非线性系统控制理论-第12课 线性系统自适应控制（二）

CHAPTER07·第十二讲ADAPTIVECONTROL·LINEARMRAC非线性系统控制理论第7章线性系统自适应控制（二）自适应控制（二）：一般线性系统MRAC——从相对阶1到鲁棒自适应§7.3–§7.5课程非线性系统控制理论32学时·共16次课·每次2学时本讲内容相对阶1的MRAC·高相对阶与辅助误差信号·死区法与σ修正·参数漂移第12次课·共16次本次课主要内容把一阶结论推到任意阶数，再回答"不确定性不止一种"01相对阶为1的MRACn阶对象与严格正实的参考模型控制律与状态变量滤波器的构造定理7.1：跟踪误差渐近稳定02高相对阶的困难为什么没有系统的方法选Lyapunov函数参考模型需要附加的严格正实条件多项式长除法与阶数账本03辅助误差信号与定理7.2辅助误差与归一化信号的构造估计高频增益的第二个自适应律高相对阶闭环全信号有界04鲁棒自适应控制有界干扰如何让估计参数发散死区法与σ修正的设计与代价三种方案的取舍与工程折中▸承前：上一讲把一阶系统走通了；本讲把结论推到任意阶数与任意相对阶，并直面"参数不确定只是不确定性的一种"。第7章|本次课主要内容Contents·§7.3–§7.5·2学时第12次课·共16次课02/20上节回顾与本次课定位一阶结论很干净，但它只回答了最小的一类问题上节回顾·第11讲§7.1–§7.2一阶对象的模型参考控制：参数已知时精确对消确定等价+Lyapunov设计出的两条自适应律留下的三个缺口①只处理了n=1、相对阶ρ=1的系统；②只给出了跟踪误差渐近稳定，未证明估计参数收敛；③假设里只有"参数不确定"，没有其它种类的不确定性。本讲要把①推到底，把③摆到台面上——而②则是自适应控制结构性的局限。本次课定位·第7章§7.3–§7.51相对阶为1的一般n阶系统控制律仍是一族状态的线性组合，但状态的构造要用参考模型多项式滤波，并借助卡尔曼-雅库布维奇引理证明稳定。2高相对阶：全局没有现成办法相对阶大于1时无法系统性地选Lyapunov函数，只能引入辅助误差信号，用归一化信号把参数漂移压住。3非参数不确定性未建模动态、摩擦、量测噪声、采样延迟都会进来。它们可以把一个原本稳定的自适应闭环推到发散。4鲁棒化的两把工具死区法在小误差时停止更新；σ

修正加一个衰减项。两者都只保证有界，不保证渐近收敛。工具链推进第4章Lyapunov直接方法›第6章

反馈线性化›第11讲

一阶MRAC›本讲

一般线性系统MRAC›第13讲

反步设计第7章|上节回顾与本次课定位Review&Positioning·§7.3第12次课·共16次课03/20SECTION7.3LINEARMRAC·RELATIVEDEGREE1相对阶为1的线性系统MRAC从一阶走到任意n阶，关键的多出一个条件：参考模型必须严格正实01问题设定一般n阶对象与参考模型；四条基本假设：n已知、相对阶已知、最小相位、高频增益符号已知02控制律与状态滤波控制器仍是状态的线性组合，但状态由参考模型多项式对输入与输出滤波后拼成03误差动态状态空间化把跟踪误差写成参考模型的输出，再转成状态方程，为Lyapunov分析铺路04定理7.1与注7.5跟踪误差渐近稳定、全信号有界；参数本身不保证收敛，且不确定量必须为常数被控对象、参考模型与四条基本假设对象里几乎什么都不知道，参考模型却必须知道得很清楚被控对象(7-18)高频增益、多项式系数全为未知常数；两个多项式都是首一多项式，

次数分别为n−1与n；相对阶恰为1。参考模型(7-19)相对阶为1、且严格正实；

两个多项式是首一Hurwitz多项式，高频增益为正。这些量设计者完全掌握。01阶数n已知02相对阶ρ已知（此处ρ=1）03最小相位：零点均在左半平面04高频增益符号已知第四条为什么必须给出符号自适应律里会出现高频增益的符号。若连方向都未知，更新方向可能就是反的，

闭环立刻发散——这是经典MRAC无法回避的前提。第7章|§7.3相对阶为1的线性系统MRACProblemSetup·§7.3§7.305/20控制律：一族滤波状态的线性组合结构照搬上一讲的模型参考控制，只是"真值"换成估计值自适应控制律(7-20)逐项读数待在线更新的参数估计向量输入经参考模型分母滤波得到的状态输出经参考模型分母滤波得到的状态被控对象的内部状态并不需要测量：

