非线性系统控制理论-第6课 稳定性（一）

CHAPTER04·第六讲STABILITYFUNDAMENTALS非线性系统控制理论第4章稳定性（一）基本概念与局部稳定性§4.1–§4.2课程非线性系统控制理论32学时·共16次课·每次2学时本讲内容Lyapunov稳定性定义·局部与全局·线性化判定§4.1–§4.2第6次课·共16次本次课主要内容从"稳定是什么"到"线性化能不能判定"·§4.1–§4.2·2个学时4.1稳定性问题的工程意义与系统设定为什么"稳定"是控制系统的基本前提；自治系统x˙=f(x)、f(0)=0；状态反馈将非自治化为自治。4.1Lyapunov稳定性·渐近稳定·指数稳定三组定义刻画"只不出界/最终收敛/指数收敛"；例4.1临界稳定、例4.2渐近但非指数。4.1局部稳定与全局稳定定义4.4全局渐近稳定、定义4.5全局指数稳定；区域D内的结论不能自动外推到全Rn。4.2线性化判定·临界情形·Hartman–Grobman定理4.1三情形：左半开→渐近稳定、右半开→不稳定、虚轴→不能判定；鞍点型平衡点的特殊性。第4章|本次课主要内容Contents第6次课·共16次课02/20上节回顾

与

本次课定位上一讲在频率域里"画"出了极限环，这一讲回到状态空间谈稳定REVIEW第4–5次课·回顾把非线性环节用一阶谐波近似为复增益N(A,ω)，含"基波近似+低通假设"复平面上把G(jω)与−1/N(A)画在一起；两者交点即极限环A增大方向决定稳定性：内→外穿过⇒稳定；外→内穿过⇒不稳定（定理3.1）例3.6理想继电+G=K/[s(s+1)(s+2)]：ω*=√2、A*=2KM/(3π)例3.7范德波尔：ε

越大波形越偏离正弦，近似精度下降→本次课定位前两讲回答的是"非线性会不会产生持续振荡、振荡多大"；

本讲回答"什么叫"平衡点稳定"、稳定有几种、局部能否由线性化判定"。

工具从复平面转向状态空间，从图形交点转向严格定义与定理。本课程分析工具链的推进第4次课描述函数N(A,ω)：把非线性环节做成频率域中的等效复增益第5次课G(jω)=−1/N(A,ω)交截：极限环的存在性、稳定性与幅频预测本次课Lyapunov三定义+局部/全局+线性化判定·Hartman–Grobman下次课§4.3Lyapunov直接方法：构造V(x)证明稳定·不再依赖求解第4章|上节回顾与本次课定位Review&Positioning第4章§4.1–§4.2·回顾与衔接03/20SECTION4.1→4.2STABILITY·CONCEPTS&LINEARIZATION非线性系统控制理论稳定性（一）基本概念与局部稳定性从"系统是否稳定"这一最基本的问题出发：

给出三组严格定义、厘清局部与全局的区别，

最后看线性化在何种条件下能给出局部结论。①定义4.1：Lyapunov稳定·ε–δ几何含义·默认R>r②定义4.2/4.3：渐近稳定vs指数稳定·例4.2渐近但非指数③局部vs全局：定义4.4/4.5·线性化只回答局部问题④§4.2定理4.1：线性化三情形·临界情形与Hartman–Grobman稳定性问题与系统设定为什么需要新概念：非线性系统没有特征值/极点的现成位置可以看本章统一设定：自治系统与原点约定：原点的稳定性=平衡点x=0附近的行为；

实际系统中只要平衡点不在原点，做坐标平移即可。三个关键设定①自治系统+原点为平衡点；状态空间模型式(4-1)②状态反馈把非自治化为自治；本章只研究自治③原点的邻域；稳定性定义中的r即D的半径为什么要"重新定义"稳定线性系统：稳定性=全部特征值位于左半闭平面，且虚轴特征值不重复非线性系统：通常不具有特征值/闭环极点的概念→经典时/频判据失效本章路线：先给严格定义(§4.1)→用线性化给局部结论(§4.2)→用Lyapunov函数给更大范围结论(§4.3+)后续三讲中，局部判据(§4.2线性化)与直接法(§4.3Lyapunov函数)分别承担"快路径"和"通用路径"两个角色。§4.1基本概念|系统设定SystemSetup第4章§4.1·系统设定与统一记号05/20定义4.1·Lyapunov稳定性"给定任意外圈r，总能找到内圈r′，让轨线一辈子待在外圈里"图4-1：r–R圆盘关系含义：从半径r内的初值出发，轨线始终不越过半径R的外圈——

