7 第七讲 网孔法和回路法

导言电阻电路约束条件拓扑结构约束KCLn-1KVLb-n+1元件特性约束VCRb2b法网孔电流法回路电流法导言KCLn-1KVLb-n+1VCRb2b法n-1b-n+1支路电流法b-n+1自动满足变量：支路电压、电流变量：支路电流变量：？电流如何进一步减少方程的数量？电气工程学院电工基础教研室第三章电阻电路的一般分析第7讲

网孔法和回路法教材：§3-2课程内容一、网孔法基本思想二、网孔方程的列写三、网孔分析法计算步骤及举例四、几种特殊情况下的方程列写网孔方程的标准形式及其方程的列写五、小结特殊情况的处理学习目标对含受控源的情况，可以通过增加控制变量方程的方式来求解电路。对含有独立电流源的情况，可增设变量列网孔电流方程/巧选回路列回路电流方程。对于仅含独立电压源和电阻的电路，可列写标准形式下的网孔电流方程。一、网孔法基本思想网孔电流是指假想的沿着平面网络的网孔边界连续流动的电流。一、网孔法基本思想网孔电流特点各支路电流可用网孔电流的线性组合表示，自动满足KCL定律。I1I2I3a节点a：i1+i2-i5=I1+I2-(I1+I2)=0bcd节点b：i1+i3-i4=I1+I3-(I1+I3)=0

节点d：i6+i3-i2=

(I2-I3)+I3-I2=0

节点c：i4+i6-i5=

(I1+I3)+(I2-I3)-(I1+I2)=0自动满足KCL定律一、网孔法基本思想一、网孔法基本思想网孔电流法基本思想以网孔电流为变量，直接列写网孔的KVL方程,先解得网孔电流，进而求得响应的一种平面电路分析方法。网孔电流为未知量列写网孔KVL方程解出网孔电流求解支路电流求解支路电压二、网孔方程的列写网孔方程

以图示网孔电流方向为绕行方向，写出三个网孔的KVL方程分别为：整理并化简，可得：二、网孔方程的列写如何记忆？将网孔方程写成一般形式：

其中：R11,R22和R33称为网孔自电阻，它们分别是各网孔内全部电阻的总和。例如R11=R1+R4+R5,R22=R2

+R5+R6,R33=R3+R4+R6。二、网孔方程的列写网孔方程将网孔方程写成一般形式：二、网孔方程的列写网孔方程

Rkj(k

j)称为网孔k与网孔j的互电阻，它们是两网孔公共电阻的正值或负值。当两网孔电流以相同方向流过公共电阻时取正号，例如R12=R21=R5,R13=R31=R4。当两网孔电流以相反方向流过公共电阻时取负号，例如R23=R32=-R6。将网孔方程写成一般形式：二、网孔方程的列写网孔方程uS11、uS22、uS33分别为各网孔中全部电压源电压升的代数和。绕行方向由-极到+极的电压源取正号；反之则取负号。例如uS11=uS1,uS22=uS2,uS33=-uS3。R11I1

+R12I2

+R13I3

=uS11R21I1

+R22I2

+R23I3

=uS22R31I1

+R32I2+R33I3

=uS331、变量前的系数为一方阵。2、此方阵的主对角线元素为各网孔的自电阻。3、此方阵其他元素为某两网孔之间的互电阻，并且关于主对角线对称。（不含受控源）网孔电流方程的特点：二、网孔方程的列写4、方程右边是各网孔电压升的代数和。推广到m个网孔：网孔电流方程的标准形式其中：Rkk：自电阻(为正)，k=1,2,…,mRkj

：互电阻+：流过互阻两个网孔电流方向相同-：流过互阻两个网孔电流方向相反0：两个网孔没有公共电阻uSkk：网孔k全部电压源电压升的代数和二、网孔方程的列写由以上分析可得，对网络直接列写网孔方程的规则为：

二、网孔方程的列写自阻×该网孔电流+∑互阻×相邻网孔电流=该网孔所含电压源电位升之和三、网孔分析法计算步骤及举例

网孔分析法的计算步骤如下：1．在电路图上标明网孔电流及其参考方向。若全部网孔电流均选为顺时针(或逆时针)方向，则网孔方程的全部互电阻项均取负号。2．用观察电路图的方法直接列出各网孔方程。3．求解网孔方程，得到各网孔电流。4．假设支路电流的参考方向。根据支路电流与网孔电流的线性组合关系，求得各支路电流。5．用VCR方程，求得各支路电压。三、网孔分析法计算步骤及举例例1：用网孔分析法求下图所示电路各支路电流。解：（1）选定各网孔电流的参考方向。三、网孔分析法计算步骤及举例网孔1：网孔2：网孔3：（2）用观察法列出网孔方程：25V6V18V12V3Ω1Ω6Ω3Ω2Ω2Ωi3i4i6i1i2i5i3i1i2

