2027届湖北随州曾都区第一高级中学高三年级上学期9月月考数学试题及答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-1,-2,1,5},B={x|v=1g(x+2)},则A∩B=()A.{-1,-2,1,5}B.{-1,1,5}C.{1,5}2.若复为纯虚数，则a=()A.-5B.-4A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知等比数列{a}满足：a+a₃=10,a₂+a₄=20.设bₙ=a+log₂a+,记数列{b}的前n项和为S,则A.149B.153C.155A.√2B.2√26.已知椭圆C:(a>b>0)与抛物线E:y²=2px(p>0)有相同的焦点F,椭圆C与抛物线E在第一象限交于点P,PF⊥x轴，则椭圆C的离心率等于()7.已知函数若f(x)存在最小值，则实数a的取值范围是()A.[-∞,2]B.(-1,+C.(-∞,-1)A.c<b<aC.a<c<b二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题试卷第1页(共3页)目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的有()B.若X～N(μ,σ²),且P(X≤-3)+P(X≤5)=1,C.已知事件A,B互斥，D.已知事件A,B相互独立，,则A.ab≤4C.a-b≤0f(x)=-2(x-1)².若函数y=f(x)-loga(x+1)在(0,+∞)上至少有三个不同的零点，则下列结论正确的是A.函数f(x)的图象关于直线x=3对称D.实数a的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.13.函数f(x)=Inx+a与函数g(x)=x²+b在公共点处切线相同，则b-a=14.函数f(x)的导函数为f'(x),若在f(x)的定义域内存在一个区间D,f(x)在区间D上单调递增，f'(x)在区间D上单调递减，则称区间D为函数f(x)的一个“渐缓增区间”.若对于函数f(x)=ae-x²,区间是其一个渐缓增区间，那么实数a的取值范围是·15.某科技园区有甲、乙、丙三家AI企业，产出的AI模型数量之比为2:3:5,三家企业的AI模型出现代码试卷第2页(共3页)漏洞的概率分别为3%、2%、1%,现从园区所有产出的AI模型中随机抽取1个模型.(1)求随机抽取的这个AI模型存在代码漏洞的概(2)如果抽到的AI模型存在代码漏洞，求该模型出自甲企业的概率.16.已知数列{a}的前n项和为Sn,且满足a=1,S+1=a+Sₙ+2,bₙ=2”a,数列{b}的前n项和为(2)求数列{b}的前n项和Tn.17.如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面互相垂直，已知BC=4,AB=AD=2,点P在线段BE上.CC(2)当直线AP与平面BCE所成角的正弦值为时，求(3)若函数y=f(x)+(a+1)x的最小值为0,求a的值.19.椭圆的离心率为,曲线C₂:y²=2x+4过椭圆C₁的左顶点P.(2)过坐标原点O的直线l与C₂相交于点A,B(异于P),直线PA,PB分别与C₁相交于D,E,②记△PAB,△PDE的面积分别是S,S₂,求的最小值及此时直线l的方【详解】由题意，集合B={x|x+2>0}={x|x>-2},而A={-1,-2,1,5},因为-2∉B,-1∈B,1∈B,5∈B,所以A∩B=【详解】因为因为z为纯虚数，所以【分析】结合同角三角函数关系、诱导公式，分别从充分性、必要性两方面来说明即可.【分析】根据等比数列的通项公式求解a,q,从而可得{b}的通项公式，根据分组求和可得S₆的值.【详解】设等比数列{a}的公比为4,则则a₁+a₃=a₁+4a₁=10,可得a=2,则bₙ=aₙ+log₂a+1=2”+log₂2”+¹=2”+n+1,【分析】通过求与直线x+y+4=0平行的切线到该直线的距离求解答案.【详解】由题意，令f'(x)=-1,得x=1(负值已舍去).因为f(1)=1,所以曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线与直线x+y+4=0平行.试卷第1页(共10页)【分析】由题可得p=2c,从而得P(c,2c),代入椭圆方程可得再由b²=a²-c²及离心率公式求【详解】由题意，抛物线E的焦点为F(c,0),则抛物线方程为y²=4cx.