即"对初值的偏离不会无限放大"。定义4.1（李雅普诺夫稳定）对于系统ẋ=f(x)，

若对任意给定正实数R，

总存在正实数r，

使得当‖x(0)‖<r时，必有‖x(t)‖<R，∀t≥0，

则称平衡点x=0是李雅普诺夫稳定的。三点解释①R与r的关系：定义中没有要求R≥r，但R<r时在t≈0会出现‖x(t)‖>R的情况；故默认R>r②若存在某个R>0找不到对应的r>0，则平衡点为"非稳定"③李雅普诺夫稳定只要求"不出界"，不要求"收敛到0"——后者是渐近稳定本科教材中的"临界稳定"（特征值在虚轴、互不重复）在本定义下归为李雅普诺夫稳定；

若虚轴特征值有重复，则归为非稳定。§4.1基本概念|定义4.1LyapunovStable第4章§4.1·Lyapunov稳定06/20例4.1·临界稳定系统特征值在虚轴上但互不重复——线性代数里的"等幅振荡"相轨迹：圆周轨道注：

若取r=R，则‖x(t)‖<R等价于‖x₀‖<r。

正是定义4.1要求的"任意给定R都能找到r"。例4.1（临界稳定）

‖x(t)‖=‖x₀‖=常数；

对任意R>0取r=R，

定义4.1成立⇒李雅普诺夫稳定。临界稳定的两条规则（线性系统）①系统矩阵的全部特征值都在复平面左半闭平面（即实部≤0）②虚轴上的特征值互不重复（Jordan块均为1阶）反例：ẋ₁=x₁，ẋ₂=0，

解为x₁(t)=x₁₀+x₂₀t，x₂(t)=x₂₀。x₁(t)随t线性发散→找不到r⇒非稳定。§4.1基本概念|例4.1MarginallyStable第4章§4.1·临界稳定示例07/20定义4.2·渐近稳定不光"不出界"，还要"最终回到原点"——是控制系统工程上最关心的稳定类型图4-2：渐近稳定示意图注：

渐近稳定的几何含义是"吸引子"——原点对周围轨线有"虹吸效应"。定义4.2（渐近稳定）对于系统ẋ=f(x)，

若平衡点x=0是李雅普诺夫稳定，且则称平衡点x=0为渐近稳定的。渐近稳定的两层含义①"不出界"：由李雅普诺夫稳定保证⇒r-R关系成立②"回到原点"：limx(t)=0；可任意慢，但必须收敛线性系统小结：

系统矩阵所有特征值位于左半开平面⇒渐近稳定；

但本定义中并未限制收敛速率。§4.1基本概念|定义4.2AsymptoticStability第4章§4.1·渐近稳定08/20定义4.3·指数稳定加一条"收敛有速率"：非线性系统中，渐近稳定≠指数稳定例4.2的解曲线：1/√(1+2x₀²t)关键：x(t)=1/√(1+2x₀²t)→0，

但t越大衰减越慢；任意λ>0，√(1+2x₀²t)·e^(−λt)→0⇒不存在满足定义4.3的

α，λ。定义4.3（指数稳定）若存在正实数

α

与λ>0，

使∀x(0)∈D有则称平衡点x=0为指数稳定的。例4.2：渐近稳定但非指数稳定①②③非线性特有现象：

线性系统渐近稳定⇒指数稳定；非线性系统则不然，例4.2即是反例。§4.1基本概念|定义4.3+例4.2ExponentialStability第4章§4.1·指数稳定+例4.209/20局部稳定