控制器看到的全部信息就是这2n个信号，因此这套方案天然是输出反馈结构。从"已知参数"到"在线估计"第一步：参数已知时的模型参考控制↓第二步：确定等价原理，把真值换成估计值结构选择与参数调节被彻底解耦：结构沿用已知情形，

剩下的事只是设计一个让估计值收敛得住的更新律。第7章|§7.3相对阶为1的线性系统MRACControlLaw·§7.3§7.306/20跟踪误差被"参数误差"驱动参考模型非常接近严格正实，正是为了让下面这一步能走下去STEP1写出误差方程的频域形式STEP2转为状态方程(7-21)(7-22)把参考模型的一个最小实现取作误差动态的"骨架"，误差变量e就不再是标量，而是一个n维状态向量。KEY读法误差不是被参考输入驱动的参考输入r已经在"参数真值"和"参数估计值"两条通道里各走一次，

做差时被完全消掉。剩下的唯一激励，就是参数误差项。一个重要推论若参数估计恰好等于真值，等式右端立刻为零，误差恒等于零——这正说明"参数误差"是闭环里唯一需要被压制的量。第7章|§7.3相对阶为1的线性系统MRACErrorDynamics·§7.3§7.307/20用卡尔曼-雅库布维奇引理把V̇变成负定两个矩阵方程，替我们把"正实"这件事翻译成了Lyapunov语言STEP1严格正实⇒存在正定解(7-23)(7-24)参考模型的严格正实性，恰好等价于这样一对正定矩阵存在。STEP2构造备选Lyapunov函数第一项是误差能量，第二项是参数误差能量，两者都非负。STEP3沿误差动态求导并合并同类项用到了第一式的二次型化简与第二式的输出方程。STEP4令括号为零，反解出更新律(7-25)再由参数误差的定义得估计值自身的更新律：RESULT交叉项清零，只剩负定项于是误差状态与参数估计都有界，闭环是李雅普诺夫稳定的。

继续用Barbalat引理即可把"有界"提升为跟踪误差渐近收敛到零。与上一讲的一阶结果对照，整条推导只多了一步：先把参考模型写成状态空间实现。第7章|§7.3相对阶为1的线性系统MRACLyapunovDesign·§7.3§7.308/20定理7.1：相对阶为1的结论跟踪误差渐近稳定，且闭环中所有信号有界THEOREM7.1考虑相对阶为1的线性系统与参考模型。如果自适应控制由控制律(7-20)与自适应律(7-25)共同给出，则系统的跟踪误差渐近稳定，并且闭环系统中所有信号都是有界的。注7.5四条补充说明1只保证误差，不保证参数定理给的是输出跟踪误差渐近稳定，并未证明估计参数收敛到真值。2严格正实的必要性分析借助卡尔曼-雅库布维奇引理构造Lyapunov函数，故参考模型必须严格正实。3不需要矩阵的真值只需知道两个矩阵存在，不需要它们的具体数值，这对工程实现很关键。4不确定量必须是常数推导中用到参数误差与估计值导数互为相反数，参数时变时这一步不成立。收敛链条

参数什么时候才收敛需要参考信号满足持续激励条件。这是下一讲讨论鲁棒性时反复出现的伏笔：

参数估计靠"信号足够丰富"养活。代价是什么自适应律里必须出现高频增益的符号，整个证明还依赖"参数恰好是常数"这一理想化前提。第7章|§7.3相对阶为1的线性系统MRACTheorem7.1·§7.3§7.309/20相对阶大于1：理论上的一大步不是把参数换个数，而是整个设计框架都要改§7.4高相对阶线性系统模型参考自适应控制——确定等价原理仍然可用，难度全部落在稳定性分析上两个新出现的困难困难一没有系统的方法选Lyapunov函数相对阶为1时，误差方程与参考模型同构，可直接借用参考模型的二次型矩阵。

相对阶大于1时这层对应关系断了，误差的高阶导数依次出现，没法直接凑出一个

只含误差二次型的负定导数。困难二高频增益也未知控制器里出现了归一化增益，这个量同样未知，需要额外设计一条自适应律去估计它，

于是一阶情形里"一个标量更新律"变成了"向量+标量"两条更新律。解决思路既然误差本身不好用，就人为造一个误差——引入辅助误差信号，

它的定义里同时包含对象输出、模型输出和参数误差项，使得构造Lyapunov函数重新成为可能。参考模型的附加条件除了与§7.3相同的四条假设外，还要求存在一个首一Hurwitz多项式，

