人教版数学七年级上册 寒假作业05 一元一次方程（知识梳理+22个考点讲练+中考真题演练） 同步练习 含答案

一元一次方程（知识梳理+22个考点讲练+中考真题演练+难度分层练共59题）TOC\o"1-2"\h\u知识梳理技巧点拨 2知识点梳理01：一元一次方程的基础 2知识点梳理02：等式的性质 2知识点梳理03：解一元一次方程 3知识点梳理04：一元一次方程与实际应用 3优选题型考点讲练 4考点1等式的性质1 4考点2等式的性质2 4考点3解一元一次方程（一）-合并同类项与移项 5考点4解一元一次方程（二）-去括号 5考点5解一元一次方程（三）-去分母 6考点6已知一元一次方程的解，求参数 7考点7—元一次方程解的关系 7考点8绝对值方程 8考点9配套问题（一元一次方程的应用） 9考点10工程问题（一元一次方程的应用） 9考点11销售盈亏（一元一次方程的应用） 10考点12比赛积分（一元一次方程的应用） 10考点13方案选择（一元一次方程的应用） 11考点14数字问题（一元一次方程的应用） 12考点15几何问题（一元一次方程的应用） 12考点16动点问题（一元一次方程的应用） 13考点17和差倍分问题（一元一次方程的应用） 14考点18电费和水费问题（一元一次方程的应用） 14考点19行程问题（一元一次方程的应用） 16考点20比例分配（一元一次方程的应用） 16考点21日历问题（一元一次方程的应用） 17考点22古代问题（一元一次方程的应用） 18中考真题实战演练 18难度分层拔尖冲刺 19基础夯实 19培优拔高 20知识点梳理01：一元一次方程的基础方程的定义：含有未知数的等式叫做方程.方程的判断条件：①等式；②方程.一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程.一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a、b是常数，且a≠0）.方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.解方程：求方程的解得过程叫做解方程.知识点梳理02：等式的性质等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式.即：如果a=b，那么a±c=a±c等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么ac=等式的性质3：如果a=b，则b=a（对称性）等式的性质4：如果a=b，b=c，则a=c（传递性）【易错易混】1）利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算.2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立.知识点梳理03：解一元一次方程基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为x=ba步骤具体做法注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数1）不要漏乘不含分母的项；2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母.3）如果分子是多项式，去分母后要加括号.去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项;2)不要弄错符号.移项把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边1）移项时不要丢项;2）将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在方程同一边改变项的位置时不变号.合并同类项把方程变为ax=b（a≠0)的形式1）系数的符号处理要得当；

2）字母及其指数不变.系数化为1将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x=b1)未知数的系数为整数或小数时,方程两边同除以该系数;2)未知数的系数为分数时,方程两边同乘该系数的倒数.【补充说明】1）解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号.2)对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100．知识点梳理04：一元一次方程与实际应用用一元一次方程解决实际问题的一般步骤：审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量；设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数； ③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数.列：根据题中相等关系，列出一元一次方程；解：解所列出的一元一次方程；验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）；答：写出答案，包括单位.考点1等式的性质1【典例精讲】（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）计算题：计算：12简便运算：0.5+2解方程：2x−【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不一定正确的是（

）A．若a=b，则ac2−1=bC．若ax2+1=bx2+1考点2等式的性质2【典例精讲】（24-25七年级上·四川广安·期末）如果a=b，那么下列式子一定正确的是（

）A．a+c=b+d B．a−c=b−c C．ac=b【变式训练】（24-25七年级上·山东日照·期末）下列四个选项中，说法正确的是（）A．如果x=1,y=2，那么2x+3y=4 B．如果ac=C．2a+3的意义是a与3的和的2倍 D．如果a=b+2，那么b−a考点3解一元一次方程（一）-合并同类项与移项【典例精讲】25-26七年级上·吉林长春·期中）历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号fx的形式来表示（f可用其它字母，但不同的字母表示不同的多项式），例如fx=x2例如x=−1时多项式x2+3x−5的值记为已知gx=−2(1)求g−3(2)若h−1=5，直接写出【变式训练】（25-26七年级上·重庆·阶段练习）（1）关于x的方程3x−1=5与2mx+1=7m−5的解相同，求m的值．（2）已知方程1−32025x−2026=−2，求整式考点4解一元一次方程（二）-去括号【典例精讲】计算与化简：−2+−3−（3）x+解方程：（4）2x−3−3x−5【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）解方程：(1)3x−3+2x−1=1；2x−13−10x+112=考点5解一元一次方程（三）-去分母【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）当k为时，代数式k+24比2k−1【变式训练】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算：−32−50÷−52−6×16；考点6已知一元一次方程的解，求参数【典例精讲】在解关于x的方程2x−13−3x−44【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）若关于x的方程3(x−k)=2(x+1)与x−3(x−1)=2−(x+1)的解互为相反数，求k2考点7—元一次方程解的关系【典例精讲】．（2023七年级上·湖南邵阳·竞赛）（1）讨论关于x的方程ax=b的解的情况，其中a，（2）解关于x的方程：16【变式训练】已知方程4x+2m=3x①的解与方程2x+3=5x②的解互为相反数，求：(1)m的值；(2)代数式m+22009考点8绝对值方程【典例精讲】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）同学们都知道，4−−1表示4与−1之差的绝对值，实际上也可理解为4与−1(1)4−−1=；当4−−1=(2)x+5表示与之间的距离；x−2表示与之间的距离；找出所有符合条件的整数x，使得x+5+x−2=7(3)由以上探索，请你结合数轴猜想：对于任何有理数x，x+1+【变式训练】（25-26七年级上·陕西榆林·阶段练习）阅读下面材料：数轴是数学中重要的工具，借助数轴我们可以解决许多问题．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离AB=a−b(1)数轴上表示−3和1的两点之间的距离是______；(2)数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为______；(3)若x−2=3，则x=(4)请你找出所有符合条件的整数x，使得x+2+考点9配套问题（一元一次方程的应用）【典例精讲】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）某车间有66名工人，生产某种由1个螺栓套2个螺母的产品，每人每天生产螺母12个或螺栓5个．分配多少名工人生产螺栓多少名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？【变式训练】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）在手工制作课上，老师组织七年级（1）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（1）班共有55名学生，每名学生每小时可以剪筒身50个或剪筒底120个，要求1个筒身配2个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底恰好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？考点10工程问题（一元一次方程的应用）【典例精讲】25-26八年级上·全国·课后作业）有一项工程，甲单独做，刚好在规定时间内完成；乙单独做，超过规定时间3天才完成若这项工程先由甲、乙两队一起做2天，再由乙单独做，刚好在规定时间内完成，则规定的时间是（