因为PF⊥x轴且点P在第一象限，所以点P的横坐标为C.将x=c代入抛物线方程得y²=4c²,故yp=2c.又点P(c,2c)在椭圆C上，且椭圆过焦点的通径半长为,因此两边同除以a²并设离心率得1-e²=2e→e²+2e-1=0.解得e=√2-1(负根-1-√2已舍去).【分析】根据函数的单调性可知，若函数存在最小值，则最小值是f(2)=1,则根据指数函数的性质，列式求实数a的取值范围.若要使得f(x)存在最小值，只需要-a≥log₂2,即a≤-1.【分析】由题意构造函数，结合指数函数单调性以及定点画出函数图象即可得解.【详解】由题意所以问题等价于比较f(x)的图象分别与8(x),g₂(x),g₃(x)的图象三个交点横坐标的大小关系，则由指数函数单调性可知，f(x)的图象分别与81(x),g₂(x),83(x)的图象三个交点横坐标如图所示：试卷第2页(共10页)0X【详解】对于A,若,则P(X≤2)=1-P(X>2)=1-P(X=3)-对于B,若X～N(μ,σ²),且P(X≤-3)+P(X≤5)=1,则P(X≤-3)=1-P(X≤5)=P(X>5);因此可得-3+5=2μ,解得μ=1,即B错误；对于C,由事件A,B互斥且对于D,由事件A,B相互独立可知A,B也相互独立，【分析】ABD选项，利用基本不等式求最值即可；C选项，利用特殊值判断.【详解】ab=a+b≥2√ab,即ab≥2√ab,解得ab≥4,当且仅当a=b=2时等号成立，故A错；当且仅当时等号成立，故B故C错；得答案.由f(x+2)-f(x)=0知f(x对于B:当x∈[4,5]时，x-4∈[0,1],所以f(x)=f(x-4)=-2(x-5)²,对于C:当x∈[4,5]时，由图象可知f(x)单调递增，所以C错误；即log。(2+1)>-2,解得,所以D正确.所以f(f(-2))=f(100)=1g1设f(x)与g(x)的公共点为(x₀,y₀)(x₀>0),f(x₀)所以,解得℃(2)利用(1)中结果，再由条件概率公式和贝叶斯公式，即可求解.【详解】(1)设事件A、A₂、A₃分别表示抽取的AI模型出自甲、乙、丙三家企业，事件B表示抽取的AIP(B|A)=3%=0.03,P(B|A₂)=2%=0.02,P(B|A₃)=1由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A₁)+P(A₂)P(B|A2)+P(A₃)P(B|A)=0.2×0.03+0.3×0.02+0.5×0.01=0.006+0.006+0.00【详解】(1)根据题意，数列{a}的前n项和为Sₙ,且S₄+1=a+Sₙ+2,所以数列{a,}为首项为1,公差为2的等差数列，则a₄=1+2(n-1)=2n-1,(2)由(1)可得：bₙ=(2n-1)2”,所以Tₙ=1×2¹+3×2²+5×2³+…+(2n-1)·2”,可得2Tₙ=1×2²+3×2³+5×2⁴+…+(2n-3)·2"+(2n-1)·2#+1,证明：由正方形ADEF有AF⊥AD,又平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,所以AF⊥平面ABCD,又ACc平面ABCD,所以AF⊥AC,所以AB²+AC²=BC²,即AC⊥AB,又AB∩AF=A,所以AC⊥平面ABF,又ACc平面ACP,所以平面ACP⊥平面ABF;试卷第6页(共10页)【分析】(1)根据面面垂直的判定定理即可证明；(2)建立空间直角坐标系，求平面BCE的法向量i,即可求得点P的坐标，利用夹角公式即可求解.【详解】(1)略则有A(0,0,0),B(2,0,0),c(0,2√3所以BC=(-2,2√3,0),BE=(-3,√3,设平面BCE的法向量为n=(x,y,z),则有设直线AP与平面BCE所成角为θ,所或解得或所以18.(1)f(x)有极小值.,无极大值；【分析】(1)利用导数讨论函数单调性，根据单调性可得极值；由此可得出函数f(x)的增区间和减区间；(3)分a≥0,a<0两种情况分类求出最小值即可列式求参.【详解】(1)当a=-1时，所以，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增，若a≤0,则x∈(0,1)时f'(x)<0,f(x)单调递减，x∈(1,+∞)时f'(x)>0,f(x)x∈(a,1)时f'(x)<0,f(x)单调递减，x∈(1,+∞)时f'(x)>0,f(x)单调递增；若a=1,