苏科版数学 1.3 全等三角形的判定（第6课时 直角三角形全等的判定） 教案

1.3全等三角形的判定（第6课时直角三角形全等的判定）（教学设计）1.教学内容本节选自苏科版2024八年级数学上册第一章“三角形”中“1.3全等三角形的判定”的第6课时，核心知识点是直角三角形全等的判定（简称HL）。通过该内容的教学，学生需在掌握一般三角形全等判定基础上，进一步理解并运用“直角、斜边和直角边”这一特殊判定条件，认识到在判定直角三角形全等时，直角共有且斜边与直角边对应相等是最简洁、有效的依据。2.内容解析直角三角形全等的“HL”判定是几何中极具特色的内容，强调了三角形全等判定在特殊情况下的简化。一方面由“斜边＋直角边”可唯一确定直角三角形，体现了几何构造的确定性与严谨性；另一方面，又能帮助学生更灵活地使用全等思想解决平行、对称、长度相等等综合问题。教学重点在于让学生理解HL判定的前提条件：“直角”与“对应边相等”的合理性，并能通过推理与作图验证，培养空间观念与逻辑思维能力。1.教学目标（1）探索并掌握直角三角形全等的“斜边、直角边”条件，并能利用该条件判定直角三角形全等，发展推理能力。（2）会利用基本作图方法作三角形：已知一直角边和斜边作直角三角形，理解尺规作图的基本原理和方法，发展空间观念。2.目标解析•通过操作与观察，学生能准确识别并表述直角三角形全等的HL判定条件，完成几何推理与说明，并能将该判定与SAS、ASA等方法相区分。

•能根据“已知一直角边和斜边”的信息，用尺规作出所需直角三角形；在此过程中，理解“特殊条件下唯一确定图形”的原理，建立作图与几何推理的对应联系。多数学生已初步掌握三角形全等的四种一般判定（SSS、SAS、ASA、AAS），对判定过程中的对应元素、操作步骤较为熟悉，但对“直角”这一特殊条件下的简化还不够敏感。运用HL判定时，如何明确“直角”为已知条件并正确匹配斜边、直角边是难点；同时，学生对几何作图技能尚需加强。在教学中应通过实例、动手实践与讨论，让他们深刻体会该方法简便之处，并巩固几何推理的完整性。创设情景，引入新课1.教师展示情境：出示一个墙角三角形置物架的图片，说明此置物架因破损需要更换，但工人师傅仅测量了“斜边和一条直角边”就能做出完全契合的新置物架，向学生提出问题：

“为什么只要知道『斜边+一直角边』就能够确定这个直角三角形呢？你有什么想法？”2. 引导学生思考：

“判断两个直角三角形全等需要几个条件？为什么？”

“因为直角相等，所以还需要哪两个条件？”

“两个锐角对应相等可行吗？一边一角呢？两条边呢？”3. 师生交流，总结已有的“全等三角形判定方法”，引导学生回顾“ASA、AAS、SAS”等，并提出：

“在直角三角形中，如果知道了哪两个条件，就能确定它的形状和大小？”【设计意图】通过真实生活情境（置物架的修理）激发学生的好奇心，强调只需量取“斜边和一条直角边”就能制作新置物架的事实，为新课学习埋下伏笔；同时简要回顾已有的三角形全等判定，为后续探究“HL”做知识铺垫。探究点：斜边和一条直角边的作图探究1.问题引入如图，给定直角三角形ABC（Rt△ABC），按下列作法，在透明纸上用直尺和圆规作△作法：1．作∠PC′Q＝90°．2．在射线C′P上截取A′C′＝AC．3．作A′B′＝AB，交射线CQ'于点B'.Rt△A'B′C′即为所求.2. 新知导出组织学生讨论：作出的Rt△A'B'C'是否与给定的引导学生观察：通过把△ABC和△A'B'如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.将△ABC和△A′B′C′分别沿BC和B′C′翻折，得到△ABP和△A'B′Q.在△ABP和△A'B′Q中，

AB∴△ABP≌△A'B′Q(SSS).∴∠A＝∠A'.在Rt△ABC和Rt△A'B′C′中，

AB∴Rt△ABC≌Rt△A'B′C′(SAS).结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“HL”).符号语言：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，如果AB那么Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).【设计意图】让学生亲身经历“动手→验证→抽象规律”的过程，培养操作及空间思维能力，同时进一步深化斜边和直角边对应相等时可确定直角三角形全等的本质原因。典例分析例1：如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90“分析：1. AO与BO，CO与DO分别属于哪两个三角形？2. 证△AOC≅△3. AC、BD还属于哪两个三角形？”证明：在△ABC和△BAD中，∠C＝∠D＝90°,BC∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴AC＝BD.在△AOC和△BOD中，∠C∴△AOC≌△BOD，∴AO＝BO，CO＝DO.【解析思路】①从已知∠C、∠D均为直角出发，引导学生认识“HL”的适用前提：必须是直角三角形；

