人教A版高中数学必修一题库 第五章　5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象

5.4.1正弦函数、余弦函数的图象学习目标1.了解“平移法”绘制正弦曲线、余弦曲线的过程，会用“五点(画图)法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象.(重点)2.掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换，能通过函数图象解决简单的问题.(难点)导语同学们，我国著名数学家华罗庚教授写过这样一首诗：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞.数缺形时少直觉，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事休；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，莫分离.”诗中充分肯定了数形结合这一重要的数学思想方法，前面我们主要从“数”的角度研究了三角函数的一些问题，这节课我们将从“形”上来研究三角函数.一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识问题1结合所学，研究函数的一般步骤是什么？提示先确定函数的定义域，然后画出函数图象，通过图象研究函数的值域、单调性、最值、对称性、奇偶性等函数的性质.问题2绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在[0，2π]上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值sinx0，并画出点T(x0，sinx0)？提示如图，在[0，2π]上任取一个值x0，根据正弦函数的定义可知y0=sinx0，此时弧AB的长度为x0，结合每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点T(x0，sinx0).问题3我们已经学会绘制函数图象上的点，接下来，如何画函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象？你能想到什么方法？提示如图，借助单位圆，在x轴上把[0，2π]12等分，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点，当然，把圆周等分的份数越多，将这些点用光滑的曲线连接起来，得到的正弦函数图象越精确(通过信息技术展示)，然后根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向左和向右连续的平行移动，每次移动的距离为2π，就得到函数y=sinx，x∈R的图象.知识梳理1.正弦函数的图象叫做正弦曲线.函数y=sinx，x∈R图象2.余弦函数的图象叫做余弦曲线.函数y=cosx，x∈R图象例1(多选)下列叙述正确的有()A.y=sinx，x∈[0，2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称B.y=cosx，x∈[0，2π]的图象关于直线x=π成轴对称C.正弦、余弦函数的图象不超过直线y=1和y=-1所夹的范围D.正弦函数y=sinx(x∈R)的图象关于x轴对称答案ABC解析分别画出函数y=sinx，x∈[0，2π]和y=cosx，x∈[0，2π]的图象(略)，由图象观察可知A，B，C均正确.反思感悟解决正弦、余弦函数图象的注意点对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到.跟踪训练1(多选)下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是()A.都可由[0，2π]内的图象向上、向下无限延展得到B.都是对称图形C.都与x轴有无数个交点D.y=cosx的图象与y=sinx图象的形状和位置都不一样答案AD解析由正弦、余弦函数的图象知，A，D不正确.二、“五点(画图)法”画函数的图象问题4如何画函数y=sinx，x∈[0，2π]的简图？提示根据前面的探究，我们发现，只需抓住函数图象上的几个关键点，然后用圆滑的曲线连接即可.今后在精确度要求不高时，常常先找出五个关键点(0，0)，π2，1，(π知识梳理“五点(画图)法”函数y=sinxy=cosx图象画法五点法五点法关键五点(0，0)，π2，1，(π，0)(0，1)，π2，0，(π，例2(课本例1)画出下列函数的简图：(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]；(2)y=-cosx，x∈[0，2π].