苏科版数学 1.1三角形中的线段和角（题型专练） 同步练习 含答案

1.1三角形中的线段和角题型一判断三条线段能否围成三角形1．（2025·东海县·期末）以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（）A．2cm，2cm，4cm B．8cm，6cm，4cm C．12cm，5cm，6cm D．2cm，3cm，6cm2．（2025·昆山市·校级月考）以下长度的三条线段，不能组成三角形的是（）A．5、8、2 B．2、5、4 C．4、3、5 D．8、14、73．（2026·连云港·模拟）学具盒中装有四根长度分别为1cm、3cm、4cm和5cm的细木棒，小明手中有一根长度为3cm的细木棒，现从盒中取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起组成三角形，则不同的取法有（）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种题型二根据三角形三边关系求边长1．（2025·天宁区·期中）小亮有两根长度为5cm和9cm的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（）A．3cm B．4cm C．9cm D．16cm2．（2025·仪征市·期末）已知一个三角形的两边长为4和9，则第三边长不可能是（）A．5 B．6 C．7 D．83．（2025·句容市·月考）一个三角形的两条边长分别为5和7，那么第三条边x的范围是．4．（2025·靖江市·月考）已知三角形的三边长分别为3，3a﹣1，8．则正整数a的值可以是．5．（2025·苏州·校级期中）已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为奇数，则这个三角形的形状是．题型三根据三角形三边关系进行化简1．（2025·无锡·校级月考）已知△ABC的三边a、b、c，则化简|b﹣c﹣a|﹣|a+b﹣c|的值是．2．（2025·靖江市·校级月考）设△ABC三边长分别为a，b，c，则|a﹣b﹣c|﹣|b+a﹣c|＝．题型四根据三角形三边关系进行证明1．（2025·宜兴市·校级月考）如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，且AC，BD相交于点O．求证：AB+CD＜AC+BD．题型五大边对大角，大角对大边1．（2025·盐城·期末）在△ABC中，如果AB＞AC＞BC，那么∠A，∠B，∠C的大小关系为（）A．∠A＞∠B＞∠C B．∠C＞∠B＞∠A C．∠B＞∠C＞∠A D．无法判断2．（2025·邗江区·校级期中）在△ABC中，若AB＞AC＞BC，且∠C＝87°，则△ABC一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形3．（2025·扬州·期末）在△ABC中，AB＝5，AC＝4，则∠B∠C．（填“＞”“＜”或“＝”）4．（2025·栖霞区·校级月考）（1）如图，在△ABC中，点D在边BC上．求证：AC+CB＞AD+DB；（2）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D在AB上，比较AC，CD的大小，并说明理由．题型六三角形的中线、角平分线、高有关的概念辨析1．（2025·姜堰区·期中）如图，在△ABC中，BC边上的高为（）A．CE B．AF C．DB D．AB2．（2025·常州·校级月考）如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是△ABC的高的是（）A． B． C． D．3．（2025·宜兴市·期中）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（）A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形4．（2025·锡山区·二模）如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（）A．AB＝2BF B．AE＝BE C．∠ACE=12∠ACB D．5．（2026·新吴区·校级期中）如图，已知点D是BC的中点，AE，AF分别是△ABC的角平分线、高线，则下列结论错误的是（）A．S△ABC＝2S△ABE B．BD＝CD C．∠AFC＝90° D．∠BAE＝∠CAE题型七三角形的角平分线、高有关的计算1．（2025·海安市·校级月考）AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，若∠BAC＝100°，则∠ADE＝°．2．（2025·南京·校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝．3．（2025·秦淮区·校级作业）如图，在△ABC中，CD是高，CE是角平分线，BC＞AC．若∠BAC＝α，∠B＝β，则∠DCE＝．（用含有α，β的式子表示）题型八三角形的中线有关的计算1．（2025·宿城区·校级月考）如图，在△ABC中，AB＞AC，D是BC边上的中点，AB＝10，△ABD与△ADC的周长之差为2，则AC的长为（）A．6 B．7 C．8 D．92．（2025·邗江区·期中）如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，若△ABC的面积为20cm2，则△CDE的面积为（）A．10cm2 B．6cm2 C．5cm2 D．4cm23．