19 第十九讲 电路定律的相量形式、阻抗与导纳

正弦量的基本概念波形图瞬时值相量图相量式

Ti回顾正弦量的不同表示方法的符号说明瞬时值

---小写u、i有效值

---大写U、I复数、相量

---大写+“.”最大值

---大写+下标回顾正弦量模=正弦量的有效值幅值初相位频率相量相角=正弦量的初相位正弦量有效值一一映射回顾引入电路约束条件的时域形式拓扑约束（KCL、KVL）元件约束KCL、KVL相量形式元件约束相量形式转换电路约束条件的相量形式电气工程学院电工基础教研室第六章正弦稳态电路的分析第19讲电路定律的相量形式、阻抗与导纳教材：§6-3，6-4课程内容一、基尔霍夫定律的相量形式二、元件特性的相量形式四、小结三、阻抗与导纳学习目标掌握元件特性的相量形式，可以绘出不同元件电压、电流的相位关系。可以应用基尔霍夫定律的相量形式列KCL方程和KVL方程。可以计算交流电路中的阻抗，理解电阻与电抗、阻抗模与阻抗角的概念。一、基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫电流定律（KCL)基尔霍夫电流定律的时域形式在集总参数电路中,任一时刻,流出(或流入)任一节点的电流的代数和为零。∑i(t)=0

令流出为“+”，有：i1

i2

i3

i4

i5

∑i入=∑i出流入电流之和等于流出电流之和进水管进水管进水管出水管出水管接头节点支路支路支路支路支路单位时间内，流入接头的水量等于流出接头的水量。水管接头水支路节点电荷单位时间内，流入节点的电荷量等于流出节点的电荷量（电流）——电荷守恒。类比理解同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算。因此，在正弦电流电路中，KCL可用相应的相量形式表示。结论：在正弦稳态情况下，对任一节点，各支路电流相量的代数和等于零——基尔霍夫电流定律的相量形式基尔霍夫电流定律的相量形式时域：

相量：

例1:流入某节点的三个电流分别为

分别写出其时域形式和相量形式的KCL方程，计算结果。解：时域的KCL方程基尔霍夫电流定律的相量形式例1:流入某节点的三个电流分别为

分别写出其时域形式和相量形式的KCL方程，计算结果。基尔霍夫电流定律的相量形式解：相量形式的KCL方程为采用相量法计算比用时域法计算更加方便！基尔霍夫电压定律（KVL)在集总参数电路中，任一时刻，沿任一回路，所有支路电压(降)的代数和为零。∑u(t)=0

两种方向：顺时针、逆时针∑u降=∑u升+U3U1U2U4+US1_+US4+++_____顺时针:物理本质:能量守恒基尔霍夫电压定律的时域形式h1h2h3h4AAh1+h2=h3+h4U1+U2=U3+U4人沿回路绕行一周，回到原位，爬升高度之和等于降落高度之和。人电荷电荷沿电路回路绕行一周，回到原位，电压升高之和等于电压下降之和。∑u升=∑u降高度电压∑h升=∑h降类比理解广义KVL沿从p到q任一路径upq=∑upq在集总参数电路中，任一时刻，任意两点之间的电压Upq等于沿从p到q的任一路径上所有支路电压降的代数和。广义基尔霍夫电压定律的时域形式相量：时域：

它表明，在正弦稳态情况下，对任一回路，各支路电压相量的代数和等于零。广义KVLupq=∑u相量：基尔霍夫电压定律的相量形式KVL例2：电路中A、B、C三个元件上的电压分别为，试计算端口电压u。CABuBuAuCu解：根据广义KVL方程得有效值不满足基尔霍夫定律！！！基尔霍夫电压定律的相量形式2、KVL相量形式相量：时域：

1、KCL相量形式相量：时域：

基尔霍夫定律的相量形式upq=∑u时域：

相量：二、元件特性的相量形式电阻元件VCR的相量形式时域形式：相量形式：相量模型uR(t)i(t)R+-有效值关系相位关系R+-UR

u相量关系：UR=RI

u=

i1.电阻元件若则电阻元件VCR的相量形式瞬时功率：波形图及相量图：

i

tOuRpR

u=

iURI瞬时功率以2

交变。始终大于零，表明电阻始终吸收功率同相位电感元件VCR的相量形式时域形式:i(t)uL(t)L+-相量形式：相量模型j

L+-相量关系：2.电感元件若则有效值关系相位关系UL=wLI

u=

i+90°

感抗的物理意义：(1)表示电感限制电流的能力；(2)感抗和频率成正比；fXLXL=L=2fL，称为感抗，单位为(欧姆)感抗:BL=1/L=1/2fL，感纳，单位为S(西门子)电感元件VCR的相量形式UL=wLI令XL=wLUL=XLI感纳:f=0，XL=0，短路(直流)f→∞，XL→∞，开路电感元件VCR的相量形式瞬时功率：

