交直线x=a于点R，直线PA2交直线x=−a于点Q，直线QR定义为L(P).（1）求椭圆r的方程；（2）记点P，E1，E2到直线L(P)的距离分别为d，d1，d2，求+的最大值；（3）平面上是否存在一个定点T，满足：对正方形F1E1F2E2边界上的任一点S，总存在椭圆r上的两个不同的点P，P′使得直线PP′经过点S，且对偶直线L(P)与L(P′)相交于定点T．若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.1命题学校:温州中学衢州二中审核学校：嘉兴一中一、选择题:本大题共8小题,每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案CBABACCD二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分.题号9答案ABDADACD11.【解析】对于A，取AC中点M，由球体的垂径定理有OM垂直平面PAC，而PB也垂直平面PAC，因此PB∥OM，故PB∥平面OAC；对于B，把四面体PABC补成长方体，则平面OAB对应平面OAC长方体的两个对角面，不一定垂直；对于C，把四面体PABC补成长方体，则OP和平面ABC的交点G满足OG=故=VPABC=PA.PB.PC对于D，由角度变化的连续性，只需证明该二面角可趋近于直角：如上图，先取PBC是等腰直角三角形，点B,C位于水平面所在的大圆圆周上，面PBC垂直水平面，此时点A在PBC所在小圆关于球心O对称的小圆上，然后让P和A互相靠近（极限位置重合在同一个点A0,P0最终平面ABC会趋近于一个垂直水平面的大圆，二面角趋于90。.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）由正弦定理，有于是cosA=sinA，2cos于是所以.……………6分2:bc≥当且仅当b=c=时取等号……………12分:SΔABC=bcsin3故△ABC面积的最小值为3.……故销售额y(万元)关于月份x的回归直线方程为=4.3x+4.1；……………8分（2）记（1）中线性回归方程的残差平方和为Q，，……………11分22=0.16……………13分因为0.16<0.56，所以（1）中所求的线性经验回归方程拟合效果更好.……………15分（1）取AB中点E，连接DE，∴CB丄AB.……………5分（2）如图，以B为坐标原点，BC，BA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系B-xyz，……………7分3设P(x,y,z)，则x,y,z)=λ(,1,)设=(x,y,z)为平面ACD的一个法向量，所以27λ2-30λ+7=0……………13分解得或.……………15分f'(x)=2ex3x2+2x(2lnx+1)，于是f'(1)=24于是min=g-2+2ln2.…………9分令=x-2lnx，则h'于是h(x)≥h(2)=2-2ln2>0.…………11分令G(t)=2et-t，则G'(t)=2et-1.故G(x1-2lnx1)=G(x2-2lnx2)x1-2lnx1=x2-2lnx2.…………13分令则x2令=λ-2lnλ-，则H'2≥0，故H单调递增，…………15分于是H(λ)>H(1)=0，故F'(λ)>0，F(λ)在(0,+∞)单调递增.综上.…………17分（2）设点P(x0,y0)，则+=1，得Q(-,)55y0x0√554x00001y02=也可直接去绝对值得到…………9分=2时取到最大值.…………11分【附】直线L(P):x0x+y0y=1的几何背景：过点P作x轴的垂线交直线QR于点P,，交x轴于点H，P,P.(xRxQ)=PH.A1A2，故PP,=PH因此P,(x0,2y0)，L(P):x0x+y0y=1可看作x0x+(2y0)y=1，故L(P)实际上是将原椭圆Γ的纵坐标伸长2倍后的椭圆Γ,在点P,处的切线，且点E1,E2为椭圆Γ,的焦点.因此有d1d2=b2=5.6（3）不存在，…………12分下用反证法证之：设P,记直线L(P,)与L(P)的交点坐标为(a,b)，则因此直线同时经过点P,P,，此即为直线P