非线性系统控制理论-第13课 反步设计（一）

CHAPTER09·第十三讲BACKSTEPPINGDESIGN非线性系统控制理论第9章反步设计（一）基本思想与积分反步——把"找Lyapunov函数"变成"递归地造Lyapunov函数"§9.1–§9.2课程非线性系统控制理论32学时·共16次课·每次2学时本讲内容虚拟控制与误差变量·积分反步与引理9.1·迭代反步与定理9.1·匹配与非匹配非线性项第13次课·共16次本次课主要内容反步法给出的不是某个控制律，而是一套可以重复执行的设计动作01反步法的核心思想把高阶系统拆成多级子系统，逐级设计虚拟控制量既是控制目标、又是下一步的工具构造Lyapunov函数与控制律交替进行02积分反步法（§9.1）输入端串联一个积分环节的增广系统误差变量：真实控制与虚拟控制之差控制律与引理9.1：全局渐近稳定03例9.1完整设计带非匹配非线性项的二阶系统镇定函数先消掉非匹配项两步走完，导数负定即得结论04迭代反步法（§9.2）严格反馈形式：非线性项逐级匹配递推镇定函数，最后一步出现控制量闭环非对角反对称⇒指数稳定▸承前：前面几讲的控制律都是"先猜一个备选Lyapunov函数，再想办法让它的导数负定"；本讲给出第一条系统化的构造路径。第9章|本次课主要内容Contents·§9.1–§9.2·2学时第13次课·共16次课02/20上节回顾与本次课定位问题不在于控制律写不出来，而在于Lyapunov函数猜不出来上节回顾·第12讲§7.3–§7.5一般线性系统MRAC需要参考模型附加正实条件应对非参数不确定性的鲁棒化手段两者都只保证信号有界，不再保证渐近收敛——代价换来的是鲁棒性。留下的三个缺口①硬性前提"参数定常、且扰动形式已知"，一旦有未建模动态就不再成立；②备选Lyapunov函数始终靠"猜"，高阶系统几乎猜不出来；③只处理了输入直接出现在最后一环的系统，前面几级含非线性时无法下手。本讲不再"猜"Lyapunov函数，而是让它在设计过程中→逐级长出来。本次课定位·第9章§9.1–§9.21反步法是什么一种系统化的非线性设计方法：已知某一级控制器，就能把它扩展到输入端再串一个积分器的增广系统。2虚拟控制量把下一级状态先当作本级子系统的理想输入，设计镇定函数；真实控制量再去跟踪它。3积分反步只增广一个积分器时的完整设计：误差变量、控制律与引理9.1一次给出。4迭代反步严格反馈形式下的n步递推；最终闭环的非对角元素反对称，导数负定给出指数稳定。工具链推进第4章Lyapunov直接方法›第6章

反馈线性化›第7章

自适应控制›本讲

反步设计（一）›第14讲

观测器反步与滤波变换第9章|上节回顾与本次课定位Review&Positioning·§9.1第13次课·共16次课03/20SECTION9.1INTEGRATORBACKSTEPPING积分反步法在原系统输入端串一个积分器，然后反向设计回去01系统结构与基本假设增广系统的形式，以及"原系统控制器已设计好"这一前提到底意味着什么02误差变量把虚拟控制与实际状态之差定义成一个新的状态，问题变成误差是否收敛03控制律与引理9.1控制律由三项拼成，每一项各司其职；结论是全局渐近稳定04例9.1与匹配性讨论非匹配非线性项如何借虚拟控制被消去，"非匹配"能否逐级搬运反步法要解决的是什么问题一个已经设计好的控制器，能否沿着输入端"再走一步"01输入端多了一级执行机构速度环设计好之后，电流环又串了进来；积分器把"上一级的输出"变成"下一级的输入"。02严格反馈系统的最后一级只有最后一级方程里才出现真实控制量，前面每一级都只能间接影响输出。03自适应设计的后续动作自适应律给出理想控制之后，往往还要面对执行机构的动态——又是一级积分器。CORE能否在已有的与之上，用一次Lyapunov分析同时定出u，而不必重新构造备选函数？第9章|§9.1积分反步法Motivation·§9.1§9.105/20增广系统的结构与两条基本假设反步法不重新设计控制器，它只做"加一级"这件事增广系统(9-1)把ξ当作输入、x当作状态的"原系统"，其输入端再串联一个积分器，

积分器的输入就是真实控制量u。原系统的设计成果(9-2)这是"已经拿到手"的东西：一个使原系统全局渐近稳定的控制律，

以及配套的Lyapunov函数。01ξ=α(x)已设计好，使原子系统全局渐近稳定02α可微，且α(0)=0，保证原点仍是平衡点03V(x)已知，且(9-2)中的W(x)为正定函数04增广方式：原系统输入端串联一个积分环节为什么可以用一次分析就定出u两端都是现成的：左端有V̇的界，右端有未定项z的系数。只要把系数取成负的，整个增广系统的Lyapunov函数就同时确定——这就是"反步"的全部秘密。第9章|§9.1积分反步法SystemStructure·§9.1§9.106/20把"跟踪"变成"误差动态"新状态变量的定义方式，决定了后面能不能一步定出控制律①把ξ与它的理想值之差定义成新状态②在(x,z)坐标下重写系统动态第二式中ξ被z+α(x)替换后，右边出现了两处需要处理的结构：

