广东省廉江市实验学校2027届九年级数学第一学期期末质量检测试题含解析

广东省廉江市实验学校2027届九年级数学第一学期期末质量检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（每题4分，共48分）1．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的⊙O交x轴正半轴为M，P为圆上一点，坐标为（，1），则cos∠POM=（）A． B． C． D．2．如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（）A．3m B．m C．m D．4m3．已知，则的值是（）A． B． C． D．4．若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为().A．－1或2 B．－1或1C．1或2 D．－1或2或15．在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，母线长为1．则这个圆锥的侧面积是()A．4π B．1π C．π D．2π6．将抛物线y＝向左平移2个单位后，得到的新抛物线的解析式是（）A． B．y＝C．y＝ D．y＝7．一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是（）A． B． C． D．8．甲、乙、丙三人站成一排拍照，则甲站在中间的概率是（）A．16 B．13 C．19．在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（）A． B． C． D．10．如图所示，AB是⊙O的直径，AM、BN是⊙O的两条切线，D、C分别在AM、BN上，DC切⊙O于点E，连接OD、OC、BE、AE，BE与OC相交于点P，AE与OD相交于点Q，已知AD=4，BC=9，以下结论：①⊙O的半径为，②OD∥BE，③PB=，④tan∠CEP=其中正确结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．下列四个结论，①过三点可以作一个圆；②圆内接四边形对角相等；③平分弦的直径垂直于弦；④相等的圆周角所对的弧也相等；不正确的是（）A．②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④12．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（

）A． B． C． D．1二、填空题（每题4分，共24分）13．在平面直角坐标系xoy中，直线（k为常数）与抛物线交于A,B两点，且A点在轴右侧，P点的坐标为（0,4）连接PA,PB．(1)△PAB的面积的最小值为____；（2）当时，=_______14．一块含有角的直角三角板按如图所示的方式放置，若顶点的坐标为，直角顶点的坐标为，则点的坐标为______.15．二次函数y＝ax1+bx+c（a≠2）的部分图象如图，图象过点（﹣1，2），对称轴为直线x＝1．下列结论：①4a+b＝2；②9a+c＞3b；③当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；④当函数值y＜2时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5；⑤8a+7b+1c＞2．其中正确的结论是_____．16．点P(4，﹣6)关于原点对称的点的坐标是_____．17．若，则______．18．将一些相同的圆点按如图所示的规律摆放：第1个图形有3个圆点，第2个形有7个圆点，第3个图形有13个圆点，第4个图形有21个圆点，则第20个图形有_____个圆点．三、解答题（共78分）19．（8分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，a=2.求b和c.20．（8分）现有甲、乙、丙三名学生参加学校演讲比赛，并通过抽签确定三人演讲的先后顺序．（1）求甲第一个演讲的概率；（2）画树状图或表格，求丙比甲先演讲的概率．21．（8分）如图，中，，，为内部一点，．求证：．22．（10分）已知二次函数．（1）在平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）当0≤x≤3时，结合函数图象，直接写出的取值范围．23．（10分）如图，已知⊙O的直径d=10，弦AB与弦CD平行，它们之间的距离为7，且AB=6，求弦CD的长．24．（10分）已知反比例函数的图象经过点（2，﹣2）．（I）求此反比例函数的解析式；（II）当y≥2时，求x的取值范围．25．（12分）如图，一位测量人员，要测量池塘的宽度的长，他过A、B两点画两条相交于点的射线，在射线上取两点D、E，使，若测得DE=37.2米，他能求出A、B之间的距离吗？若能，请你帮他算出来；若不能，请你帮他设计一个可行方案．26．为了解某校九年级男生1000米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：（1）a=，b=，c=；（2）扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为度；（3）学校决定从A等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生1000米跑比赛，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【解析】试题分析：作PA⊥x轴于A，∵点P的坐标为（，1），∴OA=，PA=1，由勾股定理得，OP=2，cos∠POM==，故选A．