综合与实践 第1课时 猜想、证明与拓广 课件 2026-2027学年北师大九年级数学上册

猜想、证明与拓广6北师版九年级上册问题导入任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？你是怎样解决这个问题的？已知正方形所求正方形（周长倍增）所求正方形（面积倍增）边长/cm12周长/cm48面积/cm2142猜想：对于一个正方形，不存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍。请你尝试验证猜想！猜想：对于一个正方形，不存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍。证明：设原正方形的边长为a，则周长为4a，面积为a2。①若周长加倍，新正方形的周长为8a，边长为2a，此时面积为(2a)2=4a2，是原面积的4倍，不满足2倍要求；

因此不存在周长和面积同时为原正方形2倍的正方形。探索新知问题1：从上述问题出发，你能提出哪些更一般的问题或猜想？你能解决你的问题或验证你的猜想吗？①任意给定一个等边三角形，是否存在另一个等边三角形，它的周长和面积分别是已知等边三角形周长和面积的2倍？②任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？……猜想与证明问题2：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？（1）你想怎样解决这个问题？先独立思考，再与同伴交流解决这个问题的思路。（2）选择一些具体的矩形试一试，你有什么发现和猜想？能证明你的猜想吗？已知矩形的长为2、宽为1，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？请列式求解。解：原矩的边长为2、宽为1，则周长为6，面积为2。所以新矩形的周长为12、面积为4。设新矩形的长为x，则宽为6−x，面积为x(6−x)。根据题意得x(6−x)=4。

两个根均为正数，因此存在。再换一组数值，是否同样存在周长和面积同时加倍的矩形？已知矩形的长为4、宽为3，则周长为14，面积为12。所以新矩形的周长为28、面积为24。设新矩形的长为x，则宽为14−x，面积为x(14−x)。根据题意得x(14−x)=24，整理得x2−14x+24=0。解得x1=2，

x2=12。两个根均为正数，因此存在。对于一个任意的矩形是否成立？请你证明。证明：设原矩形的长为m、宽为n（m>0，n>0），则周长为2(m+n)，面积为mn。所以新矩形的周长为4(m+n)，面积为2mn。设新矩形的长为x，则宽为2(m+n)−x，面积为x[2(m+n)−x]。根据题意得x[2(m+n)−x]=2mn，整理得x2−2(m+n)x+2mn=0。∵Δ=[−2(m+n)]2−4×1×2mn=4(m+n)2−8mn=4(m2+n2)>0，∴方程有两个不相等的实数根。又∵x1+x2=2(m+n)>0，x1x2=2mn>0，∴两根均为正实数。因此任意矩形都存在周长和面积同时加倍的矩形。拓广与证明1.你能将上述“猜想与证明”的问题2加以拓广，并提出自己的猜想吗？你能验证你的猜想吗？问题2：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？一半、3倍……2.任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？（1）你有怎样的猜想？请选择一些具体的矩形试一试。（2）你的猜想需要修正吗？与同伴进行交流。（3）如何证明你的猜想？已知矩形的长为2、宽为1，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？请列式求解。解：原矩的边长为2、宽为1，则周长为6，面积为2。所以新矩形的周长为3、面积为1。设新矩形的长为x，则宽为1.5−x，面积为x(1.5−x)。根据题意得x(1.5−x)=1，整理得x2−1.5x+1=0。∵Δ=[−1.5]2−4×1×1=−1.75<0，∴方程无实数根，因此不存在。再换一组数值，是否有相同结论？已知矩形的长为6、宽为1，则周长为14，面积为6。所以新矩形的周长为7、面积为3。设新矩形的长为x，则宽为3.5−x，面积为x(3.5−x)。根据题意得x(3.5−x)=3，整理得x2−3.5x+3=0。解得x1=2，

x2=1.5。两个根均为正数，因此存在。对于一个任意的矩形结论是否成立？请你证明。证明：设原矩形的长为m、宽为n（m>0，n>0），则周长为2(m+n)，面积为mn。

Δ=(m+n)2−4×2×mn=(m+n)2−8mn=m2−6mn+n2，要使结论成立，Δ≥0，即m2−6mn+n2≥0。

反思与再拓广1