2026年天津市人教版高一数学必修第一册第11章数学探究综合练习题

2026年天津市人教版高一数学必修第一册第11章数学探究综合练习题2026年天津市人教版高一数学必修第一册第11章数学探究综合练习题考核对象：高一学生题型分值分布：一、单项选择题（每题2分，共20分）二、填空题（每题2分，共20分）三、判断题（每题2分，共20分）四、简答题（每题4分，共16分）五、应用题（每题6分，共24分）一、单项选择题（每题2分，共20分）1.在数学探究活动中，小明发现函数f(x)=x³-3x+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值之差为多少？A.8B.10C.12D.142.已知函数g(x)=|x-1|+|x+1|，若g(x)的最小值为k，则k的值为多少？A.0B.1C.2D.33.在探究三角形面积的最值问题时，小华发现当三角形三边长度分别为a,b,c时，其面积S的最大值出现在什么情况下？A.a²+b²=c²B.a=b=cC.a²+c²=b²D.a+b=c4.已知函数h(x)=sin(x)+cos(x)，若要探究其在区间[0,2π]上的最大值，下列哪个方法是正确的？A.求导后解方程h'(x)=0B.直接观察sin(x)和cos(x)的图像C.使用配方法变形D.以上方法均不正确5.在探究不等式a²+b²≥2ab的证明过程中，小丽使用了哪种数学思想？A.数形结合B.分类讨论C.反证法D.演绎推理6.已知函数f(x)=ax²+bx+c在区间[1,3]上的最大值为5，最小值为1，则b的取值范围是什么？A.-4≤b≤4B.-6≤b≤6C.-8≤b≤8D.-10≤b≤107.在探究圆的切线问题时，小明发现若圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r，则直线l与圆的位置关系如何判断？A.d>r时相离B.d=r时相切C.d<r时相交D.以上均正确8.已知函数k(x)=x²-4x+4，若要探究其在区间[0,4]上的单调性，下列哪个结论是正确的？A.在[0,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减B.在[0,4]上单调递增C.在[0,4]上单调递减D.无法判断9.在探究数列的极限问题时，小华发现若数列{a_n}的通项公式为a_n=1/n，则其极限为多少？A.0B.1C.∞D.不存在10.已知函数m(x)=x³-3x，若要探究其在区间[-2,2]上的零点个数，下列哪个结论是正确的？A.1个零点B.2个零点C.3个零点D.4个零点二、填空题（每题2分，共20分）1.若函数f(x)=x²-2x+3在区间[1,3]上的最小值为__________。2.已知函数g(x)=|x-2|+|x+2|，则g(x)的最小值为__________。3.在探究三角形面积的最值问题时，若三角形三边长度分别为3,4,5，则其面积的最大值为__________。4.已知函数h(x)=sin(x)+cos(x)，则其在区间[0,2π]上的最大值为__________。5.在探究不等式a²+b²≥2ab的证明过程中，可以使用__________数学思想。6.若函数f(x)=ax²+bx+c在区间[1,3]上的最大值为5，最小值为1，且a>0，则b的取值范围为__________。7.若圆心O到直线l的距离为2，圆的半径为3，则直线l与圆的位置关系为__________。8.已知函数k(x)=x²-4x+4，则其在区间[0,4]上的单调递增区间为__________。9.若数列{a_n}的通项公式为a_n=1/n，则其极限为__________。10.已知函数m(x)=x³-3x，则其在区间[-2,2]上的零点个数为__________。三、判断题（每题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的最大值与最小值之差为10。（×）2.函数g(x)=|x-1|+|x+1|的最小值为1。（√）3.在探究三角形面积的最值问题时，当三角形三边长度分别为a,b,c时，其面积S的最大值出现在a=b=c时。（×）4.函数h(x)=sin(x)+cos(x)在区间[0,2π]上的最大值为√2。（√）5.在探究不等式a²+b²≥2ab的证明过程中，可以使用数形结合数学思想。（√）6.若函数f(x)=ax²+bx+c在区间[1,3]上的最大值为5，最小值为1，且a>0，则b的取值范围为-4≤b≤4。（√）7.若圆心O到直线l的距离为2，圆的半径为3，则直线l与圆的位置关系为相切。（×）8.已知函数k(x)=x²-4x+4，则其在区间[0,4]上的单调递增区间为[2,4]。（×）9.若数列{a_n}的通项公式为a_n=1/n，则其极限为1。（×）10.已知函数m(x)=x³-3x，则其在区间[-2,2]上的零点个数为3。（√）四、简答题（每题4分，共16分）1.请简述如何探究函数f(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的最大值与最小值。2.请简述如何探究函数g(x)=|x-1|+|x+1|的最小值。3.请简述如何探究三角形面积的最值问题，并举例说明。4.请简述如何探究函数h(x)=sin(x)+cos(x)在区间[0,2π]上的最大值。五、应用题（每题6分，共24分）1.某工厂生产某种产品，其成本函数为C(x)=x²-6x+10，其中x为产量。请探究该工厂在产量为多少时，成本最小，并求最小成本。2.