（2025·泰兴市·月考）如图，在△ABC中，已知D，E，F分别是边AC，BD，CE的中点，且阴影部分图形的面积为7，则△ABC的面积为（）A．14 B．21 C．28 D．324．（2025·宿城区·校级月考）如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，S△ABC＝48，则S△DEF的值为（）A．6 B．8 C．10 D．125．（2025·鼓楼区·校级作业）如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点，则阴影部分的面积为．6．（2025·秦淮区·校级作业）如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF交于点G．若AG：GD＝2：1，S△ABC＝18，则图中阴影部分的面积和为．题型一三角形的三边关系综合1．（2025·扬州·校级月考）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若△ABC是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为．2．（2025·苏州·校级月考）已知a，b，c是△ABC的三边．（1）若a＝2，b＝5，求第三边c的取值范围；（2）若a＝2，b＝5，第三边c为奇数，判断△ABC的形状；（3）化简|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|．3．（2025·惠山区·校级月考）已知a，b，c是△ABC的三边．（1）化简|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|；（2）若a和b满足方程组a+2b=122a−b=−1，且c4．（2025·宜兴市·校级月考）已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．（1）化简代数式：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|＝．（2）若AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为9和18两部分，求腰长AB．5．（2025·盐都区·月考）【问题探究】数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系．小明进行了以下探究；已知，如图，△ABC中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：AB+AC＞BC，AB+BC＞AC，BC+AC＞AB，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边．小红在小明的基础上进行了补充：若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形．【问题解决】（1）三角形的三边长分别为x+4，x﹣1，x﹣2，求x的取值范围；（2）一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值；（3）在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，已知这个三角形的周长不大于30，求AB的长度范围．题型二三角形的中线、角平分线、高有关的计算综合1．（2025·苏州·月考）如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AD为BC边上的中线．DF为△ABD中AB边上的高线．已知AB＝12cm，AC＝10cm，△ABC的面积为48cm2．（1）求△ABD与△ACD的周长之差；（2）求DF的长．2．（2025·海州区·校级月考）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线．（1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数；（2）若BC﹣AB＝9，求△BCF与△BAF的周长之差．3．（2025·宿城区·校级月考）如图，在△ABC中，BE是△ABC的角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O．（1）若CD是中线，BC＝7，AC＝5，则△BCD与△ACD的周长差为；（2）若∠A＝80°，CD是角平分线，求∠BOC＝；（3）若∠ABC＝62°，CD是高，求∠BOC的度数．题型一三角形的三边关系探究题1．（2025·江阴市·校级月考）综合实践：在学完三角形三边关系后，深入研究发现：【直接应用】如图，在△ABC中，点D在边BC上，求证：AC+CB＞AD+DB．【深化应用】若已知P是△ABC内任意一点．连接PA，PB，求证：AC+BC＞PA+PB．【拓展应用】如图，P是△ABC内任意一点，连接PA，PB，PC，若△ABC的周长为10，则PA+PB+PC的取值范围是．题型二三角形的面积问题综合1．（2025·惠山区·校级期末）如图，△ABC中，BC＝6，点D、E分别是CB、AB上的点，CD＝2BD，AE＝BE，连接AD、CE交于点F．当四边形BEFD的面积为7时，则线段AB长度的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．102．（2025·南京·竞赛）如图，在△ABC中，E，F分别为CA，AB上的动点，连接BE，CF，相交于点P，连接EF，AP，若△ABC的面积是△AEF的面积的6倍，且△APE的面积为405，求△BCE的面积．