使下面这个传递函数为正实：第一个传递函数必须为正实；这一条隐含了参考模型的两个多项式都是Hurwitz多项式。阶数账本多项式长除法与§7.2一致，用长除法把两个多项式的关系拆开：首一多项式Q的次数为n−ρ−1，余式Δ的次数不超过n−1。

次数账目决定了控制器里需要多少个滤波器状态。第7章|§7.4高相对阶线性系统MRACHighRelativeDegree·§7.4§7.410/20高相对阶的对象与参考模型对象与模型的高频增益符号仍要已知，这是整套设计唯一"必须知道方向"的地方被控对象(7-26)参考模型(7-27)与相对阶为1相比，三处结构变化①分子的次数降下来了对象与参考模型分子的次数都由n−1变成n−ρ，两者之间少了ρ−1次。②参考模型多了一个条件

③滤波器分母要乘上P(s)控制律里的状态仍由参考模型分母滤波，但分母多了这个新引入的多项式。四条假设照旧系统阶数已知；相对阶已知；系统最小相位；高频增益的符号已知。

与§7.3完全相同的四条——只是相对阶的取值允许大于1了。为什么"最小相位"这条不能丢控制器在估计参数的过程中会隐含地对消对象零点。若零点落在右半平面，

对消会带来不稳定的内部动态，闭环外部看着稳定、内部却已经发散。相对阶不能为0若相对阶为0，控制器变成纯代数关系u=θᵀω，ω

里又含u，

形成代数环，无法用因果系统实现。第7章|§7.4高相对阶线性系统MRACProblemSetup·§7.4§7.411/20控制律与跟踪误差：滤波器里多了一个因子结构只差一处，但正是这一处让误差动态变得"不好直接看"自适应控制律(7-28)跟踪误差先写成归一化形式引入归一化增益与两个滤波信号：于是跟踪误差可以写成"分子多项式乘上一个标量残差"的样子：与§7.3相比，误差不再直接等于"某个参考模型的输出"，而是多了一层

相对阶带来的分子多次项——这正是后面必须引入辅助信号的根源。两节控制结构的逐项对照相对阶§7.3：ρ=1

|§7.4：ρ

＞1滤波分母

控制律形式两节相同，都是参数的线性组合未知增益

自适应律条数§7.3：一条向量律|§7.4：向量律加标量律一句话总结差别的来源相对阶越高，输入要经过更多次积分才能影响到输出，

于是控制器必须"预先补偿"这段延迟，办法就是在滤波器里乘上适当次数的多项式因子。第7章|§7.4高相对阶线性系统MRACControlLaw·§7.4§7.412/20辅助误差信号：为人造一个"好用的误差"既然真实误差的导数结构不配合，就换一个由它派生出来的量去做Lyapunov分析STEP1定义辅助误差与归一化信号这是一个隐含定义式：等号右端也出现了辅助误差本身，实际实现时靠一组滤波器把它显式解出。STEP2两条自适应律(7-29)(7-30)第一条更新参数向量，第二条更新归一化增益的估计值。

两条律都只用到辅助误差与滤波信号，全部可测。RESULT闭环全信号有界，跟踪误差渐近稳定这两条更新律正是为了让辅助误差通道上的Lyapunov函数导数变成半负定。三个必须记住的设计要点归一化信号是"安全阀"

估计增益与估计参数同时在线控制器里既有增益估计也有参数估计，两者由同一条辅助误差驱动，互相牵制。代价是表达式变复杂辅助误差的定义里出现了自己的滤波项，闭环成为隐含方程——这也是高相对阶方案在实践中较少直接使用的原因。术语提示：这里的辅助误差并不是"跟踪误差的估计"，

而是一个为了数学上可证明而构造的中间量，

它随跟踪误差一起收敛到零。第7章|§7.4高相对阶线性系统MRACAuxiliaryError·§7.4§7.413/20定理7.2与两个相对阶的对照结论的形式和§7.3一模一样，但工具与前提都换了THEOREM7.2考虑相对阶大于1的系统与参考模型。如果自适应控制由式(7-28)、式(7-29)与式(7-30)共同给出，则系统的跟踪误差渐近稳定，并且闭环系统中所有信号都是有界的。ρ等于1与ρ大于1的逐项对照对照项定理7.1（相对阶为1）定理7.2（相对阶大于1）参考模型条件严格正实