）A．2天 B．3天 C．5天 D．6天【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）制造一批零件，按计划10天可以完成它的四分之一．如果工作10天后，工作效率提高了十分之一，那么完成这批零件的80%，一共需要多少天？考点11销售盈亏（一元一次方程的应用）【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）某商场进行促销活动，发布两种消费券：A券，满60元减20元；B券，满90元减30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购买了一件标价相同的商品，各自付款．用券后，两人共付款156元，则他们所购商品的标价为元．【变式训练】（25-26七年级上·广东广州·阶段练习）国庆期间，某商场专柜进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照20%的利润定价，然后又打九折出售．（成本价×利润率=利润，成本价+利润=定价，售价−成本价=(1)商品A成本价是120元，商品A最后售价多少元？(2)商品B卖出后，赚了68元，商品B的成本价是多少元？考点12比赛积分（一元一次方程的应用）【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）某校8个班进行足球友谊赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间进行1场比赛），胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某班共得15分，并以不败成绩获得冠军，那么该班共胜多少场比赛？【变式训练】开学初，张老师在七（2）班组织了一次“疫情防控”知识竞赛，共有30道题，答对一题得4分，不答或答错一题扣2分．(1)设小明同学参加了竞赛，共答对了x道题，则他的成绩是(用含有x的字母表示)(2)小明同学参加了竞赛，竞赛成绩是84分，请问小明同学在竞赛中答对了多少道题？考点13方案选择（一元一次方程的应用）【典例精讲】（25-26七年级上·重庆·期中）企业对某品牌养生糁汤开展优惠活动，每箱养生糁汤定价160元，每袋调味料包定价20元，优惠方案有以下两种：方案一：买一箱养生糁汤送一袋调味料包：方案二：养生糁汤和调味料包都按定价打九折．现某客户需要购买养生糁汤30箱，调味料包x袋x>30．(1)若该客户按方案一购买，需付款______元（用含x的式子表示）；若该客户按方案二购买，需付款元（用含x的式子表示）．(2)当x=40时，通过计算说明选择哪种方案更优惠？(3)试求当x取何值时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的．【变式训练】又到了春暖花开的时节，淮安外国语学校一年一度的“踏青节”即将拉开帷幕．“烟花三月下扬州”，美丽的瘦西湖成了同学们的首选目标．国家旅游胜地“五星级”风景区瘦西湖的团体参观门票价格规定如下表：购票人数（人）1～5051～100101～150150以上参观门票价格（元/人）50454035去年我校七（1）、（2）两班共103人（其中（1）班人数多于（2）班人数）去参观瘦西湖，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共需付4860元．(1)你认为有没有最节约的购票方法？如果有，可以节约多少元钱？(2)你能确定两班各有多少名学生吗？(3)如果本校初一（3）班共45人也一同前去参观，那又如何购票最合理呢？共需多少元钱？考点14数字问题（一元一次方程的应用）【典例精讲】（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）一个两位数和一个一位数的和为20，把一位数放在两位数的左边得到一个三位数，再把一位数放在两位数的右边，又得到一个三位数，前一个三位数除以后一个三位数，商是7，余数是78，则这个两位数是．【变式训练】（25-26七年级上·吉林松原·期中）数学课上，老师设计了一个计算程序：(1)若颖颖输入的有理数a=−4时，求输出的结果；(2)若输出的结果是2，直接写出两个a的可能值．考点15几何问题（一元一次方程的应用）【典例精讲】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知，甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，甲数，乙数在数轴上位于原点的两侧，且甲数和乙数表示的两点的距离为8．(1)求甲乙两数各是多少？(2)数轴上有一个点丙，它到甲，乙的距离相等，求点丙所表示的数是多少？(3)一只昆虫A从甲表示的数出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只昆虫B从乙表示的数出发也向右运动．最终两只昆虫相遇于数轴上的C处，C表示的数是16．求昆虫B的速度是多少？【变式训练】（25-26七年级上·湖北襄阳·阶段练习）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是−16、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点A′落在点B的右边，并且点A′到点B的距离是2，则C点表示的数是（A．−3 B．−5 C．−2 D．0考点16动点问题（一元一次方程的应用）【典例精讲】（25-26七年级上·辽宁丹东·期中）如图，数轴上点A表示的有理数为−4，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t（单位：秒）．(1)当t=2时，点P表示的有理数为_______．(2)当点P与点B重合时t的值为_______．(3)在点P由点A到点B的运动过程中，点P表示的有理数为______．（用含t的代数式表示）(4)当点P表示的有理数与原点距离是2个单位长度时，t的值为_______．【变式训练】（25-26七年级上·天津·阶段练习）已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数a、b、c，其中点A在原点左侧，点B在原点右侧，且a=10，b=5，点C是(1)求a、b的值；(2)求点C表示的有理数；(3)若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t秒t>0．①当t=2时，求P、Q两点之间的距离；②当PQ=2时，求t考点17和差倍分问题（一元一次方程的应用）【典例精讲】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）六年级组织演讲比赛，当一名女生在台上演讲时，台下的学生中男生是女生的45，当一名男生在台上演讲时，台下的学生中女生是男生的43，则参加演讲比赛的学生共有【变式训练】（24-25七年级上·北京西城·开学考试）一同学打印1300页稿件，上午比下午多打19，下午比晚上多打2考点18电费和水费问题（一元一次方程的应用）【典例精讲】25-26七年级上·全国·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：自来水销售价格污水处理价格每户每月用水量单价：元/吨单价：元/吨17吨及以下a0.90超过17吨但不超过30吨的部分b0.90超过30吨的部分6.000.90（说明：①每户的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费．）已知小李家2021年7月用水16吨，交水费43.2元，8月份用水25吨，交水费75.5元．(1)求a，b的值；(2)如果小李家9月份上交水费156.1元，则小李家这个月用水多少吨?【变式训练】（24-25七年级上·全国·课后作业）为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市将居民用管道天然气用气量及价格分为三档，其中：用气量年用气量价格/(第一档不超出360m3.0第二档超出360m3，不超出a第三档超出540ma+0.9(1)若甲用户2024年前三个月已使用天然气200m(2)若乙用户2024年已使用天然气520m3，则应缴费________元．（用含(3)已知丙用户2024年用气量为xm3，当a=3.6时，请用含考点19行程问题（一元一次方程的应用）【典例精讲】（25-26七年级上·广东佛山·期中）如图，已知数轴上依次有三点A、B、C，点B对应的数是−2，且点B到点A、C的距离均为10．(1)写出点A所对应的数；(2)若动点M、N分别从B、C两点同时向右运动，点M、N的速度分别为每秒3个单位长度和每秒1单位长度，问多少秒时点M与点N重合；(3)若动点M、N分别从A、C两点相向而行，点M运动2秒后，点N才出发，点M、N的速度分别为每秒3个单位长度和每秒1单位长度，问点M运动多少秒时BN=2BM？【变式训练】（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）已知A、B两点在数轴上，A对应的数是−6，点B在A的右边，且距A点15个单位长度．(1)直接写出点B所对应的数：______；(2)当点C到点A、B的距离之和是17个单位时，求点C所对应的数；(3)现在有一只电子蚂蚁M从A点出发，以每秒1个单位的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁N恰好从B点出发，以每秒2个单位的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点所对应的数．考点20比例分配（一元一次方程的应用）【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙两辆卡车运货的吨数比是4:3．已知甲卡车比乙卡车多运货12t，则两辆卡车共运货（