1.1三角形中的线段和角题型一判断三条线段能否围成三角形1．（2025·东海县·期末）以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（）A．2cm，2cm，4cm B．8cm，6cm，4cm C．12cm，5cm，6cm D．2cm，3cm，6cm【答案】B【详解】解：A、2+2＝4，不能构成三角形，故A不合题意；B、6+4＞8，能构成三角形，故B符合题意；C、5+6＜12，不能构成三角形，故C不合题意；D、2+3＜6，不能构成三角形，故D不合题意．故选：B．2．（2025·昆山市·校级月考）以下长度的三条线段，不能组成三角形的是（）A．5、8、2 B．2、5、4 C．4、3、5 D．8、14、7【答案】A【详解】解：2+7＜8，A不能组成三角形，符合题意；2+4＞5，B不能组成三角形，不合题意；4+3＞5，C能组成三角形，不合题意；8+7＞14，D能组成三角形，不合题意．故选：A．3．（2026·连云港·模拟）学具盒中装有四根长度分别为1cm、3cm、4cm和5cm的细木棒，小明手中有一根长度为3cm的细木棒，现从盒中取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起组成三角形，则不同的取法有（）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种【答案】B【详解】解：列表得：第1根长度第2根长度131415343545从四根细木棒中取两根细木棒的所有可能情况共有6种，能组成三角形有（1，3）、（3，4）、（3，5）、（4，5）共有4种．故选：B．题型二根据三角形三边关系求边长1．（2025·天宁区·期中）小亮有两根长度为5cm和9cm的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（）A．3cm B．4cm C．9cm D．16cm【答案】C【详解】解：由三角形三边关系可知：第三边的取值范围为：9﹣5＜x＜9+5，即4＜x＜14．故选：C．2．（2025·仪征市·期末）已知一个三角形的两边长为4和9，则第三边长不可能是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【详解】解：设第三边长为x，∵三角形两边长为4和9，∴9﹣4＜x＜9+4，解得：5＜x＜13，∴只有选项A符合题意．故选：A．3．（2025·句容市·月考）一个三角形的两条边长分别为5和7，那么第三条边x的范围是．【答案】2＜x＜12【详解】解：∵三角形的两边长分别是5和7，∴7﹣5＜x＜7+5，即2＜x＜12，∴第三边长x的取值范围是2＜x＜12．故答案为：2＜x＜12．4．（2025·靖江市·月考）已知三角形的三边长分别为3，3a﹣1，8．则正整数a的值可以是．【答案】3【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，3a﹣1，8，∴根据三角形的三边关系可得：8﹣3＜3a﹣1＜8+3，解得：2＜a＜4．故答案为：3．5．（2025·苏州·校级期中）已知三角形的三边分别为2，x，13，若x为奇数，则这个三角形的形状是．【答案】等腰三角形【详解】解：由三角形三边关系定理可得：13﹣2＜x＜13+2，∴11＜x＜15，∵x为奇数，∴x＝13，∴这个三角形的形状是等腰三角形．故答案为：等腰三角形．题型三根据三角形三边关系进行化简1．（2025·无锡·校级月考）已知△ABC的三边a、b、c，则化简|b﹣c﹣a|﹣|a+b﹣c|的值是．【答案】2c﹣2b【详解】解：∵三角形三边的长是a、b、c，∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，∴|b﹣c﹣a|﹣|a+b﹣c|＝a+c﹣b﹣a﹣b+c＝2c﹣2b．故答案为：2c﹣2b．2．（2025·靖江市·校级月考）设△ABC三边长分别为a，b，c，则|a﹣b﹣c|﹣|b+a﹣c|＝．【答案】﹣2a+2c【详解】解：∵三角形三边的长是a、b、c，∴a﹣b﹣c＜0，b+a﹣c＞0，∴|a﹣b﹣c|﹣|b+a﹣c|＝﹣a+b+c﹣b﹣a+c＝﹣2a+2c．故答案为：﹣2a+2c．题型四根据三角形三边关系进行证明1．（2025·宜兴市·校级月考）如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，且AC，BD相交于点O．求证：AB+CD＜AC+BD．【答案】证明详见解析．【详解】证明：在△AOB中，AB＜OA+OB，在△COD中，CD＜OC+OD，∴AB+CD＜OA+OB+OC+OD，∴AB+CD＜AC+BD．题型五大边对大角，大角对大边1．（2025·盐城·期末）在△ABC中，如果AB＞AC＞BC，那么∠A，∠B，∠C的大小关系为（）A．∠A＞∠B＞∠C B．∠C＞∠B＞∠A C．∠B＞∠C＞∠A D．无法判断【答案】B【详解】解：∵AB＞AC＞BC，∴∠C＞∠B＞∠A．故选：B．2．（2025·邗江区·校级期中）在△ABC中，若AB＞AC＞BC，且∠C＝87°，则△ABC一定是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】A【详解】解：∵AB＞AC＞BC，∴∠C是最大角，∵∠C＝87°是锐角，∴△ABC一定是锐角三角形．故选：A．3．（2025·扬州·期末）在△ABC中，AB＝5，AC＝4，则∠B∠C．（填“＞”“＜”或“＝”）【答案】＜【详解】解：∵在△ABC中，AB＝5，AC＝4，即AB＞AC，∴∠B＜∠C．