人教A版高中数学必修一题库 第一章　1.4.2　充要条件

1.4.2充要条件学习目标1.理解充要条件的意义.2.会判断一些简单的充要条件问题.(重点)3.能对充要条件进行证明.(难点)导语同学们，上节课我们学习了充分条件与必要条件，通过学习，我们知道使结论成立的条件可能不唯一，同样的条件也可能得出不同的结论.另外，我们在初中学过两直线平行的性质定理如“两直线平行，同位角相等”，还学过两直线平行的判定定理如“同位角相等，两直线平行”，从中我们能得到“两直线平行”是“同位角相等”的什么条件呢？这节课，我们将进一步的探究充要条件.一、充要条件问题1将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac<0；(4)若A∪B是空集，则A与B均是空集.提示不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题；命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题.问题2你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p，q的关系吗？提示判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，则p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件.知识梳理1.如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.2.条件关系判定的常用结论：条件p与结论q的关系结论(p是q的)p⇒q，且q⇏p充分不必要条件q⇒p，且p⇏q必要不充分条件p⇒q，且q⇒p充要条件p⇏q，且q⇏p既不充分也不必要条件注意点：(1)充要条件的判断步骤：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件.(2)充要条件的等价说法：p是q的充要条件又常说成q成立当且仅当p成立，或p与q等价.例1(课本例3)下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；(3)p：xy>0，q：x>0，y>0；(4)p：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0).解(1)因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形(为什么)，所以q⇏p，所以p不是q的充要条件.(2)因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即p⇔q，所以p是q的充要条件.(3)因为xy>0时，x>0，y>0不一定成立(为什么)，所以p⇏q，所以p不是q的充要条件.(4)因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即p⇔q，所以p是q的充要条件.例1下列各题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)？(1)p：x=1，q：x-1=x-1(2)p：关于x的方程ax+b=0(a，b∈R)有唯一解，q：a≠0；(3)p：x+2≠y，q：(x+2)2≠y2；(4)p：a是自然数；q：a是正数.解(1)方法一当x=1时，x-1=x-1当x-1=x-1时，x=1或x∴p是q的充分不必要条件.方法二A={x|x=1}={1}，B={x|x-1=x-1}={1，2}，可知AB，∴p是q的充分不必要条件.(2)若关于x的方程ax+b=0(a，b∈R)有唯一解，则a≠0，故p⇒q；若a≠0，则方程ax+b=0的根为x=-ba，只有一解，故q⇒p，综上，p是q(3)由q：(x+2)2≠y2，得x+2≠y且x+2≠-y，又p：x+2≠y，故p是q的必要不充分条件.(4)0是自然数，但0不是正数，故p⇏q；又12是正数，但12不是自然数，故q⇏p.故p是q反思感悟判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.(2)集合法：即利用集合的包含关系判断.(3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法.(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性.跟踪训练1下列各题中，p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答)？(1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；(2)p：☉O内两条弦相等，q：☉O内两条弦所对的圆周角相等；(3)p：A∩B=∅，q：A与B之一为空集；(4)p：a能被6整除，q：a能被3整除；解(1)充要条件；(2)必要不充分条件；(3)必要不充分条件；(4)充分不必要条件.二、充要条件的证明例2(课本例4)已知：☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.求证：d=r是直线l与☉O相切的充要条件.证明设p：d=r，q：直线l与☉O相切.(1)充分性(p⇒q)：如图所示，作OP⊥l于点P，则OP=d.若d=r，则点P在☉O上.在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ.在Rt△OPQ中，OQ>OP=r.所以，除点P外直线l上的点都在☉O的外部，即直线l与☉O仅有一个公共点P.所以直线l与☉O相切.