解(1)按五个关键点列表：x0π2π3π22πsinx010-101+sinx12101描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图)：(2)按五个关键点列表：x0π2π3π22πcosx10-101-cosx-1010-1描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图)：例2用“五点法”作下列函数的图象：(1)y=1-2sinx，x∈[0，2π]；(2)y=cosx+12，x∈[-π解(1)列表：x0π2π3π22πsinx010-101-2sinx1-1131描点连线，画图如下.(2)列表：x-π-π0π2πcosx-1010-1cosx+1-1123212-1描点连线，画图如下.反思感悟作形如y=asinx+b(或y=acosx+b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤跟踪训练2用“五点法”在同一直角坐标系中画出函数y=-sinx，y=2-cosx在[-π，π]上的图象.解列表：x-π-π0π2π-sinx010-102-cosx32123描点连线，画图如下.三、正弦函数、余弦函数图象的应用例3不等式2sinx-1≥0，x∈[0，2π]的解集为()A.0，πC.π6，答案D解析因为2sinx-1≥0，所以sinx≥12在同一平面直角坐标系下，作出函数y=sinx，x∈[0，2π]以及直线y=12由函数的图象知，sinπ6=sin5π所以根据图象可知，sinx≥12的解集为π延伸探究1在本例中把“x∈[0，2π]”改为“x∈R”，求不等式2sinx-1≥0的解集.解在x∈[0，2π]上的解集为π6所以当x∈R时，不等式的解集为xπ延伸探究2试求关于x的不等式12<sinx≤32，x∈解在同一坐标系下作出正弦函数y=sinx在[0，2π]上的图象和直线y=12和y=32由图可知，在[0，2π]上，当π6<x≤π3或2π3不等式12<sinx≤3所以原不等式的解集为x或2π反思感悟利用三角函数图象解三角不等式sinx>a(cosx>a)的步骤(1)作出相应的正弦函数(余弦函数)在[0，2π]上的图象.(2)确定在[0，2π]上sinx=a(cosx=a)的x值.(3)写出不等式在区间[0，2π]上的解集.(4)根据诱导公式一写出定义域内的解集.跟踪训练3当x∈(0，2π)时，曲线y=2+cosx与直线y=13x的交点个数为(A.2 B.3 C.4 D.5答案A解析作出函数y=2+cosx和y=13x的图象，记f(x)=2+cosx，g(x)=13函数f(x)=2+cosx在[0，π]上单调递减，在[π，2π]上单调递增，f(π)=1<g(π)=πf(0)=3>g(0)=0，f(2π)=3>g(2π)=2π结合图象知在(0，2π)上有两个交点.1.知识清单：(1)正弦函数、余弦函数图象的初步认识.(2)“五点(画图)法”作图.(3)正弦函数、余弦函数图象的应用.2.方法归纳：数形结合法.3.常见误区：五点的选取；正弦函数的图象和余弦函数的图象可相互平移得到.1.下列对y=cosx的图象描述错误的是()A.在0，B.介于直线y=1与直线y=-1之间C.关于x轴对称D.与y轴仅有一个交点答案C解析对于A，由余弦曲线的作法可知，y=cosx，x∈0，2π与y=cosx，x∈4π，对于B，由余弦函数的图象知其图象介于直线y=1与直线y=-1之间，B正确；由余弦函数的图象可得C错误，D正确.2.用“五点法”画函数y=1+12sinx的图象时，首先应描出的五点的横坐标是(A.0，π4，C.0，π，2π，3π，4π D.0，答案B解析所描出的五点的横坐标与函数y=sinx的五点的横坐标相同，即0，π3.在[0，2π]内，不等式sinx<-32的解集是(A.(0，π) B.π3，4π3答案C解析画出函数y=sinx，x∈[0，2π]的简图，如图所示.当sinx=-32时，x=4π3或x则不等式sinx<-32在[0，2π]上的解集是4π4.函数y=cosx+4，x∈[0，2π]的图象与直线y=4的交点的坐标为.答案π解析由y=cosx+4,y=4当x∈[0，2π]时，x=π∴交点坐标为π2课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分1.在同一平面直角坐标系内，函数y=sinx，x∈[0，2π]与y=sinx，x∈[2π，4π]的图象()A.重合 B.形状相同，位置不同C.关于y轴对称 D.