故答案为：＜．4．（2025·栖霞区·校级月考）（1）如图，在△ABC中，点D在边BC上．求证：AC+CB＞AD+DB；（2）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D在AB上，比较AC，CD的大小，并说明理由．【答案】（1）证明详见解析；（2）AC＞CD，理由详见解析．【详解】证明：（1）∵AC+CD＞AD，∴AC+CD+BD＞AD+BD，∴AC+BC＞AD+BD；（2）AC＞CD，理由如下：∵∠B＝90°，∴∠B＞∠A，∵∠ADC＞∠B，∴∠ADC＞∠A，∴AC＞CD．题型六三角形的中线、角平分线、高有关的概念辨析1．（2025·姜堰区·期中）如图，在△ABC中，BC边上的高为（）A．CE B．AF C．DB D．AB【答案】B【详解】解：在△ABC中，BC边上的高为AF．故选：B．2．（2025·常州·校级月考）如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是△ABC的高的是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：选项D中的AD是△ABC的高．故选：D．3．（2025·宜兴市·期中）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（）A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形【答案】B【详解】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．故选：B．4．（2025·锡山区·二模）如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（）A．AB＝2BF B．AE＝BE C．∠ACE=12∠ACB D．【答案】B【详解】解：A、∵CF是边AB的中线，∴AB＝2BF，正确，不合题意；B、无法证明AE＝BE，说法错误，符合题意；C、∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE=12∠D、∵CD是△ABC的高，∴CD⊥AB，正确，不合题意．故选：B．5．（2026·新吴区·校级期中）如图，已知点D是BC的中点，AE，AF分别是△ABC的角平分线、高线，则下列结论错误的是（）A．S△ABC＝2S△ABE B．BD＝CD C．∠AFC＝90° D．∠BAE＝∠CAE【答案】A【详解】解：A、∵AE不是中线，∴BE≠1∵S△ABC=1∴S△ABC≠2S△ABE，该选项错误，符合题意；B、∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，该选项正确，不合题意；C、∵AF是△ABC的高线，∴∠AFC＝90°，该选项正确，不合题意；D、∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，该选项正确，不合题意．故选：A．题型七三角形的角平分线、高有关的计算1．（2025·海安市·校级月考）AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，若∠BAC＝100°，则∠ADE＝°．【答案】50【详解】解：如图，∵AD为△ABC的角平分线，∠BAC＝100°，∴∠BAD＝∠CAD=1∵DE∥AB，∴∠ADE＝∠BAD＝50°．故答案为：50．2．（2025·南京·校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝．【答案】50°【详解】解：∵AE平分∠BAC，∴∠1＝∠EAD+∠2，∴∠EAD＝∠1﹣∠2＝30°﹣20°＝10°，∵AD⊥BC，∴∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣30°﹣10°＝50°．故答案为：50°．3．（2025·秦淮区·校级作业）如图，在△ABC中，CD是高，CE是角平分线，BC＞AC．若∠BAC＝α，∠B＝β，则∠DCE＝．（用含有α，β的式子表示）【答案】1【详解】解：∵∠ACB＝180°﹣（∠BAC+∠B）＝180°﹣（α+β），∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE=12∠∵CD是高线，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠BAC＝90°﹣α，∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD＝90°−12(α+故答案为：12题型八三角形的中线有关的计算1．（2025·宿城区·校级月考）如图，在△ABC中，AB＞AC，D是BC边上的中点，AB＝10，△ABD与△ADC的周长之差为2，则AC的长为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【详解】解：∵D是BC边上的中点，∴BD＝CD，∵△ABD与△ADC的周长之差为2，∴（AB+AD+BD）﹣（AC+CD+AD）＝2，即AB+AD+BD﹣AC﹣CD﹣AD＝2，∴AB﹣AC＝2，∵AB＝10，∴AC＝AB﹣2＝10﹣2＝8．故选：C．2．（2025·邗江区·期中）如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，若△ABC的面积为20cm2，则△CDE的面积为（）A．10cm2 B．6cm2 C．