(2)必要性(q⇒p)：若直线l与☉O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l.因此，d=OP=r.由(1)(2)可得，d=r是直线l与☉O相切的充要条件.例2求证：一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.证明必要性：由于方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正实根和一负实根，∴Δ=b2-4ac>0，且x1x2=ca<0，∴ac充分性：由ac<0可推出Δ=b2-4ac>0及x1x2=ca<0∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一正一负两实根.综上，一元二次方程ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0.反思感悟充要条件证明的思路证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性.跟踪训练2求证：一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0.证明(1)充分性：如果b=0，那么y=kx，当x=0时，y=0，函数图象过原点.(2)必要性：因为y=kx+b(k≠0)的图象过原点，所以当x=0时，y=0，得0=k·0+b，所以b=0.综上，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0.三、充要条件的应用例3已知p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.解p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0).因为p是q的必要不充分条件，所以{x|1-m≤x≤1+m}{x|-2≤x≤10}，故有1-解得m≤3.又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}.延伸探究1若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.解p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0).设集合A={x|-2≤x≤10}，集合B={x|1-m≤x≤1+m}，因为p是q的充分不必要条件，所以AB，所以1-m≤-2,1+即实数m的取值范围为{m|m≥9}.延伸探究2本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.解因为p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0)，设集合A={x|-2≤x≤10}，集合B={x|1-m≤x≤1+m}，若p是q的充要条件，则集合A=B，即-2=1-m,10=1+故不存在实数m，使得p是q的充要条件.反思感悟应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.1.知识清单：(1)充要条件概念的理解.(2)充要条件的证明.(3)充要条件的应用.2.方法归纳：等价转化.3.常见误区：条件和结论辨别不清.1.“x>0”是“x≠0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析由“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立.因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件.2.“x2-4x-5=0”是“x=5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析由x2-4x-5=0得x=5或x=-1，则当x=5时，x2-4x-5=0成立，但当x2-4x-5=0时，x=5不一定成立.因此“x2-4x-5=0”是“x=5”的必要不充分条件.3.(多选)已知集合A={x|x≤3}，集合B={x|x≤m+1}，能使A∩B=A成立的充分不必要条件有()A.m>0 B.m>1 C.m>3 D.m>4答案CD解析A∩B=A当且仅当A是B的子集，当且仅当m+1≥3，即m≥2，对比选项可知使得m≥2成立的充分不必要条件有m>3，m>4.4.函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是.答案m=-2解析函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称，则-m2=1，即m=-2；反之，若m=-2则y=x2-2x+1的图象关于直线x=1对称.课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共18分1.已知x∈R，则“x2=x+6”是“x=x+6”的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析由于“x2=x+6”，则“x=±x+6”故“x2=x+6”是“x=x+6”的必要不充分条件2.巴布亚企鹅，属鸟类，是企鹅家族中游泳速度最快的种类，时速可达36千米，也是鸟类中当之无愧的游泳冠军，其模样憨态有趣，有如绅士一般，十分可爱，被称为“绅士企鹅”.若啾啾是一只鸟，则“啾啾是巴布亚企鹅”是“啾啾会游泳”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案B解析会游泳的鸟有很多种，巴布亚企鹅是其中的一种，则“啾啾是巴布亚企鹅”可以推出“啾啾会游泳”，但“啾啾会游泳”并不能推出“啾啾是巴布亚企鹅”.