一是z的系数（将在控制律里配成负号），二是α̇带来的偏导数项。第一步的"搬移"动作把g(x)α(x)加进去再减出来，于是x的动态里自动出现z这一项——它就是留给下一步的接口。z的含义z度量的是"真实控制量ξ相对理想值α(x)还差多少"。z收敛到零，等价于ξ实现了虚拟控制的意图。为什么不直接令ξ=α(x)因为ξ不是自由变量：它自己还有动态ξ̇=u。我们只能通过u让它趋近α(x)，而不能直接赋值。坐标变换是恒等的，改变的不是系统本身，而是"我们看哪一组状态"。在坐标下，误差与控制量出现在同一层，负定条件可以一次写完。第9章|§9.1积分反步法ErrorVariable·§9.1§9.107/20备选Lyapunov函数与控制律第二次Lyapunov分析只加了一项：误差的平方在原系统的V上再加一项前一项沿用原系统的结果，后一项专门度量ξ离理想值α(x)还有多远。令z的系数为零，解出控制律(9-3)求导后的表达式里，z的系数是一个可自由选取的方括号；把它配成−cz，负定性就到位了。−cz：让误差自己衰减c是任取的正数，直接给定误差的指数衰减速度，是三项里唯一自由的增益。−(∂V/∂x)g(x)：消掉交叉项

(∂α/∂x)(f+gξ)：前馈补偿

两项都是正定量，故对整个增广系统负定⇒原点全局渐近稳定。

由α(0)=0与z=0又可得ξ=0，于是(x,ξ)坐标下的原点同样全局渐近稳定。第9章|§9.1积分反步法LyapunovDesign·§9.1§9.108/20引理9.1与注9.1把上面的一次推导固化成可以反复引用的结论引理9.1对于式(9-1)，如果存在可微函数α(x)以及正定函数V(x)使得式(9-2)成立，

则控制律(9-3)保证闭环系统的原点全局渐近稳定。证明要点（三步）①正定，因为V正定、z²非负，且二者不同时为零。②负定：W(x)正定、c为正，两项之和只有在x=0且z=0时取零。③与z=0共同给出ξ=0，故(x,ξ)坐标下原点也是全局渐近稳定。注9.1

"虚拟控制"与"反步"这两个名字把ξ看作x子系统的输入，先不管它的动态，设计出满足要求的控制量ξ=α(x)，

这个量并不是真实的控制，称为虚拟控制。真实控制u则是在考虑ξ自身动态之后，回到上一步再设计一次——设计方向与系统信号流向相反，故称反步法。这套"设计一次、再退回来设计一次"的动作可以重复执行，

因此反步法能一直向输入端推广。第9章|§9.1积分反步法Lemma9.1·§9.1§9.109/20例9.1（一）：先设计镇定函数非匹配的非线性项，靠一个"虚拟控制"就能先处理掉一半待稳定的系统第一步：先让x₁子系统稳定下来（暂时把x₂当输入）这样就凑齐了引理9.1需要的三件东西注意x₁²这一项并不是"可对消"的：它出现在不含u的方程里。

但x₂是这一步的虚拟控制，所以x₁²相对于x₂而言是匹配的——可以被α(x₁)消掉。第9章|§9.1积分反步法Example9.1·Step1·§9.1§9.110/20例9.1（二）：直接反步设计控制律第二步的全部工作，就是让z的方程里那个系数变成负的令误差变量，并把x₁子系统写成只含z的形式取备选Lyapunov函数并求导取控制律把z的系数配成−c₂于是导数负定因为α(0)=0，回到原坐标同样收敛x₂是z与α(x₁)之和；两项都趋于零，故原系统在(x₁,x₂)坐标下原点渐近稳定。第9章|§9.1积分反步法Example9.1·Step2·§9.1§9.111/20匹配、非匹配，以及"逐级搬运"反步法真正值钱的地方：它把非匹配问题一级一级搬成匹配两种非线性项怎么区分看它是不是出现在含控制量的那个方程里：非匹配项：匹配项：上式中的x₁²出现在不含u的方程中，因此是非匹配项；