5cm2 D．4cm2【答案】C【详解】解：∵AD是△ABC的中线，∴S△ACD∵CE是△ACD的中线，∴S△CDE故选：C．3．（2025·泰兴市·月考）如图，在△ABC中，已知D，E，F分别是边AC，BD，CE的中点，且阴影部分图形的面积为7，则△ABC的面积为（）A．14 B．21 C．28 D．32【答案】C【详解】解：∵点E是BD的中点，∴S△ABE=12S△ABD，S△BCE=12∴S△ABE+S△BCE=12S△∴S△ACE=12S△∵点F是CE的中点，∴S△AEF=12S△∴S△ABC＝4S△AEF＝4×7＝28．故选：C．4．（2025·宿城区·校级月考）如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，S△ABC＝48，则S△DEF的值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【详解】解：如图，连接CD，∵D是AG的中点，∴S△ABD=12S△ABG，S△ACD=12∴S△ABD+S△ACD=12（S△ABG+S△ACG）=12S∴S△BCD＝S△ABC﹣（S△ABD+S△ACD）＝48﹣24＝24，∵E是BD的中点，∴S△CDE=12S△BCD∵F是CE的中点，∴S△DEF=12S△CDE故选：A．5．（2025·鼓楼区·校级作业）如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点，则阴影部分的面积为．【答案】10【详解】解：如图，连接AE，BF，CD，∵点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点，∴AD＝DF，BE＝ED，∴S△ADE＝S△ABE，S△FBE＝S△FDE，同理可得：△ABC被分为7个面积相同的三角形，∴阴影部分的三角形的面积是△ABC的面积的17∵△ABC的面积为10，∴阴影部分的面积是107故答案为：1076．（2025·秦淮区·校级作业）如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF交于点G．若AG：GD＝2：1，S△ABC＝18，则图中阴影部分的面积和为．【答案】6【详解】解：由题意可得：S△ABD∵AG：GD＝2：1，∴S△ABG=2∵BE、CF是△ABC的中线，∴E、F是AB、AC的中点，∴S△BFG=1∴S阴影＝S△BFG+S△CEG＝3+3＝6．故答案为：6．题型一三角形的三边关系综合1．（2025·扬州·校级月考）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若△ABC是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为．【答案】3或8【详解】解：设三角形第三边的长是x，由三角形三边关系定理可得：6﹣4＜x＜6+4，∴2＜x＜10，若2x＝4，则x＝2；若2x＝6，则x＝3；若x＝2×4，则x＝8；若x＝2×6，则x＝12；∵2＜x＜10，∴三角形第三边的长是3或8．故答案为：3或8．2．（2025·苏州·校级月考）已知a，b，c是△ABC的三边．（1）若a＝2，b＝5，求第三边c的取值范围；（2）若a＝2，b＝5，第三边c为奇数，判断△ABC的形状；（3）化简|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|．【答案】（1）3＜c＜7；（2）等腰三角形；（3）2b【详解】解：（1）由三角形三边关系定理可得：5﹣2＜c＜5+2，∴3＜c＜7；（2）由（1）可知：3＜c＜7，∵第三边c为奇数，∴c＝5＝b，∴△ABC为等腰三角形；（3）由三角形三边关系定理可得：a+b＞c，a＜b+c，∴a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，∴|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|＝a+b﹣c+[﹣（a﹣b﹣c）]＝a+b﹣c﹣a+b+c＝2b．3．（2025·惠山区·校级月考）已知a，b，c是△ABC的三边．（1）化简|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|；（2）若a和b满足方程组a+2b=122a−b=−1，且c【答案】（1）2c；（2）11或13【详解】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边，∴a+c＞b，b+c＞a，∴a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，∴|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|＝（a﹣b+c）﹣（a﹣b﹣c）＝a﹣b+c﹣a+b+c＝2c；（2）解方程组a+2b=122a−b=−1，解得：a=2由三角形的三边关系可得：5﹣2＜c＜2+5，即3＜c＜7，∵c为偶数，∴c＝4或6，当c＝4时，三角形的三边为2，5，4，2+4＞5，能够成三角形；当c＝6时，三角形的三边为2，5，6，2+5＞6，能够成三角形；∴这个三角形的周长为2+5+4＝11或2+5+6＝13．4．（2025·宜兴市·校级月考）已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．（1）化简代数式：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|＝．