已知函数f(x)=x²-4x+4，请探究其在区间[0,4]上的单调性，并求其最大值和最小值。3.某城市计划修建一条道路，道路起点为A，终点为B，A、B两地相距10公里。若道路途经C地，且A到C的距离为6公里，C到B的距离为4公里。请探究如何选择C地的位置，使得道路总长度最短，并求最短长度。4.已知函数g(x)=|x-1|+|x+1|，请探究其在区间[-2,2]上的最大值和最小值，并画出其图像。标准答案及解析一、单项选择题1.C解析：f(x)=x³-3x+1在区间[-2,2]上的导数为f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。计算f(-2)=-1,f(-1)=3,f(1)=-1,f(2)=3，最大值与最小值之差为6。2.C解析：g(x)=|x-1|+|x+1|在x=-1时取得最小值2。3.B解析：当三角形三边长度相等时，其面积最大，即a=b=c。4.A解析：h(x)=sin(x)+cos(x)的导数为h'(x)=cos(x)-sin(x)，令h'(x)=0得x=π/4+kπ，计算h(π/4)=√2，为最大值。5.A解析：a²+b²≥2ab可以通过数形结合思想证明，即向量a+b的模长大于等于向量a-b的模长。6.A解析：f(x)=ax²+bx+c在区间[1,3]上的最大值为5，最小值为1，且a>0，则对称轴x=-b/(2a)在区间中点2处，即-b/(2a)=2，解得b=-4a。7.D解析：d>r时相离，d=r时相切，d<r时相交。8.A解析：k(x)=x²-4x+4在[0,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减。9.A解析：数列{a_n}的通项公式为a_n=1/n，当n→∞时，a_n→0。10.B解析：m(x)=x³-3x在[-2,2]上有两个零点，分别为x=-√3和x=√3。---二、填空题1.2解析：f(x)=x²-2x+3在区间[1,3]上的最小值为2。2.4解析：g(x)=|x-2|+|x+2|在x=0时取得最小值4。3.6解析：三角形三边长度分别为3,4,5为直角三角形，其面积为6。4.√2解析：h(x)=sin(x)+cos(x)在区间[0,2π]上的最大值为√2。5.数形结合解析：a²+b²≥2ab可以通过数形结合思想证明，即向量a+b的模长大于等于向量a-b的模长。6.-4≤b≤4解析：f(x)=ax²+bx+c在区间[1,3]上的最大值为5，最小值为1，且a>0，则对称轴x=-b/(2a)在区间中点2处，即-b/(2a)=2，解得b=-4a。7.相切解析：圆心O到直线l的距离为2，圆的半径为3，则直线l与圆的位置关系为相切。8.[0,2]解析：k(x)=x²-4x+4在[0,4]上的单调递增区间为[0,2]。9.0解析：数列{a_n}的通项公式为a_n=1/n，当n→∞时，a_n→0。10.2解析：m(x)=x³-3x在[-2,2]上有两个零点，分别为x=-√3和x=√3。---三、判断题1.×解析：f(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的最大值与最小值之差为6。2.√解析：g(x)=|x-1|+|x+1|在x=0时取得最小值1。3.×解析：当三角形三边长度相等时，其面积最大，即a=b=c。4.√解析：h(x)=sin(x)+cos(x)在区间[0,2π]上的最大值为√2。5.√解析：a²+b²≥2ab可以通过数形结合思想证明，即向量a+b的模长大于等于向量a-b的模长。6.√解析：f(x)=ax²+bx+c在区间[1,3]上的最大值为5，最小值为1，且a>0，则对称轴x=-b/(2a)在区间中点2处，即-b/(2a)=2，解得b=-4a。7.×解析：圆心O到直线l的距离为2，圆的半径为3，则直线l与圆的位置关系为相切。8.×解析：k(x)=x²-4x+4在[0,4]上的单调递增区间为[0,2]。9.×解析：数列{a_n}的通项公式为a_n=1/n，当n→∞时，a_n→0。10.√解析：m(x)=x³-3x在[-2,2]上有两个零点，分别为x=-√3和x=√3。---四、简答题1.解析：（1）求导数f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。（2）计算f(-2)=-1,f(-1)=3,f(1)=-1,f(2)=3。（3）比较函数值，最大值为3，最小值为-1。2.解析：（1）分段函数g(x)=|x-1|+|x+1|在x=-1时取得最小值2。（2）图像为V形，顶点为(-1,2)。3.解析：（1）当三角形三边长度相等时，其面积最大。（2）例如，当三角形三边长度分别为3,4,5时，其面积为6。4.解析：（1）求导数h'(x)=cos(x)-sin(x)，令h'(x)=0得x=π/4+kπ。（2）计算h(π/4)=√2，为最大值。（3）图像为周期函数，最大值为√2。---五、应用题1.解析：（1）成本函数C(x)=x²-6x+10的导数为C'(x)=2x-6，令C'(x)=0得x=3。（2）计算C(3)=3²-6×3+10=1，最小成本为1。2.解析：（1）k(x)=x²-4x+4在[0,4]上的导数为k'(x)=2x-4，令k'(x)=0得x=2。（2）计算k(0)=4,k(2)=0,k(4)=4，最大值为4，最小值为0。（3）在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递增。3.解析：（1）设C地到A的距离为