江苏省南京市2026-2027学年高二上学期9月第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年江苏省南京市高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线l过点A(1,0)，B(0,3)，则l的倾斜角为A.−π3 B.π6 C.π2.已知复数z满足zz+1=1−i，则z=(

)A.−1−i B.−1+i C.1+i D.1−i3.已知向量a=(1,−1)，b=(3,m)，a⊥(b−2A.−2 B.−1 C.0 D.24.平行于直线x+y=4且与圆x2+y2A.x+y+2=0或x+y−2=0 B.x−y+2=0或x−y−5.若直线l1：ax+(1−a)y −3=0与直线l2：(a −1)x+(2a+3)y −2=0互相垂直，则a的值是(

)A.−3 B.1 C.0或−32 D.16.已知直线mx−y+2m+1=0与圆(x+1)2+(y−2)2=16相交于M，NA.4 B.214 C.27.若圆x2+(y−1)2=r2(r>0)上到直线y=12A.(0,355) B.(38.已知圆C1：(x+4)2+(y−1)2=1，圆C2：x2+y2−4x+2y+1=0，M、N分别为圆C1A.210−3 B.210+3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.计算下列各式的值，其结果为1的有(

)A.cos40°(1+3tan10°) B.12(110.下列说法中正确的是(

)A.m=1是直线mx−y=1与直线x−my−1=0平行的充分不必要条件

B.m=1是直线mx−y=1与直线x+m2y−1=0垂直的充分不必要条件

C.经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是x−y−1=0

D.若一条直线沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移11.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知点P在面对角线AC上运动，点E、F、G分别为A1D1、A1A.D1P//平面A1BC1

B.平面PDB1⊥平面A1BC1

C.过E、F、三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x−y−5=0，AC边上的高BH所在的直线方程为x−2y−5=0，则顶点C的坐标为

．13.直线y=x+b与曲线y=1−4−x2有两个不同的交点，则实数b的取值范围是

14.已知圆(x+1)2+y2=9与直线y=tx+3交于A，B两点，点P(a,b)在直线y=2x上，且PA=PB，则四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a=23，b=5，c=7．

(Ⅰ)求角C的大小；

(Ⅱ)求sinA的值；

(Ⅲ)16.(本小题15分)

(1)已知两直线l1：x−y−1=0，l2：x+y−5=0.求过两直线的交点，且垂直于直线3x+4y−5=0的直线方程；

(2)已知直线l的方程为(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0.直线l交坐标轴正半轴于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求△AOB17.(本小题15分)

在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y=x(x≥0)上，且|OC|=22．

(1)求圆C的标准方程；

(2)若直线l过点P(1,0)，且与圆C相切，求直线l的方程；

(3)自点A(−3,3)发出的光线m射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆C相切，求光线m所在直线的方程．18.(本小题17分)

已知圆C：(x−1)2+y2=16，直线l：4kx−4y+4−3k=0，k∈R与圆C交于不同的两点A，B，点D在圆C上运动，且点T满足DT=3TO(O为原点)，记点T的轨迹为E．

(1)求曲线E的方程．

(2)设AB的中点为N，求点N到直线x−y−102=0距离的最大值．

(3)过点C(1,0)且不与x轴重合的直线与曲线E交于A，19.(本小题17分)

已知圆O：x2+y2=1点M(1,4)．

(1)过M作圆O的切线，求切线的方程；

(2)过圆O上一点P(12,32)作两条相异直线分别与圆O相交于A，B两点，且直线PA和直线PB的倾斜角互补.求证：直线AB的斜率为定值．

(3)已知A(2,8)，设P为满足方程PA2+PO1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】AD

10.【答案】BD

11.【答案】ABD

12.【答案】(4,3)

13.【答案】(1−214.【答案】(−1,0)∪(0,2)

15.【答案】解：(Ⅰ)由余弦定理，得cosC=a2+b2−c22ab=12+25−7203=32，所以，C=30°．

(II)由(I)，有sinC=12，由正弦定理，得sinA=a⋅sinc16.【答案】4x−3y−6=0；

8+217.【答案】解：(1)设圆心C(a,a)，a⩾0，

由于|OC|=22，所以|OC|=22=2a，所以a=2，

即圆心C的坐标为(2,2)，则圆C的方程为(x−2)2+(y−2)2=1；

(2)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=1，

圆心C到直线x=1的距离d=2−1=1，此时满足直线l和圆C相切；

若直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x−1)，

即kx−y−k=0，

因为直线l和圆C相切，

所以圆心C到直线l的距离d=|2k−2−k|1+k2=|k−2|1+k2=1，

即|k−2|=1+k2，平方得k2−4k+4=1+k2，

即k=34，此时直线l的方程为34x−y−34=0，即3x−4y−3=0，

所以直线l的方程为x=1或3x−4y−3=0；18.【答案】解：(1)设T(x,y)，D(m,n)，

由DT=3TO，得：(x−m,y−n)=3(−x,−y)，

所以m=4x，n=4y，

因为D在圆C：(x−1)2+y2=16上，代入得：(4x−1)2+(4y)2=16，

化简得(x−14)2+y2=1，因此曲线E的方程为(x−14)2+y2=1．

(2)直线l：4kx−4y+4−3k=0可得：k(4x−3)−4y+4=0，

令4x−3=0，−4y+4=0，得定点P(34,1)，

因为N是弦AB中点，所以CN⊥AB，

又AB过P，故CN⊥PN，因此N在以CP为直径的圆上，

圆C的圆心为C(1,0)，|CP|=(1−34)2+(0−1)2=116+1=174．

该轨迹圆的圆心为CP中点G(78,12)，半径r=|CP|2=178，

圆心G到直线x−y−102=0的距离d=|78−12−102|2=85−3216，

所以点N到该直线距离的最大值为d+r=19.【答案】x−1=0和15x−8y+17=0．

证明：假设过点P的一条直线倾斜角为π2，

由题目条件得另一条直线的倾斜角也为π2，但过直线外一点做该直线的垂线只有一条，与两条直线相异矛盾，

故过P的直