）A．12t B．36t C．48t D．84t【变式训练】．（24-25七年级上·山西朔州·阶段练习）如图，有甲、乙两条数轴，甲数轴上的三点A,B,C所对应的数依次为−6，3，21，乙数轴上的三点D,E,F所对应的数依次为−4,m,14．当点A与点D上下对齐时，点B,C恰好分别与点E,F上下对齐，则m的值为（）A．−2 B．1 C．2 D．5考点21日历问题（一元一次方程的应用）【典例精讲】（25-26七年级上·全国·期末）如图所示的是某月的月历，任意选取“H”形框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能是（

）A．154 B．98 C．85 D．70【变式训练】（24-25七年级上·河南省直辖县级单位·期中）如图是某月的月历．(1)带阴影的十字框中的5个数的和与十字框中间的数有什么关系？(2)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？若将十字框中间的数设为x，请用含有x的式子表示十字框中五个数的和．(3)在该月的月历上用十字框框出5个数，能使这5个数的和为100吗？考点22古代问题（一元一次方程的应用）【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）“曹冲称象”是中国古代经典故事其中蕴含着物理学浮力知识．根据曹冲提出的解决方案，将大象放在船上，在水面所达到的地方做上标记，然后将大象牵下来，再往船上抬入28块等重的条形石，并在船上留5个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入2块同样的条形石，船上只留2个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知每个搬运工体重为70kg．求每块条形石的质量与大象的质量．【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）古代民间流传着这样一道题：“李白街上走，提壶去打酒．遇店加一倍，见花喝一斗．三遇店和花，喝光壶中酒．试问酒壶中，原有多少酒？”意思是李白在街上走，提着酒壶边喝边打酒，每次遇到店就将壶中的酒加一倍，每次看见花就喝去一斗．这样，他先遇到店，再看见花，共反复三次，在最后一次看到花时，把酒喝完了．壶中原来有多少斗酒？请解答上述问题．1．（2022·湖北十堰·中考真题）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何．”其大意是：现在一斗清酒价值：10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗．设清酒有x斗，根据题意可列方程为（

）A．3x+105−x=30 B．C．x10+30−x32．（2025·四川德阳·中考真题）在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则x为（

）A．5 B．7 C．8 D．93．（2025·四川宜宾·中考真题）已知a1、a2、a3、a4、a4．（2025·四川德阳·中考真题）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力×阻力臂=动力×动力臂．已知阻力和阻力臂分别为600N和1m，当动力为1200N时，动力臂是5．（2025·四川内江·中考真题）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（

）A．72100−x=60100+3−xC．60100+x=72100−3+x基础夯实1．（25-26七年级上·黑龙江鹤岗·期中）已知数轴上点A表示的数为−4，点B与点A的距离为6，则点B表示的数是（

）A．2 B．−10 C．2或−10 D．无法确定2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）根据等式的性质进行变形，正确的是（

）A．若x=y，则x+5=y−5 B．若x=y，则cx=cyC．若x=y，则xc=yc 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）若k−1xk+21=0是关于x的一元一次方程，则4．（25-26七年级上·全国·课后作业）若关于x的方程a4−x2+1=4的解是x=3，则a5．（25-26七年级上·北京·期中）如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒t>0．(1)填空：①A，B两点间的距离AB=___________，到点A和点B距离相等的点表示的数为___________；②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为___________，点Q表示的数为___________．(2)当t=___________时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数为___________．培优拔高1．（25-26七年级上·全国·课后作业）将正方形图1作如下操作．第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形，……，以此类推，根据以上操作，若要得到2025个正方形，则需要操作的次数是（

）A．504 B．505 C．506 D．5072．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知a，b为任意有理数，下列说法正确的有（

）①关于x的方程ax+b=0是一元一次方程；②关于x的方程ax=ab的解为x=b；③当a,ba≠0互为相反数时，关于x的方程ax+b=0的解是x=1A．③ B．①② C．②③ D．①②③3．（25-26七年级上·四川成都·期中）定义：已知点M、N、Q为数轴上三点，我们规定：点Q到点M的距离是点Q到点N的距离的K倍，则称Q是M,N的“K倍点”，记作：QM,N=K．例如：若点Q表示的数为0，点M表示的数为−2，点N表示的数为1，则Q是M,N的“2倍点”，记作：QM,N=2．应用：如图有一条数轴，A、B、P为数轴上三点，分别对应−1，5，−3．PB,A的值是；若点D是数轴上一点，且D4．（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，它是“数形结合”的基础．我们知道|4|=|4−0|，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子|7−3|，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离．如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作|a−b|．利用数形结合思想回答下列问题：(1)|x−3|的几何意义是_____________；数轴上表示x和-2的两点之间的距离表示_____________．(2)已知数轴上A，B两点对应的数分别为-1、3，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．若AP=BP，则x=_____________；(3)当|x−3|=3时，求x的值？5．（25-26七年级上·辽宁丹东·期中）对数轴上的点H进行如下操作：先把点H沿数轴向右平移k个单位长度，得到点H1，再把点H1表示的数乘以k，所得数对应的点为H2，则称点H2为点H的“k倍位移点”k>0．例如，当k=2时，若点(1)若点A表示的数为−5，则它的“4倍位移点”对应点A2(2)若点B的“4倍位移点”B2表示的数是10，则点B(3)若点C的“k倍位移点”为点C2，数轴上点C2一定在点(4)已知数轴上点E表示的数为5，点F表示的数为−6．若点P从点E沿数轴正方向以每秒2个单位长度移动，同时点Q从点F沿数轴正方向以每秒1个单位长度移动．若在任何一个时刻，点P的“k倍位移点”P2与Q