整理为(3)解得各网孔电流为三、网孔分析法计算步骤及举例(4)解得各支路电流为25V6V18V12V3Ω1Ω6Ω3Ω2Ω2Ωi3i4i6i1i2i5i3i1i2课堂练习练习1：列写出此电路的网孔电流方程组。i1+_uS3R1R2R3R5R4+++___R6R7R8uS2uS1i2i3uS4网孔法和回路法:标准方程解：网孔1：网孔2：网孔3：四、几种特殊情况下的方程列写四、几种特殊情况下的方程列写特殊情况1：独立电流源支路的处理独立电流源支路有伴电流源电源等效

变换无伴电流源增设变量法回路电流法i2i1例2：用网孔分析法求下图所示电路的支路电流。解：设电流源电压为u，考虑了电压u的网孔方程为：补充方程解得：四、几种特殊情况下的方程列写5V7Ai1i2u10V1Ω2Ω方法1：增设变量法（1）引入1个电流源的电压变量，把电流源当电压源处理列方程待求量+1（2）补充1个电流源电流与网孔电流的关系方程方程数+1四、几种特殊情况下的方程列写Il2Il1例3：用回路分析法求下图所示电路的支路电流。四、几种特殊情况下的方程列写5V7Ai1i210V1Ω2Ω解：选取独立回路，使理想电流源支路仅属于一个回路，该回路电流即电流源电流。Il1=7A根据回路电流法对回路2列方程：Il2=-4A根据回路电流计算出各支路电流：方法2：回路电流法（1）选取独立回路，使理想电流源支路仅仅属于一个回路,该回路电流即IS。（2）根据回路电流法列方程求解。（已知回路电流的回路不用列方程）待求量-1方程数-1四、几种特殊情况下的方程列写方法2：回路电流法

以假想的回路电流为未知量，对b-n+1个独立回路列写b-n+1个KVL方程，列写方程数为b-n+1。四、几种特殊情况下的方程列写课堂练习练习2：用回路分析法求解下图各支路电流。解：选取独立回路，使理想电流源支路仅属于一个回路，该回路电流即电流源电流。Il1Il2Il31A20V2A5Ω3Ω1Ωi3i4i6i1i2i5Il1=1A;Il2=2A根据回路电流法列方程：Il3=3A网孔法和回路法：回路法根据各回路电流：Il1=1A;Il2=2A；进一步求得各支路电流：Il3=3AIl1Il2Il31A20V2A5Ω3Ω1Ωi3i4i6i1i2i5网孔法和回路法：回路法例4：列出下图所示电路的网孔方程。解：先将受控电压源的电压ri3当作独立电压源列网孔方程：补充控制变量i3与网孔电流的关系方程：四、几种特殊情况下的方程列写i2i1i1i2ri3R1R2R3i3us特殊情况2：受控源支路的处理（1）受控源当独立源处理列方程待求量+1（受控源控制量）（2）补充1个受控源控制量与网孔（回路）电流的关系方程方程数+1四、几种特殊情况下的方程列写(3)补充受控源控制变量U2与网孔电流的关系方程。例5：用网孔法求含有受控电压源电路的各支路电流。+_2V-3

U2++3U2–1

2

1

2

I1I2I3I4I5解：(1)设网孔电流及其参考方向。IaIbIcU2=-3I2=-3(Ia-Ib)=3(Ib-Ia)(2)将受控源看作独立源建立方程(1+3)Ia-

3Ib=2-3Ia+(3+2+1)Ib-Ic=-3U2-Ib+(1+2)Ic=3U2四、几种特殊情况下的方程列写4Ia-3Ib=2-12Ia+15Ib-Ic=09Ia-10Ib+3Ic=0整理网孔方程得：系数行列式不对称Ia=1.19AIb=0.92AIc=-0.51A(4)解方程得*由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。+_2V-3

U2++3U2–1

2

1

2

I1I2I3I4I5IaIbIc四、几种特殊情况下的方程列写(5)求各支路电流I4=Ib-

Ic=1.43AI5=Ic=–0.52AI1=Ia=1.19AI2=Ia-

Ib=0.27AI3=Ib=0.92A,+_2V-3

U2++3U2–1

2

1

2

I1I2I3I4I5IaIbIc四、几种特殊情况下的方程列写五、小结网孔电流方程列写步骤五、小结1.标明网孔电流及其参考方向。若均选为顺时针(或逆时针)方向，则互电阻均取负。2.观察电路图直接列出各网孔方程。如网孔1：R11*I1+R12*I2+…+R1n*In=us11。3.求解网孔方程，得到各网孔电流。4.根据支路电流与网孔电流的线性组合关系，求得各支路电流。5.用VCR方程，求得各支路电压。五、小结网孔法

应用小结典型电路利用标准形式直接列写方程含电流源增设变量法回路电流法含受控源1.受控源当独立源处理，

2.增加控制变量的方程综合练习练习3：已知下图中

=1,

=1。试求网孔电流。解：(1)以i1,i2和

i3为网孔电流，并标出其参考方向;

αi3i1