考点：锐角三角函数2、B【解析】因为三角形ABC和三角形AB′C′均为直角三角形，且BC、B′C′都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，求出∠CAB，进而得出∠C′AB′的度数，然后可以求出鱼线B'C'长度．【详解】解：∵sin∠CAB＝∴∠CAB＝45°．∵∠C′AC＝15°，∴∠C′AB′＝60°．∴sin60°＝，解得：B′C′＝3．故选：B．此题主要考查了解直角三角形的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题．3、A【解析】先把二次根式化简变形，然后把a、b的值代入计算，即可求出答案.【详解】解：∵，∴===；故选：A.本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式进行化简.4、D【解析】当该函数是一次函数时，与x轴必有一个交点，此时a－1＝0，即a＝1.当该函数是二次函数时，由图象与x轴只有一个交点可知Δ＝(－4)2－4(a－1)×2a＝0，解得a1＝－1，a2＝2.综上所述，a＝1或－1或2.故选D.5、B【分析】根据圆锥的侧面积，代入数进行计算即可．【详解】解：圆锥的侧面积2π×1×1=1π．故选：B．本题主要考查了圆锥的计算，掌握圆锥的计算是解题的关键.6、A【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．【详解】解：将抛物线y＝向左平移2个单位后，得到的新抛物线的解析式是：．故答案为A．本题考查了二次函数图像的平移法则，即掌握“左加右减，上加下减”是解答本题的关键.7、D【解析】试题分析：先利用列表法与树状图法表示所有等可能的结果n，然后找出某事件出现的结果数m，最后计算概率．同时掷两枚质地均匀的硬币一次，共有正正、反反、正反、反正四种等可能的结果，两枚硬币都是正面朝上的占一种，所以两枚硬币都是正面朝上的概率=1÷4=．考点：概率的计算．8、B【解析】试题分析：画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中甲站在中间的结果数为2，所以甲站在中间的概率=26=1考点：列表法与树状图法．9、B【解析】试题解析：延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，∵∠CAB=120°，∴∠DAC=60°，∴∠ACD=30°，∵AB=4，AC=2，∴AD=1，CD=，BD=5，∴BC==2，∴sinB=．故选B．10、C【解析】试题解析：作DK⊥BC于K，连接OE．∵AD、BC是切线，∴∠DAB=∠ABK=∠DKB=90°，∴四边形ABKD是矩形，∴DK=AB，AD=BK=4，∵CD是切线，∴DA=DE，CE=CB=9，在RT△DKC中，∵DC=DE+CE=13，CK=BC﹣BK=5，∴DK==12，∴AB=DK=12，∴⊙O半径为1．故①错误，∵DA=DE，OA=OE，∴OD垂直平分AE，同理OC垂直平分BE，∴AQ=QE，∵AO=OB，∴OD∥BE，故②正确．在RT△OBC中，PB===，故③正确，∵CE=CB，∴∠CEB=∠CBE，∴tan∠CEP=tan∠CBP===，故④正确，∴②③④正确，故选C．11、D【分析】根据确定圆的条件、圆的内接四边形的性质、垂径定理及圆心角、弧、弦的关系定理逐一判断即可得答案.【详解】过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，故①错误，圆的内接四边形对角互补，故②错误，平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故③错误，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等，故④错误，综上所述：不正确的结论有①②③④，故选：D.本题考查确定圆的条件、圆的内接四边形的性质、垂径定理及圆心角、弧、弦的关系定理，熟练掌握相关性质及定理是解题关键.12、A【解析】作AD⊥BC，可得AD=BD=5，利用勾股定理求得AB，再由余弦函数的定义求解.【详解】作AD⊥BC于点D，则AD=5，BD=5，∴AB===5，∴cos∠B===.故选A.本题考查锐角三角函数的定义.二、填空题（每题4分，共24分）13、16【分析】（1）设A（m，km），B（n，kn），联立解析式，利用根与系数的关系建立之间的关系，列出面积函数关系式，利用二次函数的性质求解最小值即可；（2）先证明平分得到，把转化为，利用两点间的距离公式再次转化，从而可得答案．【详解】解：（1）如图，设A（m，km），B（n，kn），其中m1，n1．得：即，∴∴当k=1时，△PAB面积有最小值，最小值为故答案为．（2）设设A（m，km），B（n，kn），其中m1，n1．得：即，∴设直线PA的解析式为y=ax+b，将P（1，4），A（m，km）代入得：，解得：，∴令y=1，得∴直线PA与x轴的交点坐标为．同理可得，直线PB的解析式为直线PB与x轴交点坐标为．