一元一次方程（知识梳理+22个考点讲练+中考真题演练+难度分层练共59题）TOC\o"1-2"\h\u知识梳理技巧点拨 2知识点梳理01：一元一次方程的基础 2知识点梳理02：等式的性质 2知识点梳理03：解一元一次方程 3知识点梳理04：一元一次方程与实际应用 3优选题型考点讲练 4考点1等式的性质1 4考点2等式的性质2 6考点3解一元一次方程（一）-合并同类项与移项 7考点4解一元一次方程（二）-去括号 8考点5解一元一次方程（三）-去分母 11考点6已知一元一次方程的解，求参数 12考点7—元一次方程解的关系 14考点8绝对值方程 16考点9配套问题（一元一次方程的应用） 18考点10工程问题（一元一次方程的应用） 19考点11销售盈亏（一元一次方程的应用） 20考点12比赛积分（一元一次方程的应用） 21考点13方案选择（一元一次方程的应用） 22考点14数字问题（一元一次方程的应用） 25考点15几何问题（一元一次方程的应用） 26考点16动点问题（一元一次方程的应用） 28考点17和差倍分问题（一元一次方程的应用） 31考点18电费和水费问题（一元一次方程的应用） 32考点19行程问题（一元一次方程的应用） 34考点20比例分配（一元一次方程的应用） 36考点21日历问题（一元一次方程的应用） 38考点22古代问题（一元一次方程的应用） 39中考真题实战演练 40难度分层拔尖冲刺 43基础夯实 43培优拔高 46知识点梳理01：一元一次方程的基础方程的定义：含有未知数的等式叫做方程.方程的判断条件：①等式；②方程.一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程.一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a、b是常数，且a≠0）.方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.解方程：求方程的解得过程叫做解方程.知识点梳理02：等式的性质等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式.即：如果a=b，那么a±c=a±c等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么ac=等式的性质3：如果a=b，则b=a（对称性）等式的性质4：如果a=b，b=c，则a=c（传递性）【易错易混】1）利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算.2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立.知识点梳理03：解一元一次方程基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为x=ba步骤具体做法注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数1）不要漏乘不含分母的项；2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母.3）如果分子是多项式，去分母后要加括号.去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项;2)不要弄错符号.移项把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边1）移项时不要丢项;2）将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在方程同一边改变项的位置时不变号.合并同类项把方程变为ax=b（a≠0)的形式1）系数的符号处理要得当；

2）字母及其指数不变.系数化为1将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x=b1)未知数的系数为整数或小数时,方程两边同除以该系数;2)未知数的系数为分数时,方程两边同乘该系数的倒数.【补充说明】1）解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号.2)对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100．知识点梳理04：一元一次方程与实际应用用一元一次方程解决实际问题的一般步骤：审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量；设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数； ③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数.列：根据题中相等关系，列出一元一次方程；解：解所列出的一元一次方程；验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）；答：写出答案，包括单位.考点1等式的性质1【典例精讲】（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）计算题：(1)计算：12(2)简便运算：0.5+2(3)解方程：2x−【答案】(1)56(2)6(3)x=【思路引导】（1）先进行乘方和乘除运算，再进行加减运算即可；（2）利用乘法分配律运算即可；（3）根据等式的性质解答即可；本题考查了有理数的混合运算，解方程，正确计算是解题的关键．【规范解答】（1）解：1=1×4×2−=8−=8−=8−=80−===562（2）解：0.5+======6（3）解：2x−2x−42x−42x=32x−37575x=50【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不一定正确的是（

）A．若a=b，则ac2−1=bC．若ax2+1=bx2+1【答案】A【思路引导】本题主要考查了等式的性质：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．根据等式的性质解答即可．【规范解答】解：A、若a=b，且c2−1≠0时，则B、若a=b，则ac=bc，不符合题意；C、若ax2+1D、若x=y，则x−3=y−3，不符合题意；故选：A．考点2等式的性质2【典例精讲】（24-25七年级上·四川广安·期末）如果a=b，那么下列式子一定正确的是（