与

全局稳定把"对所有初值都成立"这个附加条件，独立成两条更强的定义LOCAL·局部邻域D内的稳定性上述定义4.1、4.2、4.3都默认在D={x:‖x‖<r}内成立；r多大合适，由系统与初值共同决定。含义：D足够小时稳定性都能成立；超出D，结论不再保证。

GLOBAL·全局全Rn上的稳定性定义4.2（4.3）对所有x₀∈ℝⁿ成立：定义4.4（全局渐近稳定）定义4.2对所有x₀∈ℝⁿ成立。定义4.5（全局指数稳定）定义4.3对所有x₀∈ℝⁿ成立。例4.2：ẋ=−x³在所有x₀∈R上limx(t)=0⇒全局渐近稳定（但非指数）。§4.1基本概念|局部vs全局LocalvsGlobal第4章§4.1·局部vs全局10/20三种稳定性类型对照同一组语义、依次加码：不出界→收敛→指数收敛稳定性类型核心要求关键不等式线性系统判据（特征值位置）全局版定义Lyapunov稳定（定义4.1）任意给定R>0都能找到r>0全部特征值位于左半闭平面，且虚轴特征值互不重复—（局部概念，无对应全局版）渐近稳定（定义4.2）Lyapunov稳定+回到原点全部特征值位于左半开平面（实部<0）定义4.4：对所有x₀∈Rn成立指数稳定（定义4.3）加上"指数级"收敛速率与渐近稳定等价；线性系统指数收敛速率=主导极点实部定义4.5：对所有x₀∈Rn成立反例/注意非线性系统：渐近稳定⇏指数稳定若A阵含虚轴上非重复特征值→仅Lyapunov稳定—记忆口诀：稳定⊂渐近⊂指数（线性系统层面是等价；非线性层面后两者真包含）。局部版⊂全局版。§4.1基本概念|定义汇总DefinitionsSummary第4章§4.1·定义汇总11/20

SECTION4.2LINEARIZATION&LOCALSTABILITY非线性系统控制理论线性化与局部稳定性第2章学过的Jacobian线性化只是"近似"；这里把它作为"局部稳定性的存在性判据"。这一节回答三个问题1线性化系统稳定→原非线性系统也稳定吗？2线性化系统不稳定→原非线性系统一定不稳定吗？3线性化系统"临界稳定"→还能下结论吗？定理4.1·李雅普诺夫线性化方法特征值"位置"决定原非线性系统的局部稳定性——三情形判据THEOREM4.1

|李雅普诺夫线性化方法对于非线性系统ẋ=f(x)，其线性化模型ẋ=Ax（A=∂f/∂x|ₓ₌₀）有下列三种情况：情形①Reλᵢ<0·全部在左半开平面前提：线性化系统所有极点都位于左半开平面结论：原非线性系统的平衡点x=0渐近稳定渐近情形②∃λᵢ,Reλᵢ>0·存在右半开平面极点前提：线性化系统存在右半开平面的极点结论：原非线性系统平衡点x=0非稳定非稳定情形③∃λᵢ,Reλᵢ=0·虚轴上有极点前提：线性化系统有极点位于虚轴上结论：原非线性系统稳定性不能由线性化系统得出不能判定定理4.1的地位：局部判据—给出的是平衡点x=0附近的稳定性；

全局行为仍需用Lyapunov直接方法或数值仿真。§4.2线性化|定理4.1LinearizationTheorem第4章§4.2··线性化方法13/20复平面上的三色分区特征值落在哪个区域，决定了原系统是"必然稳定"、"必然发散"还是"看情况"特征值位置→局部稳定性结论说明：

复平面被虚轴切成左右两半，加上虚轴本身共三色区域—对应定理4.1的三种情形。情形①左半开平面所有特征值Reλᵢ<0⇒线性化系统渐近稳定；

存在充分小的邻域，原非线性系统也渐近稳定。情形②右半开平面哪怕只有一个特征值Reλᵢ>0⇒原非线性系统必然非稳定。

这里的"结论方向"和情形①是对称的。情形③虚轴（临界情形）所有特征值都在左半闭平面，但有虚轴上的特征值⇒线性化不能判定。

临界情形需要更高阶项；下页用ẋ=x³与−x³演示。§4.2线性化|三情形图示ThreeCases第4章§4.2·三情形图示14/20例4.3·VanderPol原点的稳定性线性化方法判定"不稳定"——和实际轨线收敛到极限环一致左：相轨迹·右：线性化系统的特征值位置注：VdP系统的原点对应A矩阵特征值落在右半开平面；