形状不同，位置不同答案B解析根据正弦曲线的作法可知函数y=sinx，x∈[0，2π]与y=sinx，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，但形状相同.2.利用“五点法”画y=sinx-1，x∈[0，2π]的图象时，第三个点的坐标为()A.(0，-1) B.πC.(π，-1) D.3π答案C3.函数y=-cosx(x≥0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为()A.π2，1 B.(π，1) C.(0，1)答案B解析用五点法作出函数y=-cosx，x≥0的图象如图所示.由图知，所求最高点的坐标为(π，1).4.函数y=sin(-x)，x∈[0，2π]的简图是()答案B解析y=sin(-x)=-sinx与y=sinx关于x轴对称.5.若点π3，|n|在余弦曲线f(x)=cosx上，则n的值为A.12 B.±C.±32答案B解析由于点π3，|n|在余弦曲线f(x)=cos所以|n|=cosπ3=12，6.在[0，2π]上，函数y=2sinx-2的定义域是A.0，πC.π4，答案B解析依题意得2sinx-2≥0，即sinx≥22.作出y=sinx在[0，2π]上的图象及直线y=22，如图所示.由图象可知，满足sinx≥22的7.(多选)下列在(0，2π)上的区间能使cosx>sinx成立的是()A.0，πC.5π4，答案AC解析在同一平面直角坐标系中，画出正、余弦函数的图象，如图，在(0，2π)上，当cosx=sinx时，x=π4或x=5π4，结合图象可知满足cosx>sinx8.(5分)函数y=2sin(π-x)，x∈-π2，π2的图象与直线答案π解析函数y=2sin(π-x)=2sinx，由2sinx=1，得sinx=12，当x∈-π2，π29.(5分)不等式-32≤cosx≤12的解集是答案x解析在-π，π上，直线y=-32，y=12与函数y=cosx的图象的交点的横坐标分别为5π6，-5π6，π3，-π10.(10分)利用“五点法”作函数y=2-3sinx，x∈[-2π，2π]的图象.解列表：x-2π-3π-π-π0π2π3π22πsinx010-1010-102-3sinx2-1252-1252描点连线，画图如下.11.已知f(x)是定义在(0，3)上的函数，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)·cosx<0的解集是()A.(0，1)∪(2，3)B.1C.(0，1)∪πD.(0，1)∪(1，3)答案C解析当0<x<1时，f(x)<0，由f(x)·cosx<0可得cosx>0，解得0<x<1；当x=1时，f(x)=0，不符合题意；当1<x<3时，f(x)>0，由f(x)·cosx<0可得cosx<0，解得π2<x因此，不等式f(x)·cosx<0的解集为(0，1)∪π212.若函数f(x)=1+4sinx-t在区间π6，2π上有2个零点，则t的取值范围为A.(-3，5) B.(3，5)C.(-3，1)∪(3，5) D.[-3，1]∪[3，5]答案C解析令f(x)=0，可得sinx=t则函数y=sinx与y=t-14在区间作出函数y=sinx与y=t-14在区间π则12<t-14<1解得3<t<5或-3<t<1.13.(5分)函数y=2cosx，x∈[0，2π]的图象和直线y=2围成的一个封闭的平面图形的面积是.答案4π解析如图所示，将函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2=4π.14.(12分)已知函数f(x)=cos(1)作出该函数的图象；(4分)(2)若f(x)=12，求x的值；(4(3)若a∈R，讨论方程f(x)=a的解的个数.(4分)解(1)函数f(x)的图象如下：(2)当-π≤x<0时，f(x)=cosx=1解得x=-π3当0≤x≤π时，f(x)=sinx=1解得x=π6或x=5π综上，x=-π3(3)方程f(x)=a的解的个数等价于函数y=f(x)的图象与直线y=a的交点个数，则由(1)中函数图象可得，当a>1或a<-1时，解的个数为0；当-1≤a<0或a=1时，解的个数为1；当0≤a<1时，解的个数为3.15.(5分)已知函数f(x)=ex+x，g(x)=lnx+x，h(x)=sinx+x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为.(用“<”连接)

答案a<c<b解析函数f(x)=ex+x，g(x)=lnx+x，h(x)=sinx+x的零点转化为y=ex，y=lnx，y=sinx与y=-x的图象的交点的横坐标，在同一平面