）A．a+c=b+d B．a−c=b−c C．ac=b【答案】B【思路引导】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数（或式子），结果仍相等．根据等式的性质逐项分析判断即可求解．【规范解答】解：A．如果a=b，当c=d时，那么a+c=b+d，故该选项不正确，不符合题意；B．如果a=b，那么a−c=b−c，故该选项正确，符合题意；C．如果a=b，当c≠0时，那么acD．如果a=b，当c=a≠0时，那么a⋅b=a⋅c，故该选项错误，不符合题意；故选：B．【变式训练】（24-25七年级上·山东日照·期末）下列四个选项中，说法正确的是（）A．如果x=1,y=2，那么2x+3y=4 B．如果ac=C．2a+3的意义是a与3的和的2倍 D．如果a=b+2，那么b−a【答案】B【思路引导】本题考查了代数式的意义，代数式求值，等式的基本性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据代数式的意义，代数式求值，等式的基本性质逐项判断即可．【规范解答】解：A、如果x=1,y=2，那么2x+3y=8，故A选项错误；B、如果ac=bC、2a+3的意义是a的2倍与3的和，故C选项错误；D、如果a=b+2，即b−a=−2，那么b−a3故选：B．考点3解一元一次方程（一）-合并同类项与移项【典例精讲】25-26七年级上·吉林长春·期中）历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号fx的形式来表示（f可用其它字母，但不同的字母表示不同的多项式），例如fx=x2例如x=−1时多项式x2+3x−5的值记为已知gx=−2(1)求g−3(2)若h−1=5，直接写出【答案】(1)−8(2)−1【思路引导】本题考查代数式求值，解一元一次方程．（1）把x=−3代入gx（2）把x=−1代入hx=ax3+2x2−x得出一个关于【规范解答】（1）解：当x=−3时，多项式−2xg=−18+9+1=−8（2）解：∵h−1∴a×−1整理得：−a+3=5，解得a=−2，∴g=−2×4+6+1=−8+6+1=−2+1=−1【变式训练】（25-26七年级上·重庆·阶段练习）（1）关于x的方程3x−1=5与2mx+1=7m−5的解相同，求m的值．（2）已知方程1−32025x−2026=−2，求整式【答案】（1）m=2；（2）7【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的解、解一元一次方程、代数式求值等知识点，掌握整体思想是解题的关键．（1）先求解方程3x−1=5可得x=2，再把x=2代入2mx+1=7m−5得到关于m的方程求解即可；（2）由方程1−32025x−2026=−2可得2026−2025x=−1，然后整体代入【规范解答】解：（1）解关于x的方程3x−1=5可得x=2，把x=2代入2mx+1=7m−5可得4m+1=7m−5，解得m=2；（2）∵1−32025x−2026∴−32025x−2026∴2025x−2026=1，∴2026−2025x=−1，∴5−22026−2025x考点4解一元一次方程（二）-去括号【典例精讲】计算与化简：（1）−2（2）−（3）x+解方程：（4）2（5）x【答案】（1）0；（2）115；（3）−2x+4y；（4）x=2；（5）【思路引导】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，整式的加减运算，一元一次方程的解法．（1）把减法化为加法运算，再合并即可．（2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可．（3）先去括号，再合并同类项即可．（4）先去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可．（5）先去分母，再去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可．【规范解答】解：（1）−2===0．（2）−=−4×=−2+=11（3）x+=x+=x−x−2x+4y=−2x+4y．（4）2x−3去括号得：2x−6−3x+15=7x−7，移项得：2x−3x−7x=−7+6−15，合并同类项得：−8x=−16，解得：x=2．（5）x2去分母得：3x−5x+12去括号得：3x−5x−12=6+4x−8，移项得：3x−5x−4x=6−8+12，合并同类项得：−6x=10，解得：x=−5【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）解方程：(1)3x−3(2)x−1(3)2x−13(4)10.7【答案】(1)x=(2)x=9(3)x=(4)x=【思路引导】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．（1）根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可；（2）根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可；（3）根据解一元一次方程的方法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求解即可；（4）先利用分数的基本性质，把分子、分母化为整数，再按解一元一次方程的一般步骤求解即可．【规范解答】（1）解：3去括号，得3x−9+2x−1=1移项、合并同类项，得5x=11将系数化为1，得x=（2）解：x−去括号，得x−移项，得x−合并同类项，得−将系数化为1，得x=9（3）解：2x−1去分母，得4去括号，得8x−4−10x−1=3−12x移项、合并同类项，得10x=8系数化为1，得x=（4）解：1原方程可变形为：10去分母，得30x−7去括号，得30x−119+140x=21移项，合并同类项，得170x=140系数化为1，得x=考点5解一元一次方程（三）-去分母【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）当k为时，代数式k+24比2k−1【答案】−4【思路引导】本题考查解一元一次方程．根据题意，列出方程，进行求解即可．【规范解答】解：根据题意得：k+233k+6−4k+2=12−k+8=12−k=12−8k=−4故答案为：−4．【变式训练】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算：(1)−3(2)−k²−6k(3)x+12【答案】(1)−12(2)−6(3)x=【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算、整式的加减以及解一元一次方程，熟练掌握运算顺序、整式的运算法则以及解一元一次方程的步骤是解题的关键．（1）按照运算顺序先算乘方，再算乘除法，最后算减法即可．（2）先去括号，再合并同类项．（3）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1来求解．【规范解答】（1）解：−=−9−50÷25−1=−9−2−1=−12；（2）解：−(=−=−6k（3）解：x+12(x+1)=8+(2−x)2x+2=8+2−x2x+x=10−23x=8x=8考点6已知一元一次方程的解，求参数【典例精讲】在解关于x的方程2x−13−3x−44【答案】x=−16，过程见解析【思路引导】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解与一元一次方程的关系是解题的关键．先根据题意求出k的值，再代入，利用去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1的过程求解即可．【规范解答】解：∵小华同学在去分母时忘记方程右边的k也要乘12，则原方程变为42x−1∵该方程的解是x=6，∴4×2×6−1解得：k=2，∴关于x的方程2x−1去分母得：42x−1去括号得：8x−4−9x+12=24，移项合并同类项得：−x=16，解得：x=−16．【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）若关于x的方程3(x−k)=2(x+1)与x−3(x−1)=2−(x+1)的解互为相反数，求k2【答案】106【思路引导】先求x−3(x−1)=2−(x+1)的解，把其解的相反数代入另一个方程求出k的值，再代入代数式即可．