按定理4.1情形②，原点非稳定——这与相图上"所有轨线被推到外侧极限环"一致。例4.3系统显然[0,0]ᵀ是系统的一个平衡点（事实上原点附近就是VdP方程）。原点附近线性化特征方程λ²−λ+1=0；

特征值Reλ=1/2>0⇒按定理4.1情形②：

原非线性系统原点非稳定。实际验证：

原VdP系统在原点附近确实不稳定：

所有轨线最终被推到外侧极限环（极限环半径≈2），

不再回到原点—与定理4.1的预测一致。§4.2线性化|例4.3VanderPolExample第4章§4.2·例4.3VanderPol15/20临界情形：ẋ=x³与ẋ=−x³同一个线性化、两个截然不同的实际行为——临界情形失效的经典反例两组相轨迹对比共同点：两个系统的线性化都是ẋ=0；

但实际行为完全不同。反例·同一个线性化ẋ=x³与ẋ=−x³，

在x=0附近线性化都是ẋ=0。高阶项决定真实行为①ẋ=−x³：x(t)=x₀/√(1+2x₀²t)→0；原点渐近稳定②ẋ=x³：x(t)=x₀/√(1−2x₀²t)→有限时间内发散；非稳定为什么：

线性化丢弃了x²、x³等高阶项；

当特征值落在虚轴上时，一阶项正好消失，高阶项"接管"了局部行为—不同的非线性高阶项给出不同的稳定性。§4.2线性化|临界情形CriticalCase第4章§4.2·临界情形x³与−x³16/20Hartman–Grobman定理·几何视角双曲平衡点↔局部等价于线性化；非双曲平衡点↔需要更高阶信息双曲vs非双曲·鞍点与结点对照关键：

鞍点是双曲的（特征值都不在虚轴），线性化正确；中心点是非双曲的，局部行为取决于高阶项。Hartman–Grobman定理（核心思想）若平衡点x=0是双曲的

（即A=∂f/∂x|₀无实部为0的特征值），

则原非线性系统在x=0附近局部拓扑等价于线性化系统ẋ=Ax。双曲vs非双曲①双曲：所有特征值都不在虚轴—线性化方法可靠②非双曲：虚轴上有特征值—线性化方法失效（情形③）中心流形理论：要严格分析非双曲情形，需要构造中心流形再降维—通常比线性化麻烦得多。§4.2线性化|

Hartman–GrobmanHyperbolicvsNon-hyperbolic第4章§4.2·Hartman–Grobman定理17/20三种稳定性判定方法对照求解析解→局部线性化→Lyapunov直接方法——通用性递增，构造难度也递增判定方法适用对象结论范围精度主要难度典型工具解析解法（例4.1、4.2）能求解析解的少数系统全局精确严格（数学证明）能求解析解的系统极少；高阶非线性几乎不可能分离变量/矩阵指数/级数展开局部线性化（定理4.1，§4.2）一般非线性系统原点附近（局部）存在性判据（特征值定方向）临界情形失效；不能给出吸引域大小Jacobian矩阵+特征值Lyapunov直接方法（§4.3，下次课）几乎所有非线性系统局部或全局（看V是否径向无界）构造性证明（找到V即证明）需要"猜"Lyapunov函数V(x)；同一系统可有很多选择能量函数·二次型·Krasovskii方法本讲策略先用线性化快速判方向（快路径），

临界情形或需要更大吸引域时再用Lyapunov直接方法（通用路径）。下讲预告Lyapunov直接方法：构造V(x)，用V沿轨线的单调性替代求解。

一旦学会，本讲所有"局部"结论都能扩展到"全局"。§4.1–§4.2小结|方法对比MethodComparison第4章§4.1–§4.2·方法对比18/20本次课关键收获5个核心要点·从"稳定是什