t

iOuLpL瞬时功率以2

交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消

i波形图及相量图：电压超前电流900电容元件VCR的相量形式时域形式:相量形式：相量模型相量关系：3.电容元件若则有效值关系相位关系U=IC/wC

u=

i-90°

iC(t)u(t)C+-+-容抗:电容元件VCR的相量形式U=IC/wC令XC=1/wCU=XCIC容纳:XC=1/

C=1/2fC，称为容抗，单位为

(欧姆)BC=

C=2fC

，称为容纳，单位为S(西门子)容抗和频率（角频率）成反比,w

0，|XC|

，直流开路(隔离直流)w

，|XC|0，高频短路(旁路作用)w|XC|电容元件VCR的相量形式瞬时功率：瞬时功率以2

交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消波形图及相量图：

t

iCOupC

u电流超前电压900例3：试判断下列表达式的正、误：L元件特性的相量形式元件特性的相量形式时域表达式u=Ri相量表达式有效值关系U=RIR(电阻）U=XLIXL=wL(感抗）U=XCIXC=1/(wC)(容抗）相量图电阻电容电感相位关系三、阻抗与导纳直流激励下R+-无源线性+-电阻R=U/I(单位：

)欧姆定律阻抗与导纳1.阻抗正弦激励下Z+-无源线性+-单位：

阻抗模阻抗角欧姆定律的相量形式阻抗与导纳阻抗与导纳(1)当无源网络内为单个元件时：R+-C+-L+-表明：Z可以是实数，也可以是虚数!-jXC+-jXL+-阻抗与导纳(2)当无源网络内为RLC串联电路由KVL：LCRuuLuCi+-+-+-+-uRj

LR+-+-+-+-Z—阻抗；计算关系：或R=|Z|cos

X=|Z|sin

阻抗与导纳|Z|—阻抗模；

—阻抗角。R—电阻(阻抗的实部)；X—电抗(阻抗的虚部)；RX|Z|j阻抗三角形：分析R、L、C串联电路得出：（1）Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|∠j为复数，故也称复阻抗wL>1/wC

，X>0，j>0，电路为感性，电压超前电流；wL<1/wC，X<0，j<0，电路为容性，电压落后电流；wL=1/wC

，X=0，j=0，电路为阻性，电压与电流同相。阻抗与导纳（2）根据电压、电流相位关系不同,电路分感性、容性和阻性

Z>0电路呈感性当X>0（）——电压超前电流等效串联电路：RL相量图：阻抗与导纳

Z<0电路呈容性当X<0（）——电压滞后电流等效串联电路：相量图：RC阻抗与导纳

Z=0电路呈电阻性当X=0（）——电压和电流同相位等效串联电路：相量图：R阻抗与导纳注意：1、RLC串联电路中，所有的电压和电流量都是同

频率的正弦量，可以进行加减运算，作相量图。2、复阻抗Z是一个复数：但是Z不代表正弦量，因此不是相量，不能写成：也不能画相量图。阻抗与导纳阻抗与导纳例1：已知

R=15,L=0.3mH,C=0.2F,求

i,uR,uL,uC.解：其相量模型为：LCRuuLuCi+-+-+-+-uRj

LR+-+-+-+-阻抗与导纳则UL=8.42>U=5，分电压大于总电压。注j

LR+-+-+-+-其中2.导纳正弦激励下Y+-无源线性+-单位：S导纳模导纳角阻抗与导纳阻抗与导纳对同一个无源二端网络:(1)当无源网络内为单个元件时：Y可以是实数，也可以是虚数R+-C+-L+-阻抗与导纳(2)当无源网络内为RLC并联电路时由KCL：iLCRuiLiC+-iLj

LR+-Y—导纳；或G=|Y|cos'B=|Y|sin'阻抗与导纳G—电导(导纳的实部),B—电纳(导纳的虚部)；|Y|—导纳模,

'—导纳角。计算关系：（1）Y=G+j(wC-1/wL)=|Y|∠j

为复数，故也称复导纳；wC>1/wL

，B>0，j

>0，电路为容性，电流超前电压;wC<1/wL

，B<0，j

<0，电路为感性，电流落后电压；wC=1/wL

，B=0，j

=0，电路为阻性，电流与电压同相.分析R、L、C并联电路得出：阻抗与导纳（2）根据电压、电流相位关系,电路分感性、容性和阻性3.阻抗（导纳）的串联和并联等效化简Z+-分压公式Z1+Z2Zn－(1)阻抗的串联阻抗与导纳分流公式(2)导纳的并联Y1+Y2Yn－Y+-两个阻抗Z1、Z2的并联等效阻抗为：阻抗与导纳阻抗与导纳例2：求图示电路的等效阻抗，＝105rad/s。解：其相量模型如图所示。1mH30

100

0.1FR1R2jXLR1R2-jXC感抗和容抗为：四、小结小结1.基尔霍夫定律的相量形式：2.电路元件的相量形式VCR关系：小结1、基尔霍夫定理的相量形式时域形式相量形式KCLKVL2、元件特性的相量形式电阻电感电容3、阻抗与导纳55小结随堂练习随堂练习j

LR+-A1A2A3A练习1：已知电流表A1的读数为5A，电流表A2的读数为20A，电流表A3的读数为25A，求电流表A的读数？解：选择参考相量：设电流表的读数