∵∴直线PA、PB与x轴的交点关于y轴对称，即直线PA、PB关于y轴对称．平分，到的距离相等，而∴，过作轴于，过作轴于，则∴∴∵∴∴∴故答案为：本题是代数几何综合题，难度很大．考查了二次函数与一次函数的基本性质，一元二次方程的根与系数的关系．相似三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，解答中首先得到基本结论，即PA、PB的对称性，正确解决本题的关键是打好数学基础，将平时所学知识融会贯通、灵活运用．14、【分析】过点B作BD⊥OD于点D，根据△ABC为直角三角形可证明△BCD∽△CAO，设点B坐标为（x，y），根据相似三角形的性质即可求解．【详解】过点B作BD⊥OD于点D，∵△ABC为直角三角形，∴，∴△BCD∽△CAO，∴，设点B坐标为(x,y)，则，，∴=AC=2，∵有图知，，∴，解得：，则y=3.即点B的坐标为.故答案为本题考查了坐标与图形性质、相似三角形的判定及性质、特殊角的三角函数值，解题的关键是要求出BC和AC的值和30度角的三角函数联系起来，作辅助线构造直角三角形为三角函数作铺垫．15、①④⑤．【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可．【详解】解：抛物线过点（﹣1，2），对称轴为直线x＝1．∴x＝＝1，与x轴的另一个交点为（5，2），即，4a+b＝2，故①正确；当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜2，即，9a+c＜3b，因此②不正确；当x＜1时，y的值随x值的增大而增大，因此③不正确；抛物线与x轴的两个交点为（﹣1，2），（5，2），又a＜2，因此当函数值y＜2时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5，故④正确；当x＝3时，y＝9a+3b+c＞2，当x＝4时，y＝16a+4b+c＞2，∴15a+7b+1c＞2，又∵a＜2，∴8a+7b+c＞2，故⑤正确；综上所述，正确的结论有：①④⑤，故答案为：①④⑤．本题主要考查二次函数图像性质,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图像性质.16、(﹣4，6)【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．【详解】点P（4，﹣6）关于原点对称的点的坐标是（﹣4，6），故答案为：（﹣4，6）．本题考查了一点关于原点对称的问题，横纵坐标取相反数就是对称点的坐标．17、-1【分析】由可得，，再代入代数式计算即可．【详解】∵，∴，∴原式＝，故填：－1．本题考查比例的基本性质，属于基础题型．18、1【分析】观察图形可知，每个图形中圆点的个数为序号数的平方加上序号数+1，依此可求第n个图有多少个圆点．【详解】解：由图形可知，第1个图形有12+1+1＝3个圆点；第2个图形有22+2+1＝7个圆点；第3个图形有32+3+1＝13个圆点；第4个图形有42+4+1＝21个圆点；…则第n个图有（n2+n+1）个圆点；所以第20个图形有202+20+1＝1个圆点．故答案为：1．此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律是解决问题的关键．三、解答题（共78分）19、【分析】根据题意画出图形，结合锐角三角函数的定义选择合适的函数即可。【详解】∵∠B=60°，a=2本题考查解直角三角形，根据已知条件选择合适的三角函数是解题的关键。20、（1）；（2）画图见解析；【分析】（1）从3个人中选一个，得甲第一个演讲的概率是（2）列树状图即可求得答案.【详解】（1）甲第一个演讲的概率是；（2）树状图如下：共有6种等可能情况，其中丙比甲先演讲的有3种，∴P（丙比甲先演讲）=.此题考查事件的概率，在确定事件的概率时通常选用树状图或列表法解答.21、详见解析【分析】利用等式的性质判断出∠PBC=∠PAB，即可得出结论；【详解】解：，，又,，，又，．此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出∠PBC=∠PAB是解本题的关键．22、（1）详见解析；（2）≤≤1【分析】（1）按照列表，取点，连线的步骤画图即可；（2）根据图象即可得出答案.【详解】解：（1）列表如下：-2-1112351-3-4-31函数图象如下图所示：（2）由图象可知，当1≤x≤3时，≤≤1．本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.23、1【解析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA、OC，根据垂径定理得到根据AB∥CD，得到点M、O、N在同一条直线上，在Rt△AOM中，根据勾股定理求出进而求出ON，在Rt△CON中，根据勾股定理求出根据垂径定理即可求出弦CD的长．【详解】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA、OC，则∵AB∥CD，∴点M、O、N在同一条直线上，在Rt△AOM中，∴ON=MN﹣OM=3，在Rt△CON中，∵ON⊥CD，∴CD=2CN=1．考查勾股定理以及垂径定理，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键.24、(I)y＝﹣；(II)当y≥2