但对虚拟控制x₂来说，它又是匹配的。例9.1的两步，其实就是一次搬运第1步在x₁子系统里把x₁²消掉（用虚拟控制），

第2步再把z的系数配负——每一步都只处理当前这一级。三类情形与对应处理方式匹配的非线性项该非线性项只出现在含u的方程里。它的地位与u相同，可以直接取u中符号相反、表达式相同的项消掉。非匹配但相对虚拟控制匹配非线性项出现在不含u的方程里，但那一步有虚拟控制。设计镇定函数把它消掉，就等效于匹配。非匹配且远离输入端非线性项出现在更靠前的方程中。此时要逐级上推：每一级都把下一级的状态当作虚拟控制，重复同一套动作。结论：α(x₁)是镇定函数，而"找虚拟控制→设计镇定函数→再用反步法"这套动作可以反复执行，

于是反步法能处理更复杂的系统。第9章|§9.1积分反步法MatchingProperty·§9.1§9.112/20SECTION9.2ITERATIVEBACKSTEPPING迭代反步法同一套动作重复n次，就得到任意阶系统的控制器01严格反馈形式每一级方程只依赖前面已经处理过的状态，这是反步法能"递推"的结构前提02误差变量与递推镇定函数第i级的误差变量度量它离上一级的虚拟控制差多少03控制律与闭环矩阵最后一步的镇定函数就是真实控制量；闭环矩阵的非对角元素反对称04定理9.1闭环原点渐近稳定，而推导过程中顺便得到的是指数稳定严格反馈形式与迭代思想只要系统长成这个"链式"样子，反步法就能从第一级一路推到第n级严格反馈形式(9-4)⋮结构给了我们什么①第i个方程右侧只出现x₁到xᵢ₊₁，没有更远的状态——这叫"下三角"结构；②把xᵢ₊₁当作虚拟控制，则所有非线性函数φᵢ都变成匹配的非线性项；③从i=1递推到i=n−1，到i=n时真实控制量u才出现，共需n步设计。注意与反馈线性化的差别：这里不需要对消任何非线性项，

只需要让备选Lyapunov函数的导数负定即可。第9章|§9.2迭代反步法Strict-FeedbackForm·§9.2§9.214/20误差变量、第1步与第2步每一步的镇定函数都由两部分拼成：消交叉项+消剩余非线性第1步设计目标很直接：把φ₁(x₁)这一项消掉，剩下的交叉项z₂留给后面处理。第2步α₂里多出来的−z₁项，专门用于在稳定性分析中消掉由z₁引起的交叉项；

其余各项则用于消掉这个方程里剩下的非线性。误差变量的一般定义第i级的误差变量就是"第i个状态离上一级虚拟控制差多少"。第9章|§9.2迭代反步法Step1&2·§9.2§9.215/20递推公式与最终控制律把第2步的写法套用到第i步，最后一步把它换成真实控制第i步2＜i＜n虚拟控制αᵢ求和项只含前i−1个变量；把它整体配负，虚拟控制αᵢ即取第二式，代回后误差动态只剩三项。第n步出现真实控制量u第n步的形式与前面完全一样，只是方程里出现的是真实控制量u而不是再下一个状态；配负后即得(9-5)。第9章|§9.2迭代反步法Stepi&Stepn·§9.2§9.216/20闭环结构与指数稳定性递推设计留下的痕迹：非对角元素反对称，交叉项自动抵消闭环系统在z坐标下写成矩阵形式取二次型备选函数并求导比定理9.1更强的结论因为右边还可以继续放大成V的常数倍，得到的其实是指数稳定，

而不只是渐近稳定。由φᵢ(0)=0又得αᵢ(0)=0、u(0)=0，

所以limxᵢ(t)=0。第9章|§9.2迭代反步法Closed-LoopMatrix·§9.2§9.217/20定理9.1、三步模板与两种方法的分工把整节的推导压缩成一条可以照着做的流水线定理9.1对于式(9-4)描述的非线性系统，控制输入式(9-5)保证闭环系统原点渐近稳定。推导过程中顺便得到的是更强的指数稳定性；定理只陈述渐近稳定，是因为它按式(9-4)的一般形式叙述。STEPA定义误差变量STEPB写出镇定函数STEPC末级换成控制量前置条件精确模型、满秩与对合条件严格反馈形式、φᵢ

可微对消要求必须精确对消全部非线性不需要对消，只需导数负定非匹配项可处理，但要额外李导数条件天然处理，逐级搬运主要代价依赖模型精度，存在奇异点αᵢ反复求导，阶高时表达式臃肿怎么选能把模型精确写出来、又满足对合条件时，反馈线性化给出的设计更直接；

模型只能写成严格反馈形式、或者希望避免精确对消时，反步法的适用面更宽。第9章|§9.2迭代反步法Theorem9.1·§9.2§9.218/20本次课关键收获五条结论，构成后面所有反步变体的共同骨架01反步法=递归地用Lyapunov方法每一轮只处理一级子系统，把上一轮的结论当作已知条件继续往前用。02虚拟控制量是全部设计的抓手ξ=α(x)不是真实控制，却承担了"这一级应该达到什么状态"的职责。03误差变量把跟踪变成稳定性定义z之后，"ξ能否跟上α(x)"与"系统是否稳定