2026年湖南高中学业水平合格性考试数学试卷试题(含答案详解)

2026年湖南高中学业水平合格性考试数学试卷试题(含答案详解)一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6}已知复数z满足z(1+i)=2i（i为虚数单位），则z的共轭复数z=

A.1+i函数f(x)=x−1+1x−2的定义域是

A.[已知平面向量a=(2,1)，b=(1,m)，若a⟂b，则实数m的值为

A.函数f(x)=2sinπ2x+π3的最小正周期为

A.1过点(1,2)且斜率为1的直线方程为

A.x−y+1=0B.某中学为了解高一年级800名学生的数学学业水平模拟考试成绩，从中抽取了100名学生的成绩进行统计分析，下列说法正确的是A.800名学生是总体B.每名学生是个体C.抽取的100名学生是一个样本D.样本量是100已知直线l垂直于平面α，直线m在平面α内，则下列结论一定成立的是

A.l∥mB.l⟂mC.l与m异面D.已知a=log23，b=20.5，c=0.52，则a,b,c的大小关系是

A.不等式x2−3x−4<0的解集为

A.(−4,1抛掷一枚质地均匀的骰子一次，观察向上的点数，则点数为偶数的概率是A.16B.13C.12D.23

12.sin210∘的值是

A.12B.−12C.32D.−32

13.圆心为(1,−2)，半径为3的圆的标准方程是

A.(x−1)2+C.充要条件D.既不充分也不必要条件下列函数中，是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递增的是

A.f(x)=x3已知某正方体的表面积为24，则该正方体的体积为A.4B.8C.16D.64

17.将函数y=sinx的图像上所有点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移π6个单位长度，最终得到的图像对应的函数解析式为

A.y=sin2x+π3B.y=sin2x+π6

C.y=sin12x+π3D.y=sin已知幂函数f(x)=x已知平面向量a=(1,2某学校有高一学生600人，高二学生500人，高三学生400人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取30人进行学业水平备考调研，则应从高一学生中抽取的人数为______。已知圆C:x2+y2=4，直线l:23.（本小题满分10分）已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x−1。

（1）化简f(x)的解析式，并求f某中学为了解高二年级学生的数学学业水平备考情况，从高二年级随机抽取了100名学生的一次数学模拟考试成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数），将成绩分成六组：[40,50),[50,60),如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⟂平面ABCD，PA=AB=2参考答案及详细解析一、选择题（每小题3分，共54分）1.【答案】A【解析】本题考查集合的交集运算。交集是由两个集合的公共元素构成的集合，集合A与B的公共元素为2、4，故A∩B=【解析】本题考查复数的除法运算与共轭复数概念。对z进行化简：z=2i1+【解析】本题考查函数定义域的求解。函数有意义需满足偶次根式被开方数非负、分式分母不为0，即x−1≥0x−2≠0【解析】本题考查平面向量垂直的坐标表示。两个非零向量垂直等价于数量积为0，即a⋅b=2×【解析】本题考查正弦型函数的最小正周期计算。正弦型函数最小正周期公式为T=2π|ω|，本题中ω=π2【解析】本题考查直线的点斜式方程。由点斜式得y−2=1×【解析】本题考查统计的基本概念。本题的研究对象为学生的考试成绩，因此总体是800名学生的数学模拟成绩，个体是每名学生的数学模拟成绩，样本是抽取的100名学生的数学模拟成绩，样本量为100。易错点为将研究对象误认为学生本身，错选A、B、C选项。8.【答案】B【解析】本题考查直线与平面垂直的性质。若直线垂直于一个平面，则该直线垂直于平面内的任意一条直线，故l⟂m；l与m可能相交也可能异面，位置关系不唯一，但垂直关系恒成立。易错点为误以为l与m一定相交，错选D选项。【解析】本题考查指数式、对数式的大小比较。结合函数单调性分析：a=log23>log222【解析】本题考查一元二次不等式的求解。将不等式因式分解得(x−4)(x+【解析】本题考查古典概型的概率计算。抛掷骰子共有6种等可能的点数结果，其中偶数点数为2、4、6共3种，故概率为36=1【解析】本题考查三角函数诱导公式。根据诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”，sin210∘=【解析】本题考查圆的标准方程。圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)【解析】本题考查充分条件与必要条件的判断。若x>2则一定有x>1，充分性成立；若x>1不一定有x>【解析】本题考查函数的奇偶性与单调性。选项A中f(x)=x3为奇函数；选项B中f(x)=x【解析】本题考查正方体的表面积与体积公式。正方体表面积为6个正方形面的面积和，故单个面的面积为24÷6=4，可得正方体棱长为2，因此体积为【解析】本题考查三角函数的图像变换。横坐标缩短为原来的12，即x替换为2x，得到y=sin2x的图像；向左平移π6个单位，即x替换为x+π【解析】本题考查等差数列的通项公式。根据等差数列通项公式，，，故，代入，解得。易错点为通项公式项数计算错误，导致公差求解失误。

二、填空题（每小题4分，共16分）

19.【答案】3a3=a1【解析】本题考查幂函数的解析式求解。将点(2,8)代入幂函数解析式得2α=8=23，故α=3【解析】本题考查分层抽样的计算。全校总人数为人，抽样比为，因此高一应抽取的人数为。

22.【答案】

【解析】本题考查直线与圆的位置关系。圆的圆心为，半径为2，直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径。由点到直线的距离公式，圆心到的距离为，解得。易错点为漏去负根，只写。

三、解答题（共30分）

23.（本小题满分10分）600+500+400=1500301500=解：（1）由二倍角公式与辅助角公式化简：

函数解析式中ω=2，故最小正周期T=2πω

因为A为三角形内角，故0<A<π，即2A+π4∈π4,9π4，因此

又因为b<a，故B<A=π224.（本小题满分10分）解：（1）成绩在[80,90)的频率为0.25，在[90,100]的频率为0.05，故成绩在[80,100]的总频率为0.25+0.05=0.3，（2分）

总抽取人数为100人，因此该区间的学生人数为100×0.3=30人。（4分）

（2）成绩在25.（本小题满分10分）（1）证明：连接BD，交AC于点O，连接EO。（1分）

因为底面ABCD为矩形，矩形对角线互相平分，故O为BD的中点。（2分）

又E为PD的中点，因此在△PBD中，EO为中位线，故EO∥PB。（4分）

因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面A