（2）若AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为9和18两部分，求腰长AB．【答案】（1）2a；（2）12．【详解】解：（1）∵∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，∴a+b＞c，a+c＞b，∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，∴原式＝a+b﹣c+（﹣b+a+c）＝a+b﹣c﹣b+a+c＝2a，故答案为：2a；（2）如图，设AD＝CD＝x，BC＝y，则AB＝AC＝2x，∵中线BD把三角形的周长分为9和18两部分，∴AB+AD=9CD+BC=18或AB+AD=18即3x=9x+y=18或3x=18x+y=9，解得：x=3y=15当x＝3时，三边为6、6、15，6+6＜15，不符合三角形三边关系，舍去；当x＝6时，三边为12、12、3，此时腰长为12，符合题意；综上，等腰三角形的腰长AB为12．5．（2025·盐都区·月考）【问题探究】数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系．小明进行了以下探究；已知，如图，△ABC中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：AB+AC＞BC，AB+BC＞AC，BC+AC＞AB，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边．小红在小明的基础上进行了补充：若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形．【问题解决】（1）三角形的三边长分别为x+4，x﹣1，x﹣2，求x的取值范围；（2）一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值；（3）在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，已知这个三角形的周长不大于30，求AB的长度范围．【答案】（1）x＞7；（2）4；（3）5＜AB≤10．【详解】解：（1）∵三角形的三边长分别为x+4，x﹣1，x﹣2，∴x﹣2+x﹣1＞x+4，解得：x＞7；（2）设最短的边的长度为x，较长边的长度为x+3，由题意可得：x+x+3＞10，解得：x＞7∵一个三角形的三边长都是整数，∴该三角形最短边的最小值4；（3）设AB＝AC＝x，由题意可得：2x＞102x+10≤30，解得：5＜AB题型二三角形的中线、角平分线、高有关的计算综合1．（2025·苏州·月考）如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AD为BC边上的中线．DF为△ABD中AB边上的高线．已知AB＝12cm，AC＝10cm，△ABC的面积为48cm2．（1）求△ABD与△ACD的周长之差；（2）求DF的长．【答案】（1）2cm；（2）4cm．【详解】解：（1）∵AD为BC边上的中线，∴BD＝DC，∴△ABD与△ACD的周长之差为：（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝12﹣10＝2（cm）；（2）∵△ABC的面积为48cm2，AD为BC边上的中线，∴△ABD的面积为24cm2，∵DF为△ABD中AB边上的高线，∴S△ABD=12AB·∴12×12×∴DF＝4．2．（2025·海州区·校级月考）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线．（1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数；（2）若BC﹣AB＝9，求△BCF与△BAF的周长之差．【答案】（1）50°；（2）9．【详解】解：（1）∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣65°＝25°，∵CE是△ABC的角平分线，∴∠BCE=12∠ACB∴∠AEC＝∠ABD+∠BCE＝50°；（2）∵BF是△ABC的中线，∴AF＝CF，∴BC+BF+CF﹣（AB+AF+BF）＝BC﹣AB＝9，∴△BCF与△BAF的周长之差为9．3．（2025·宿城区·校级月考）如图，在△ABC中，BE是△ABC的角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O．（1）若CD是中线，BC＝7，AC＝5，则△BCD与△ACD的周长差为；（2）若∠A＝80°，CD是角平分线，求∠BOC＝；（3）若∠ABC＝62°，CD是高，求∠BOC的度数．【答案】（1）2；（2）130°；（3）121°．【详解】解：（1）∵CD是AB的中线，∴AD＝DB，∵BC＝7，AC＝5，∴△BCD与△ACD的周长差为：（BC+CD+BD）﹣（AC+CD+AD）＝BC﹣AC＝2，故答案为：2；（2）∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，∵BE是△ABC的角平分线，CD是角平分线，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=1∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°，故答案为：130°；（3）∵CD是高，∴∠CDB＝90°，∵∠ABC＝62°，∴∠BCD＝90°﹣62°＝28°，∵B