【规范解答】解：方程x−3(x−1)=2−(x+1)去括号，得x−3x+3=2−x−1，解得x=2．依题意，得方程3(x−k)=2(x+1)的解为x=−2，∴3(−2−k)=2(−2+1)，即−6−3k=−2，解得k=−4∴k2【考点剖析】本题考查了一元一次方程的解法、方程的解、求代数式的值，熟悉方程的解及解一元一次方程是解题的关键．考点7—元一次方程解的关系【典例精讲】．（2023七年级上·湖南邵阳·竞赛）（1）讨论关于x的方程ax=b的解的情况，其中a，（2）解关于x的方程：16【答案】（1）见解析；（2）当m≠34时，原方程有唯一解x=4mn+6m4m−3；当【思路引导】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法，注意进行分类讨论，是解题的关键．（1）分三种情况：当a≠0时，当a=0, b=0时，当（2）先将方程化简变为4m−3x=4mn+6m，分两种情况：当4m−3≠0，当【规范解答】解：（1）当a≠0时，方程的解为x=b当a=0, 当a=0, （2）16去分母得：4mx−n去括号得：4mx−4mn=3x+6m，移项，并合并同类项得：4m−3x=4mn+6m①当4m−3≠0，即m≠34②当4m−3=0，即m=34若3n+92=0若3n+92≠0综上所述：当m≠34时，原方程有唯一解当m=3当m=3【变式训练】已知方程4x+2m=3x①的解与方程2x+3=5x②的解互为相反数，求：(1)m的值；(2)代数式m+22009【答案】(1)m=(2)2【思路引导】本题考查了解一元一次方程、相反数、代数式求值、有理数乘方的逆运算，熟练掌握方程的解法和代数式求值是解题关键．（1）先分别求出两个方程的解，再根据这两个方程的解互为相反数可得一个关于m的一元一次方程，解方程即可得；（2）将m的值代入，利用有理数乘方的逆运算法则计算即可得．【规范解答】（1）解：方程4x+2m=3x的解为x=−2m，方程2x+3=5x的解为x=1，∵方程4x+2m=3x①的解与方程2x+3=5x②的解互为相反数，∴−2m+1=0，解得m=1（2）解：由（1）已得：m=1则m+2=======1×=2考点8绝对值方程【典例精讲】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）同学们都知道，4−−1表示4与−1之差的绝对值，实际上也可理解为4与−1(1)4−−1=；当4−−1=(2)x+5表示与之间的距离；x−2表示与之间的距离；找出所有符合条件的整数x，使得x+5+x−2=7(3)由以上探索，请你结合数轴猜想：对于任何有理数x，x+1+【答案】(1)5；±5(2)x，−5；x，2；−5，−4，−3，−2，−1，0，1，2(3)有，最小值是4【思路引导】本题主要考查了求一个数的绝对值，绝对值的几何意义，解绝对值方程，化简绝对值，熟知相关知识是解题的关键．（1）根据绝对值的意义求出4−−1=5，进而得到（2）根据绝对值的几何意义和解绝对值方程即可得到答案；（3）分当x<−1时；当−1≤x≤3时；当x>3时，三种情况去绝对值即可得到答案．【规范解答】（1）解：4−−1当4−−1=x∴x=±5；故答案为：5；±5；（2）解：x+5表示x与−5之间的距离；x−2表示x与2之间的距离；当x<−5时，∵x+5+∴−x−5+2−x=7，解得x=−5（舍去）；当−5≤x≤2时，x+5+∴−5≤x≤2，∴此时符合条件的整数x为−5，−4，−3，−2，−1，0，1，2；当x>2时，∵x+5+∴x+5+x−2=7，解得x=2（舍去）；∴综上所述，符合条件的整数x为−5，−4，−3，−2，−1，0，1，2；故答案为：x，−5；x，2；−5，−4，−3，−2，−1，0，1，2；（3）解：当x<−1时，x+1+当−1≤x≤3时，x+1+当x>3时，x+1+∴x+1+【变式训练】（25-26七年级上·陕西榆林·阶段练习）阅读下面材料：数轴是数学中重要的工具，借助数轴我们可以解决许多问题．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离AB=a−b(1)数轴上表示−3和1的两点之间的距离是______；(2)数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为______；(3)若x−2=3，则x=(4)请你找出所有符合条件的整数x，使得x+2+【答案】(1)4(2)7或−5(3)5或−1(4)−2【思路引导】本题考查了数轴，绝对值的性质以及有理数的减法．（1）根据在数轴上A、B两点之间的距离为AB=a−b（2）根据在数轴上A、B两点之间的距离为AB=a−b（3）根据绝对值的意义求解即可；（4）根据绝对值的几何意义，即可得解．【规范解答】（1）解：数轴上表示−3和1两点之间的距离是1−−3故答案为：4；（2）解：∵数轴上表示a和1的两点之间的距离为a−1=6∴a−1=6或a−1=−6，解得a=7或a=−5，故答案为：7或−5．（3）x−2=3∴x−2=3或x−2=−3，解得x=5或x=−1，故答案为：5或−1．（4）解：∵数轴上表示x和−2的两点之间的距离是x+2，数轴上表示x和5的两点之间的距离是x−5，数轴上表示−2和5的两点之间的距离是−2−5=7∴在数轴上的x+2+x−5几何意义是：表示有理数x的点到∵x+2+∴表示有理数x的点在−2和5之间，∴符合条件的整数x有：−2，考点9配套问题（一元一次方程的应用）【典例精讲】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）某车间有66名工人，生产某种由1个螺栓套2个螺母的产品，每人每天生产螺母12个或螺栓5个．分配多少名工人生产螺栓多少名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？【答案】分配36名工人生产螺栓，其他30名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套．【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用．设每天有x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为66−x人，根据题意找出等量关系列出方程并解方程即可．【规范解答】解：设生产螺栓的工人为x人，则生产螺母的工人为66−x人，根据题意得：2×5x=12×66−x解得：x=36，∴66−36=30，答：分配36名工人生产螺栓，其他30名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套．【变式训练】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）在手工制作课上，老师组织七年级（1）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（1）班共有55名学生，每名学生每小时可以剪筒身50个或剪筒底120个，要求1个筒身配2个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底恰好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？【答案】30,25【思路引导】本题考查的是一元一次方程的数学知识，在解答此类问题时一定要对相关的知识有一个明确的认识和把握，同时结合题设的已知条件就可以解答出问题的正确结论；通过设未知数，根据筒身和筒底的配套关系(1个筒身配2个筒底)来列方程求解．【规范解答】解：设分配x名学生剪筒身，那么剪筒底的学生有(55−x)名，由题意得：2×50x=120(55−x)，100x=6600−120x，220x=6600，x=30，剪筒底的学生人数为55−30=25(名)，答：应该分配30名学生剪筒身，25名学生剪筒底．考点10工程问题（一元一次方程的应用）【典例精讲】25-26八年级上·全国·课后作业）有一项工程，甲单独做，刚好在规定时间内完成；乙单独做，超过规定时间3天才完成若这项工程先由甲、乙两队一起做2天，再由乙单独做，刚好在规定时间内完成，则规定的时间是（