所以“啾啾是巴布亚企鹅”是“啾啾会游泳”的充分不必要条件.3.设p是q的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件，s是r的充要条件，则s是p的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且q⇏p，因为r是q的必要不充分条件，所以q⇒r且r⇏q，因为s是r的充要条件，所以s⇒r且r⇒s，如图，所以p⇒s且s⇏p，故s是p的必要不充分条件.4.已知a>0，设p：-a≤x≤3a，q：-1<x<6.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A.{a|1<a<2} B.{a|1≤a≤2}C.{a|0<a<1} D.{a|0<a≤1}答案C解析因为p是q的充分不必要条件，所以-解得0<a<1.所以实数a的取值范围是{a|0<a<1}.5.设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是()答案C解析对于A，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；对于B，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；对于C，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；对于D，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.6.(多选)使“x∈{x|x≤0或x>2}”成立的充分不必要条件可以是()A.x≥0 B.x<0或x>2C.x∈{-1，3，5} D.x≤0或x>2答案BC解析从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干中所给集合的真子集，只有B，C满足题意.7.(多选)设集合A={x|x2+x-6=0}，B={x|mx-2=0}，则下列可作为BA的充分不必要条件的是()A.m∈{0，1} B.m∈0C.m∈0，-23答案ABD解析A={x|x2+x-6=0}={2，-3}，当BA时，①若B=∅，则m=0；②若B≠∅，则B={2}或B={-3}，对应的m=1或m=-23故当BA时，实数m的取值集合为0，-所以满足可作为BA的充分不必要条件的实数m的取值集合为0，-28.(5分)设a，b∈R，则“a2+b2=0”的充要条件为.答案a=b=0(与此等价的形式亦可)解析因为a，b∈R，若a2+b2=0，则a2=b2=0，即a=b=0；若a=b=0，则a2+b2=0，所以“a2+b2=0”的充要条件是“a=b=0”.9.(5分)已知p：2k-1≤x≤3，q：-5≤x≤3，若p是q的必要不充分条件，则实数k的取值范围是.答案{k|k<-2}解析p：2k-1≤x≤3，q：-5≤x≤3，设集合A={x|2k-1≤x≤3}，B={x|-5≤x≤3}，因为p是q的必要不充分条件，所以BA，所以2k-1<-5，解得k<-2.所以实数k的取值范围是{k|k<-2}.10.(10分)求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.证明充分性：因为a+b+c=0，所以c=-a-b，代入方程ax2+bx+c=0，得ax2+bx-a-b=0，即(x-1)(ax+a+b)=0.所以方程ax2+bx+c=0有一个根为1.必要性：因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1，所以x=1满足方程ax2+bx+c=0，所以a×12+b×1+c=0，即a+b+c=0.故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.11.下列命题正确的是()A.“x>3”是“x>5”的充分不必要条件B.“a+b=0”是“ba=-1”C.“x≠±1”是“|x|≠1”的必要不充分条件D.“A∪B=B”是“A∩B=A”的充要条件答案D解析由x>5⇒x>3，由x>3⇏x>5，所以“x>3”是“x>5”的必要不充分条件，故A错误；当a=b=0时，a+b=0，但ba不存在，所以“a+b=0”不是“ba=-1”的充分条件，故B错误；当x≠±1时，|x|≠1，反过来也成立，所以“x≠±1”是“|x|≠1”的充要条件，故C错误；由A∪B=B得A⊆B，所以A∩B=A，反之，若A∩B=A，则A⊆B，进而得A∪B=B，故“A∪B=B”是“A∩B=A”的充要条件，故D12.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1，x2，则“x1·x2>4且x1+x2>4”是“x1>2且x2>2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析当x1=1，x2=5时，满足x1·x2>4且x1+x2>4，但得不到x1>2且x2>2，若x1>2且x2>2，则x1·x2>4且x1+x2>4，所以“x1·x2>4且x1+x2>4”是“x1>2且x2>2”的必要不充分条件.13.(多选)设全集为S，集合A，B⊆S，下列四个命题，是命题A⊆B的充要条件的是()A.A∪B=B B.∁SB⊆∁SAC.∁SB∩A=∅ D.∁答案ABC解析当A∪B=B时，A⊆B；当A⊆B时，A∪B=B，A满足题意；当∁SB⊆∁SA时，A⊆B；当A⊆B时，∁SB⊆∁SA，B满足题意；当(∁SB)∩A=∅时，A⊆B；当A⊆B时，(∁SB)∩A=∅，C满足题意；当(∁SA)∩B=∅时，B⊆A，D不满足题意.14.(10分)已知非空集合A={x|2a-1<x<3a+1}，B={x|-1<