②若能在“大三角形”层面利用HL得到对应边相等，则可在“小三角形”层面进一步推知对应边相等；

③对比分析，层层递进，突出变式：如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90∘证明：在△AOC和△BOD中，∠C∴△AOC≌△BOD(AAS)∴AO＝BO，CO＝DO.∴AO＋DO＝BO＋CO.即AD＝BC.例2：如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD=AF，AC=AE,求证：证明：∵AD，AF分别是△ABC和△ABE的高，∴∠ADB＝∠AFB＝90°．在Rt△ADC和Rt△AFE中，AD∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）.∴CD＝EF.在Rt△ADB和Rt△AFB中，AB∴Rt△ADB≌Rt△AFB（HL）.∴BD＝BF．∴BD－CD＝BF－EF．即BC＝BE．【解析思路】①运用“HL”分别证得两对直角三角形全等，从而得到各自的对应边相等；

②再由差等式推导出BC=BE；

③让学生感受在几何问题中巧妙运用“HL”，可简化推理过程。师生活动：o教师：重点讲解如何判定这是直角三角形，怎样找到“斜边”和“直角边”，以及“HL”判定的使用过程；通过“差等式”或“补等式”体现几何推理的灵活性。o学生：在教师引导下，完成对例题的“线索标记→写出已知和所求→合理利用‘HL’定理推导”系列过程，并进行小组交流。【设计意图】通过典型例题（直角三角形的判定与几何推理），让学生真切感受到HL判定方法在解题中的高效与简洁，为后续灵活运用及举一反三奠定坚实基础，培养学生分析、推理、归纳等综合数学素养。1.如图，方格纸中有格点A，B，C，D，以其中的三个点为顶点，画出所有的直角三角形，并找出其中全等的直角三角形。Rt【设计意图】以方格纸为背景，帮助学生从实际操作、测量中验证HL判定。让学生在动手绘制、观察的过程中加深对“直角三角形全等”条件的直观理解。2.如图，AC⊥CB，AD⊥DB，要证明△ACB≅解：∵AC⊥CB,;AD⊥DB,∴∠C=∠D=90∘,又

AB=AB,当添加条件AD=AC或BD=BC，可用HL证明△ABC≅△ABD；

当添加条件∠【设计意图】通过添加必要条件，让学生进一步理解HL判定的前提：直角三角形及相应元素相等。也提示学生“一个条件用来确定直角或锐角，一个条件用来限定对应边，缺一不可”。3.如图，AD=BC，CA⊥AB，AC⊥CD，求证：AD∥BC。证明：∵CA⊥AB，AC⊥CD，∴∠BAC＝∠DCA＝90°.在Rt△BAC和Rt△DCA中AC∴Rt△BAC≌Rt△DCA（HL）.∴∠ACB=∠DAC，∴AD∥BC.【设计意图】本题除了考查HL判定外，还自然引入了“内错角相等则两直线平行”的推理。学生可由此进一步深化对几何推理链条“全等—对应角相等—平行”之间内在逻辑的理解。1. 通过问题情境“墙角置物架坏了”的引入，学生直观感受到“斜边和一条直角边”在确定直角三角形形状中的作用。2. 探究并得出两条判定：在直角三角形中，如果斜边和一条直角边分别相等，则两个直角三角形全等（HL）；在直角三角形中，如果满足其他相应的两边、两角等条件，也能判定全等。3. 学会利用尺规作图：从已知的斜边与直角边作出所需直角三角形，进一步理解直角、斜边等几何元素之间的关系。【板书设计】1. 课题：直角三角形全等的判定（HL）2. 主要内容：

1引入情境：置物架修理

2直角三角形全等判定回顾（AAS,ASA,SAS等）

3HL判定定理：斜边+一条直角边

4典型例题与变式

5作图实践与综合应用1. 完成教材相关习题中关于HL判定的基础题，重点关注利用HL判定证明直角三角形全等的步骤与书写。2. 选做：根据“已知斜边和任一直角边”在方格纸上作一个直角三角形，并标注作图步骤。3. 预习：查阅对AAS、ASA在直角三角形全等中的应用，为下节课对比学习作准备。本节课围绕“HL判定”这一核心目标展开，学生对“斜边+直角边可以唯一确定直角三角形”的概念理解较为透彻。