控制器滤波分母

待估计未知量

自适应律条数一条向量更新律一条向量律加一条标量律Lyapunov函数来源卡尔曼-雅库布维奇引理直接给出借助辅助误差信号重新构造最终的跟踪性能跟踪误差渐近收敛到零跟踪误差渐近收敛到零第7章|§7.4高相对阶线性系统MRACTheorem7.2·§7.4§7.414/20不确定性不止一种前面所有结论，都建立在"唯一的未知量是常数参数"这个前提上§7.5鲁棒自适应控制——承认非参数不确定性的存在，并修改自适应律把估计参数拉回有界01高频未建模动态执行器动态、结构高频振荡等被忽略的快速模态02低频未建模动态库伦摩擦、死区、滞环等慢变非线性效应03量测噪声传感器噪声直接进入误差信号与更新律04数值与采样误差离散化误差、采样延迟、计算舍入KEY一个容易被忽略的差别对于指数稳定的线性系统，闭环本身对一类有界干扰就具有鲁棒性：

干扰只影响误差的大小，不影响有界性。自适应闭环不具备这个性质。原因：参数估计是一个积分器更新律本质上是对误差信号做积分，而积分器没有"自我保护"能力。

只要误差信号里存在与参数误差同向的分量，它就会被不断累加进去，

即使这个分量本身在衰减。本节的三个问题①有界干扰真的能让估计参数发散吗？②若会发散，怎样改更新律才能保证有界？③修正之后，我们付出了什么代价？关键术语：参数漂移估计参数在非参数不确定性作用下缓慢偏离真值、甚至无界增长的现象。

它是自适应控制从理论走向工程时最先撞上的墙。接下来用一个标量模型把"发散"这件事算清楚，

再依次给出死区法与σ修正两种对策。第7章|§7.5鲁棒自适应控制RobustAdaptiveControl·§7.5§7.515/20干扰衰减到零，估计参数却发散了一个标量反例，把"自适应闭环不具内在鲁棒性"这件事算得清清楚楚注意：这里用的是一个静态标量模型，

连动态都没有，参数估计依然被干扰推出发散——问题不在对象，在更新律本身。模型与自适应律STEP1先看无干扰的理想情况这正是上一讲的结构：估计参数一定保持有界，且这个有界性与输入信号无关。STEP2加入衰减的干扰，附加上一项多出来的这一项符号不定。干扰虽在衰减，但只要与参数误差同向，就会被不断积分进去。STEP3取一个具体的衰减干扰输出漂亮地收敛到零，估计参数却按时间的一次方根无界增长——"跟踪误差收敛"与"参数有界"完全是两件事。第7章|§7.5鲁棒自适应控制ParameterDrift·§7.5§7.516/20死区法：误差小的时候干脆不更新小误差里主要是干扰，继续更新只会把干扰积进去，不如停手STEP1把更新律改成两段死区宽度必须盖住干扰的上界，否则干扰仍能钻进更新律。STEP2为什么这样就稳住了当误差超出死区时，括号里的量与误差同号，整个二次型严格为负；

落在死区内则导数正好为零。两种情形合起来，V单调不增且有下界。代价一自适应律不连续在±g处更新率跳变，实际系统里会引起抖振、甚至激励未建模的高频动态。

这是死区法在工程上受限制的主要原因。代价二必须预知干扰上界g要大于干扰的幅值上界。上界估计过大，死区就宽，小误差区间内参数完全不学，

跟踪精度下降；估计过小，则失去鲁棒性。第7章|§7.5鲁棒自适应控制DeadZone·§7.5§7.517/20σ修正：给更新律加一个回拉项不求它收敛得漂亮，只求参数在任何有界干扰下都不跑出去修正后的自适应律(7-33)第二项直接把估计值往回拉：估计越大，拉得越猛。稳定性怎么走STEP1沿V求导并配方STEP2整理成"线性项+常数"STEP3比较引理给出终极界估计参数有界，且界随σ增大而收紧——这就是"回拉"换来的结论。注7.7换个角度看这条更新律把σ项移到左边，更新律就是一个稳定的一阶动态：输入是误差与滤波信号的乘积，输出是参数估计。输入有界时输出必然有界，

结论一眼可见；而且不再需要预知干扰上界。代价：跟踪精度换参数有界即使干扰衰减到零，跟踪误差也不会渐近收敛到零，只会落在由干扰与σ共同决定的邻域内。推广到相对阶为1的MRAC第7章|§7.5鲁棒自适应控制SigmaModification·§7.5§7.518/20五条关键收获理论可以推得很远，但每往前一步都要交一份"假设税"01结构能推广，前提要加码控制律形式在任意相对阶下都不变；代价是参考模型必须满足更强的正实条件。02高相对阶靠"人造误差"过关真实误差的导数结构不配合，就构造辅助误差信号与归一化信号，把Lyapunov分析重新变可行。03参数估计不是目的定理只保证跟踪误差渐近收敛；参数要收敛到真值，需要参考信号满足持续激励。04非参数不确定性会击穿闭环即使干扰衰减到零，标量反例中估计参数依然发散——积分型更新律没有自我保护能力。05鲁棒化都要付代价死区法不连