5.2.2 二次函数y=ax^2与y=ax^2+c的图象和性质2027学年北师大九年级数学上册

二次函数y

=ax2与y

=ax2+c

的图象和性质5北师版九年级上册b=_____b=_____复习导入y=－x2y=x2y=－x21－1这两个二次函数还可以怎样变化？y=x2y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)a=_____a=_____00c=_____c=_____00b=_____b=_____复习导入y=－x2y=x2y=－x21－1y=x2y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)a=_____a=_____00c=_____c=_____00思考：当a

取任意一个非0的数时，二次函数y=ax2

的图象是什么样子的？当二次项系数a

是其他非0的实数时，图象是什么样的？有什么特点？y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)b=_____y=ax2a=_____c=_____探究新知画出这个二次函数的图象。200y=2x2y=x2画二次函数y=2x2的图象。①列表；②描点；③连线。x···－2－1012···y=2x2···82028···y=2x2y=x2二次函数y=2x2的图象是什么形状？它与二次函数y=x2的图象有什么相同之处和不同之处？y=2x2y=x2图象是一条抛物线顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最低点当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大；y=2x2抛物线的开口比y=x2抛物线的开口小。开口都向上，对称轴都是y轴y=x2二次函数y=2x2

的图象是一条抛物线，开口方向：向上对称轴：y轴顶点坐标：对称轴与抛物线的交点，它是图象的最低点。坐标为（0,0）x···－2－1012···y=2x2···82028···画出二次函数的图象。①列表；②描点；③连线。···20.500.52···y=x2y=2x2操作·思考y=x2y=2x2思考：（1）函数y=x2的图象与二次函数y=x2，y=2x2的图象相比，有什么共同点和不同点？①图象开口向上；②顶点（0，0）；③图象关于y轴对称；④顶点是抛物线的最低点；⑤当x<0时，y随着x的增大而减小；当x>0时，y随着x的增大而增大。开口大小不同①图象是一条抛物线；③顶点（0，0），是抛物线的最低点；④图象关于y轴对称；⑤a

的值越大，开口越小；⑥当x<0时，y随着x的增大而减小；当x>0时，y随着x的增大而增大；y=ax2（a

＞0）的特点：②图象开口向上，并且向上无限伸展；y=x2y=2x2思考：（2）如何画二次函数

和的图象？先想一想，再画一画。y=－x2x···-2-1012······-2-0.50-0.5-2···y=-2x2···-8-20-2-8···①列表；②描点；③连线。y=-2x2①图象是一条抛物线；③顶点（0，0），是抛物线的最高点；④图象关于y轴对称；⑤a

的值越小，开口越小；⑥当x<0时，y随着x的增大而增大；当x>0时，y随着x的增大而减小；y=ax2（a

＜0）的特点：②图象开口向下，并且向下无限伸展；y=－x2y=-2x2思考·交流点击打开几何画板二次函数y=ax2

的图象是什么形状？其中的系数a

对图象有什么影响？与同伴进行交流。y=ax2a>0a<0图象位置开口方向开口向上，在x轴上方开口向下，在x轴下方对称轴关于y轴对称，对称轴是直线x=0顶点最值顶点坐标是原点（0，0）当x=0时，y最小值=0当x=0时，y最大值=0增减性当x<0时,y随着x的增大而减小;当x>0时,y随着x的增大而增大.当x<0时,y随着x的增大而增大;当x>0时,y随着x的增大而减小.开口大小|a|越大，抛物线的开口就越小。当二次函数的常数项c

不为0时，图象是什么样的？有什么特点？y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)b=_____y=ax2a=_____c=_____02y=－2x2y=2x20y=－2x2y=2x2画出二次函数

y=2x2+1的图象画出二次函数

y=2x2－1

的图象它们与二次函数y=2x2

的图象有什么关系？【改自教材P134随堂练习T2】x…-2-1012…y=2x2+1…93139…y=2x2－1…71-117…y=2x2①列表；y=2x2＋1y=2x2－1②描点；③连线。画出二次函数

y=2x2+1的图象画出二次函数

y=2x2－1

的图象y=2x2y=2x2＋1y=2x2－1将二次函数y=2x2的图象向上平移

1

个单位，就得到函数y=2x2+1的图象。将二次函数y=2x2的图象向下平移1

个单位，就得到函数y=2x2－1的图象。将二次函数y=2x2

+1的图象向____平移____个单位，就得到函数y=2x2－1的图象。下2开口方向对称轴顶点坐标y=2x2+1y=2x2－1向上向上y轴y轴（0，1）（0，－1）①开口方向和大小相同；②对称轴相同；③顶点纵坐标不同。在同一坐标系内画出下列二次函数的图象：（1）y=－

x2（2）y=－

x2－2（3）y=－

x2+2探究根据图象回答下列问题：(1)图象的形状都是________；(2)三条抛物线的开口方向______；(3)对称轴都是______；(4)从上而下顶点坐标分别是________________________；抛物线向下y轴(0,2)，(0,0)，(0,-2)探究(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_____、_____、______；(6)函数的增减性都相同：___________________________；___________________________。高大y=2y=0y=－2对称轴左侧y随x增大而增大对称轴右侧y随x增大而减小探究y=ax2顶点(0,0)y=ax2+c顶点(0,c)当c>0时，向上平移c个单位长度得到当c<0时，向下平移∣c∣个单位长度得到思考：抛物线y=ax2+c与抛物线y=ax2有什么关系？上下平移规律：上加下减常数项。点击打开几何画板二次函数y=ax2+c的图象和性质:a的符号a>0a<0图象c>0c<0开口方向对称轴顶点坐标函数的增减性最值当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.向上向下y轴（直线x=0）y轴（直线x=0）（0，c）（0，c）x=0时，y最小值=cx=0时，y最大值=c达标检测画出二次函数y=5x2的图象，并填空：（1）图象的对称轴是_____，对称轴与图象的交点是_______。（2）图象的开口向_______。（3）图象在对称轴左边的部分，函数值随着自变量取值的增大而______；图象在对称轴的右侧，函数值随着自变量取值的增大而______。向上y轴（0，0）减小增大y=5x2【选自教材P134随堂练习T1】2.函数y=－5x2的图象的开口_______，对称轴是_______，顶点是________。在对称轴的左侧，y随x的增大而_______，在对称轴的右侧，y随x的增大而_______。向下y轴（0，0）增大减小3.若抛物线y=ax2(a≠0)，过点(-1，2)。（1）则a的值是_______；（2）对称轴是_______，开口_______。（3）顶点坐标是_______，顶点是抛物线上的最_____点。抛物线在x轴的_____方(除顶点外)。（4）若A(x1，y1)，B(x2，y2)在这条抛物线上，且x1<x2<0，则y1___y2。2y轴向上(0，0)低上>4.已知点（m，n）在y=ax2+a（a不为0）的图象上，点（－m，n）__