山东省聊城第二中学2026-2027学年高二上学期第1次学情调研数学试题（含答案）

山东聊城第二中学2026-2027学年高二上学期第1次学情调研数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．给出下列四个命题，其中正确的有（1）若空间向量，满足，则；（2）空间任意两个单位向量必相等；（3）对于非零向量，由，则；（4）在向量的数量积运算中．A．0个 B．1个 C．2个 D．4个2．欧几里得大约生活在公元前330~前275年之间，著有《几何原本》《已知数》《圆锥曲线》《曲面轨迹》等著作.若从上述4部书籍中任意抽取2部，则抽到《几何原本》的概率为（

）A． B． C． D．3．从1，2，3，4，5中任取两个数，下列事件中是互斥事件但不是对立事件的是（

）A．至少有一个是奇数和两个都是奇数 B．至少有一个是奇数和两个都是偶数C．至少有一个奇数和至少一个偶数 D．恰有一个偶数和没有偶数4．在空间直角坐标系中，是直线的方向向量，是平面的一个法向量，若，则（

）A． B．C． D．5．如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（

）A． B．C． D．6．在正三棱柱中，已知，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B．C． D．7．两条异面直线所成的角为，在直线上取点，在直线上取点，使，且．已知，则线段的长为（

）A． B． C．1或 D．1或8．在棱长为2的正方体中，分别为的中点，分别为线段上的动点（不包括端点），且满足，则线段的长度的取值范围为（）A． B．C． D．二、多选题9．设，为随机事件．以下说法正确的有（

）A．若，对立，则B．若，则，对立C．若，互斥，则D．若，相互独立，则10．下面四个结论正确的是（

）A．向量，若，则B．若空间四个点，，，，，则，，三点共线C．已知向量，，若，则为钝角D．任意向量，满足11．如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（

）A．三棱锥的体积是定值B．存在点P，使得与所成的角为C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为D．存在点P，使得平面三、填空题12．甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知甲攻克该题的概率为，乙攻克该题的概率为，则该题至少被一人攻克的概率为_____．13．在空间直角坐标系中，直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成的角为_________．（用弧度表示）14．如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是______.四、解答题15．已知向量，，，且，．(1)求，，；(2)求向量与所成夹角的余弦值；(3)求在上的投影向量（用坐标表示）．16．—只不透明的袋子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同.(1)搅匀后从中任意摸出2个球，求这2个都球是白球的概率；(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率.17．如图，在平行六面体中，为中点，，，设，，，以为空间的一个基底．(1)用基底表示向量，并求出线段的长度；(2)直线与平面交于点求的值18．如图所示，质点，在随机外力的作用下，分别从正四面体的顶点，同时出发，每次等可能地沿棱移动到其他顶点处，其中这两个质点移动互不影响，并且可以在一条棱上同向或反向同时移动．一个质点从一个顶点移动到另一个顶点叫移动一次．(1)求质点移动一次移动到顶点的概率；(2)求质点与各移动2次后均移动到顶点的概率；(3)求质点与各移动3次后至少有一个移动到顶点的概率．19．已知两个非零向量，在空间任取一点O，作，则叫做向量与的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个与、都垂直的向量，且它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为线段AD上一点．(1)求；(2)若为线段的中点，求二面角的正弦值；(3)线段上是否存在一点，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．《山东聊城第二中学2026-2027学年高二上学期第1次学情调研数学试题》参考答案题号12345678910答案AADDAADBACDAB题号11答案ACD1．A2．A3．D4．D5．A6．A7