）A．2天 B．3天 C．5天 D．6天【答案】D【思路引导】先分析甲乙工作量的关系，得出甲2天的工作量等于乙3天的工作量，再根据效率比和总工作量相等求出规定时间即可．【规范解答】解：设规定的时间是x天，根据题意，甲的效率为1x，乙的效率为1由甲、乙两队一起做2天，再由乙单独做，刚好在规定时间内完成可知：甲工作了2天，乙工作了x天，共同完成工作，总工作量为1，可列方程2×1解得x=6．∴规定时间为6天；故选：D．【考点剖析】本题考查了一元一次方程——工程问题，熟练找出等量关系是解题的关键．【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）制造一批零件，按计划10天可以完成它的四分之一．如果工作10天后，工作效率提高了十分之一，那么完成这批零件的80%【答案】30【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，先求出计划每天完成的工作量，设一共需要x天完成任务，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键．【规范解答】解：∵制造一批零件，按计划10天可以完成它的四分之一，∴计划每天完成14设一共需要x天完成任务，由题意可得：10×1解得：x=30，∴完成这批零件的80%，一共需要30考点11销售盈亏（一元一次方程的应用）【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）某商场进行促销活动，发布两种消费券：A券，满60元减20元；B券，满90元减30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购买了一件标价相同的商品，各自付款．用券后，两人共付款156元，则他们所购商品的标价为元．【答案】88或103【思路引导】设所购商品的标价为x元，根据两人共付款156元，分60<x<90和x≥90两种情况，分别列出方程求解即可．【规范解答】解：设这件商品的标价为x元，若x<60，则两人共付款2x=156，解得x=78，与x<60矛盾，故x≥60．当x=60时，两人共付款(60−20)+60=100≠156，故x>60．∴这件商品的标价大于60元．当60<x<90时，由题意可得，x−20+x=156解得x=88；当x≥90时，由题意可得，x−20+解得x=103．综上所述，这件商品的标价为88元或103元．故答案为：88或103．【考点剖析】本题考查了一元一次方程的应用，正确运用分类讨论思想是解题的关键．【变式训练】（25-26七年级上·广东广州·阶段练习）国庆期间，某商场专柜进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照20%的利润定价，然后又打九折出售．（成本价×利润率=利润，成本价+利润=定价，售价−成本价=(1)商品A成本价是120元，商品A最后售价多少元？(2)商品B卖出后，赚了68元，商品B的成本价是多少元？【答案】(1)商品A最后应卖129.6元；(2)商品B的成本是850元【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，列式计算，找准等量关系，正确列出一元一次方程．（1）利用售价=成本价×(1+利润率)×折扣率，即可求出结论；（2）设商品B的成本是x元，利用售价−成本价=利润，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【规范解答】（1）解：根据题意得：120×1+20%×0.9=120×1.2×0.9答：商品A最后应卖129.6元；（2）解：设商品B的成本是x元，根据题意得：0.9×1+20解得：x=850，答：商品B的成本是850元．考点12比赛积分（一元一次方程的应用）【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）某校8个班进行足球友谊赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间进行1场比赛），胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某班共得15分，并以不败成绩获得冠军，那么该班共胜多少场比赛？【答案】该班共胜4场比赛【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，本题中根据题意找出总比赛场数为7是解题的关键．8个班进行友谊赛，也就是说每个班级要和其余7个班级比赛，根据总比赛场数为7，设赢了x场，总分数为15即可列出方程，即可解题．【规范解答】解：8个班进行友谊赛，也就是每个班要和其余7个班比赛，所以设胜了x场，则平了(7−x)场．由题意，得3x+7−x=15，解得x=4．答：该班共胜4场比赛．【变式训练】开学初，张老师在七（2）班组织了一次“疫情防控”知识竞赛，共有30道题，答对一题得4分，不答或答错一题扣2分．(1)设小明同学参加了竞赛，共答对了x道题，则他的成绩是(用含有x的字母表示)(2)小明同学参加了竞赛，竞赛成绩是84分，请问小明同学在竞赛中答对了多少道题？【答案】(1)6x−60分(2)小明在竞赛中答对了24道题【思路引导】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，根据题意列出正确的代数式为解题关键．（1）小明共答对了x道题，则不答或答错了30−x道题，根据题意列出代数式即可；（2）根据题意列出一元一次方程求解即可．【规范解答】（1）解：设小明共答对了x道题，则不答或答错了30−x道题，根据题意：他的成绩为：4x−230−x故答案为：6x−60分；（2）根据题意：6x−60=84，解得：x=24，答：小明在竞赛中答对了24道题．考点13方案选择（一元一次方程的应用）【典例精讲】（25-26七年级上·重庆·期中）企业对某品牌养生糁汤开展优惠活动，每箱养生糁汤定价160元，每袋调味料包定价20元，优惠方案有以下两种：方案一：买一箱养生糁汤送一袋调味料包：方案二：养生糁汤和调味料包都按定价打九折．现某客户需要购买养生糁汤30箱，调味料包x袋x>30．(1)若该客户按方案一购买，需付款______元（用含x的式子表示）；若该客户按方案二购买，需付款元（用含x的式子表示）．(2)当x=40时，通过计算说明选择哪种方案更优惠？(3)试求当x取何值时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的．【答案】(1)20x+4200(2)方案一更优惠(3)60【思路引导】本题考查了列代数式，已知字母的值求代数式的值，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）根据方案一和方案二的优惠方案进行列式，即可作答．（2）把x=40分别代入20x+4200,18x+4320，再比较结果，即可作答．（3）理解题意，进行列式计算，即可作答．【规范解答】（1）解：∵每箱养生糁汤定价160元，每袋调味料包定价20元，且需要购买养生糁汤30箱，调味料包x袋x>30∴该客户按方案一购买，则160×30+20x−30即需付款20x+4200元；∴该客户按方案二购买，160×30+20x×0.9=18x+4320即需付款18x+4320元；（2）解：由（1）得按方案一购买，需付款20x+4200元；按方案二购买，需付款18x+4320元；∴当x=40时，则20x+4200=20×40+4200=5000（元），∴当x=40时，则18x+4320=18×40+4320=5040（元），∵5040>5000，∴方案一更优惠；（3）解：由（1）得按方案一购买，需付款20x+4200元；按方案二购买，需付款18x+4320元；依题意，20x+4200=18x+4320，整理得20x−18x=4320−4200，∴x=60，∴当x=60时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的．【变式训练】又到了春暖花开的时节，淮安外国语学校一年一度的“踏青节”即将拉开帷幕．“烟花三月下扬州”，美丽的瘦西湖成了同学们的首选目标．国家旅游胜地“五星级”风景区瘦西湖的团体参观门票价格规定如下表：购票人数（人）1～5051～100101～150150以上参观门票价格（元/人）50454035去年我校七（1）、（2）两班共103人（其中（1）班人数多于（2）班人数）去参观瘦西湖，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共需付4860元．(1)你认为有没有最节约的购票方法？如果有，可以节约多少元钱？(2)你能确定两班各有多少名学生吗？(3)如果本校初一（3）班共45人也一同前去参观，那又如何购票最合理呢？共需多少元钱？【答案】(1)有，可以节约740元钱(2)1班有58人，2班有45人(3)购买151张，总票价为5285元【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准确等量关系，要注意考虑全面，购票最省钱的办法就是团体购票．