人教A版高中数学必修一题库 第五章　章末复习课

一、同角三角函数的基本关系式和诱导公式1.(1)两个基本关系式：sin2α+cos2α=1及sinαcosα(2)诱导公式：可概括为k·π2±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限2.化简三角函数式的常用方法有：(1)直接应用公式；(2)切化弦；(3)异角化同角；(4)特殊值与特殊角的三角函数互化；(5)通分、约分；(6)配方去根号.3.求值一般包括：(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角.4.掌握三角函数中公式的正用、逆用及变形用，重点提升逻辑推理和数学运算素养.例1(1)(多选)下列计算或化简结果正确的是()A.若sinαcosα=12，则tanα+B.若tanα=12，则C.若sinα=255，则D.若α为第二象限角，则cosα答案AB解析对于A选项，∵sinαcosα=12，∴tanα+cosαsin对于B选项，∵tanα=12，∴2sinαcos对于C选项，∵α的范围不确定，∴tanα的符号不确定，故C错误；对于D选项，∵α为第二象限角，∴sinα>0，cosα<0，∴cosα1-sin2α+sin(2)已知sinα是方程2x2-x-1=0的根，α是第三象限角，则sin-α-3π2cos3π答案-1解析∵方程2x2-x-1=0的根为-12或1又α是第三象限角，∴sinα=-1∴cosα=-1-sin2∴tanα=sin∴原式=cosα(-sinα)=-tan2α=-13反思感悟应用任意角的三角函数的定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上的点的位置无关，应用诱导公式时要弄清三角函数值在各个象限内的符号.跟踪训练1已知sinαcosα=18，且5π4<α<3π2，则cosα-sinA.-32 B.32 C.-3答案B解析由sinαcosα=18>0，且5π4<α<3π2可知sinα<0，cosα<0且cosα>sin所以cosα-sinα=1-2sinα二、三角函数的图象与性质1.三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，将ωx+φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧.2.函数y=Asin(ωx+φ)的图象(1)“五点法”作图；(2)图象伸缩、平移变换.3.掌握三角函数的图象和性质，重点培养直观想象和数学运算素养.例2函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则()A.f(x)=3sin2B.f(x)图象的一条对称轴方程是x=-5πC.f(x)图象的对称中心是kπ-π8D.函数f(x)的单调递减区间为-π8+2答案B解析由函数f(x)=3sin(ωx+φ)的图象，知12T=所以T=2πω=π，解得ω=2，即f(x)=3sin(2x+φ)又f

-π8=3sinφ-π4=3，可得φ-π4=π2+2kπ，k∈Z，即φ=又0<φ<π，可得φ=3π4，所以f(x)=3sin2xf

-5π8=3sin-5π4+令2x+3π4=kπ，k∈Z，解得x=12kπ-3π8，因此f(x)图象的对称中心是12kπ-3π8，令π2+2kπ≤2x+3π4≤3π2+2kπ，k∈Z，可得-π8+kπ≤x≤3π8+故函数f(x)的单调递减区间为-π8+kπ，3π反思感悟结合三角函数的图象分析三角函数的性质时，关键要把f(x)=Asin(ωx+φ)中的ωx+φ看成一个整体，书写时不要漏写k∈Z，注意f(x)图象的对称中心为点的形式.跟踪训练2(1)函数y=cosx+π6，x∈答案-解析∵0≤x≤π2，∴π6≤∴cos2π3≤cosx+π6≤∴-12≤y≤32，(2)若函数f(x)=tanωx+π6(ω>0)的最小正周期为π2，答案-3解析因为函数f(x)=tanωx+π6(ω>0)的最小正周期为π2，故f(x)=tan2x+π6，所以f

π3=tan2π3+π6三、三角函数的图象变换1.由函数y=sinx的图象得到y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象有两种途径：先平移再伸缩；先伸缩再平移，这两种途径的区别是平移的单位长度不同，其余参数不受影响，若相应变换的函数名称不同时，要先用诱导公式转化为同名的三角函数，再进行平移或伸缩.2.掌握三角函数图象变换的规则，重点提升逻辑推理和数学运算素养.例3已知函数f(x)=4sinωx-π4cosωx在x=π4处取得最值，其中ω(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)将函数f(x)的图象向左平移π36个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象.若α为锐角，且g(α)=43-2，解(1)f(x)=4sinωx-π4=422sinωx=22sinωxcosωx-22cos2ωx=2sin2ωx-2cos2ωx-2=2sin2ωx∵函数f(x)在x=π4∴2ω×π4-π4=kπ+π解得ω=2k+32，k∈又ω∈(0，2)，∴ω=3∴f(x)=2sin3∴最小正周期T=2π3(2)将函数f(x)的图象向左平移π36个单位长度，得到函数y=2sin3x+π36得到函数y=2sinx-即g(x)=2sinx-∵α为锐角，g(α)=2sinα∴sinα∴cosα∴cosα=cosα=3=32反思感悟函数y=Asin(ωx+φ)+h的解题技巧对于y=Asin(ωx+φ)+h，应明确A，ω决定“形变”，φ，h决定“位变”，A影响值域，ω影响周期，A，ω，φ影响单调性.针对x的变换，即变换多少个单位长度，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别.跟踪训练3把函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移π6个单位长度，得到一个最小正周期为2π的奇函数g(x)，求ω和φ的值解依题意得f(x)第一次变换得到的函数解析式为m(x)=2cosω2x+φ，再向左平移π6个单位长度得到函数g因为函数g(x)的最小正周期为2π，所以ω=2，则g(x)=2cosx+又因为函数g(x)为奇函数，所以φ+π6=kπ+π2，k又0<φ<π，则φ=π3四、三角恒等变换与三角函数的综合问题1.三角恒等变换与三角函数的综合问题，常以三角恒等变换为主要的化简手段，考查三角函数的性质.当给出的三角函数关系式较为复杂时，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简为y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.2.通过三角恒等变换，进而研究三角函数的性质，培养逻辑推理和数学运算素养.例4已知函数f(x)=cosxsinx+π3-3cos2x+(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在闭区间-π4解(1)f(x)=cosx12sinx+3=12sinx·cosx-32cos2x=14sin2x-34(1+cos2x=14sin2x-34cos2x=∴f(x)的最小正周期T=2π2(2)∵-π4≤x≤π4，∴-5π6≤∴-1≤sin2x-π3≤12，∴-∴函数f(x)在闭区间-π4，π4上的最大值为反思感悟解决三角恒等变换与三角函数综合问题的关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想方法，对其解析式变形、化简，尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数.解决与图象和性质有关的问题，在进行恒等变换时，既要注意三角恒等思想(切化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与积的互化，角的代换)的运用，还要注意一般的数学思想方法(如换元法等)的运用.跟踪训练4已知函数f(x)=cosπ3-x(1)求f

π(2)将f(x)图象上的所有点向左平移m(m>0)个单位长度，得到g(x)的图象，若g(x)的图象关于点π6，0对称，求当m取最小值时，函数g(x解(1)f

π6=cosπ6(2)f(x)=si