（1）最节约的办法就是团体购票，节省的钱=4860−团体票价；（2）分有两种情况：若1班和2班人数都在51～100之间；若1班人数是51～100，2班人数是1～50；分别计算，即可求解；（3）先计算出148人的团体票价，再计算出151人的团体票价，即可求解．【规范解答】（1）解：有．可以节约4860−103×40=740（元）．（2）解：设1班有x人，则2班有103−x人，根据题意，有两种情况：若1班和2班人数都在51～100之间，45x+103−x若1班人数是51～100，2班是1～50，45x+50103−x解得：x=58，则103−x=45，答：1班有58人，2班有45人；（3）解：若3班也去，则三个班团体购票最合理，三个班的总人数有148人，总票价=148×40=5920元．若买151张票，总票价为151×35=5285元，∵5920>5285，∴最合理的方法是购买151张，总票价为5285元．考点14数字问题（一元一次方程的应用）【典例精讲】（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）一个两位数和一个一位数的和为20，把一位数放在两位数的左边得到一个三位数，再把一位数放在两位数的右边，又得到一个三位数，前一个三位数除以后一个三位数，商是7，余数是78，则这个两位数是．【答案】11【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用，设这个一位数为x，则这个两位数为20−x，根据前一个三位数除以后一个三位数，商是7，余数是78建立方程求解即可．【规范解答】解：设这个一位数为x，则这个两位数为20−x，由题意得，100x+20−x=710解得x=9，∴20−x=11，∴这个两位数是11，故答案为：11．【变式训练】（25-26七年级上·吉林松原·期中）数学课上，老师设计了一个计算程序：(1)若颖颖输入的有理数a=−4时，求输出的结果；(2)若输出的结果是2，直接写出两个a的可能值．【答案】(1)7(2)−2或−10【思路引导】本题考查了程序框图的输入数据计算、有理数的混合运算、一元一次方程等知识点，掌握框图的步骤和判定输出的条件是解题的关键．（1）将a=−4代入流程图，按照有理数混合运算法则以及不等式计算即可；（2）根据流程图分一次计算得到2和经过一次循环计算得到2两种情况，分别列方程求解即可．【规范解答】（1）解：当输入a=−4时，则−4−−61−−6÷2=1+6（2）解：由题意可得：直接一次计算得到2：由题意可得a−−6÷2=2，解得：经过一次循环后得到2，由题意可得：a−−6÷2=−2，解得：综上，a的可能值为−2或−10．考点15几何问题（一元一次方程的应用）【典例精讲】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知，甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，甲数，乙数在数轴上位于原点的两侧，且甲数和乙数表示的两点的距离为8．(1)求甲乙两数各是多少？(2)数轴上有一个点丙，它到甲，乙的距离相等，求点丙所表示的数是多少？(3)一只昆虫A从甲表示的数出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只昆虫B从乙表示的数出发也向右运动．最终两只昆虫相遇于数轴上的C处，C表示的数是16．求昆虫B的速度是多少？【答案】(1)甲数为6，乙数为−2或甲数为−6，乙数为2；(2)−2或2(3)185或14【思路引导】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题．（1）设乙数为x，则甲数为−3x，根据题意可得−3x−x=8或x−−3x（2）根据丙到甲，乙的距离相等，分两种情况分别列式求解即可；（3）设运动的时间为t秒，昆虫B速度为v个单位/秒，分两种情况分别列方程求解即可．【规范解答】（1）设乙数为x，则甲数为−3x，根据题意得：−3x−x=8或x−−3x解得x=−2或x=2，∴−3x=−3×−2=6或∴甲数为6，乙数为−2或甲数为−6，乙数为2；（2）∵丙到甲，乙的距离相等，当甲数为6，乙数为−2时，∴点丙所表示的数是6+−2当甲数为−6，乙数为2时，∴点丙所表示的数是−6+22（3）设运动的时间为t秒，昆虫B速度为v个单位/秒，当甲数为6，乙数为−2时，则昆虫A所在点表示的数是6+2t，昆虫B所在点表示的数是−2+vt，根据题意得6+2t=16，解得t=5，∴−2+5v=16，解得v=18当甲数为−6，乙数为2；时，则昆虫A所在点表示的数是−6+2t，昆虫B所在点表示的数是2+vt，根据题意得−6+2t=16，解得t=11，∴2+11v=16，解得v=14答：昆虫B的速度是185或1411个单位长度【变式训练】（25-26七年级上·湖北襄阳·阶段练习）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是−16、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点A′落在点B的右边，并且点A′到点B的距离是2，则C点表示的数是（A．−3 B．−5 C．−2 D．0【答案】A【思路引导】本题考查数轴上两点之间的距离问题，数轴上的翻折问题，能正确地表示出两点间的距离是解题的关键．设点C所表示的数为x，则AC=x+16，BC=8−x，根据AC=A′C【规范解答】解：设点C所表示的数为x，则AC=x+16，BC=8−x，∵A'B=2∴点A′表示的数为8+2=10根据折叠得，AC=A∴x+16=10−x，解得，x=−3，故选：A．考点16动点问题（一元一次方程的应用）【典例精讲】（25-26七年级上·辽宁丹东·期中）如图，数轴上点A表示的有理数为−4，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t（单位：秒）．(1)当t=2时，点P表示的有理数为_______．(2)当点P与点B重合时t的值为_______．(3)在点P由点A到点B的运动过程中，点P表示的有理数为______．（用含t的代数式表示）(4)当点P表示的有理数与原点距离是2个单位长度时，t的值为_______．【答案】(1)0(2)5(3)2t−4(4)1，3，7，9【思路引导】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用．（1）设当t=2时，点P移动的距离为4，即可求出点P表示的有理数；（2）由点P与点B重合，点P移动的距离为10，即可求出t的值；（3）根据数轴上两点的距离公式，即可求解；（4）分四种情况讨论：根据点P移动的距离分别列方程求解即可．【规范解答】（1）解：当t=2时，点P移动的距离为：2×2=4，此时点P表示的有理数为：−4+4=0，即点P表示的有理数为0，故答案为：0；（2）解：当点P与点B重合时，点P移动的距离为：6−−4移动的时间t=10÷2=5，即点P与点B重合时t的值为5，故答案为：5；（3）解：在点P由点A到点B的运动过程中，点P与点A的距离为2t，即点P表示的有理数是2t−4，故答案为：2t−4；（4）解：设在点P由点A到点B的运动过程中，当点P移动到点−2时，与原点距离是2个单位，所用时间为t1则2t解得：t1设在点P由点A到点B的运动过程中，当点P移动到点2时，与原点距离是2个单位，所用时间为t2则2t解得：t2设点P到达点B后，返回过程中，当点P移动到点2时，与原点距离是2个单位，所用时间为t3则2t解得：t3设点P到达点B后，返回过程中，当点P移动到点−2时，与原点距离是2个单位，所用时间为t4则2t解得：t4即所有满足条件的t的值为1、3、7、9，故答案为：1、3、7、9．【变式训练】（25-26七年级上·天津·阶段练习）已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数a、b、c，其中点A在原点左侧，点B在原点右侧，且a=10，b=5，点C是(1)求a、b的值；(2)求点C表示的有理数；(3)若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t秒t>0．①当t=2时，求P、Q两点之间的距离；②当PQ=2时，求t【答案】(1)a=−10,b=5(2)−(3)①5；②t=175【思路引导】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握以上知识点．（1）根据a=10，b=5，得出a=±10,b=±5，结合点A在原点左侧，点（2）点C是AB的中点，即可求解．（3）①当t=2时，表示出点P表示的数和点Q表示的数，再根据两点之间的距离即可求解．②点P表示的数为−10+2t，点Q表示的数为5−3t，根据PQ=2【规范解答】（1）解：∵a=10，b∴a=±10,b=±5，∵点A在原点左侧，点B在原点右侧，∴a=−10,b=5．（2）解：∵a=−10,b=5，点C是AB的中点，∴点C表示的有理数为−10+52（3）解：①当t=2时，点P表示的数为−10+2×2=−6，点Q表示的数为5−3×2=−1，