浙江省新阵地教育联盟2027届高三第一次学情诊断数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页浙江省新阵地教育联盟2027届高三第一次学情诊断数学试题一、选择题1.若复数z=1−7i，则z=(

)A.6 B.8 C.52 2.已知a=1，a⋅b=1，若a⋅aA.−15 B.−1 C.153.曲线y=sinx+cosx在点0,1A.y=−x−1 B.y=−x+1 C.y=x+1 D.y=x−14.已知实数x>0，y>0，xy=1且x≠y，则下列不等式一定正确的是(

)A.lnxy<0 B.lnxy<05.已知椭圆x2+ay2=1(0<a<1)的一个顶点与抛物线y=axA.132 B.116 C.146.已知数列{an}满足a1=1,a2=3，对于∀n∈N∗,an+2−A.5100 B.4999 C.5202 D.50007.已知函数fx=ex−m2xA.0<m<e B.m<0 C.m>e D.m≤e8.f(x)x∈0,+∞A.∀x∈0,+∞，fx=fx+1 B.∀x∈0,+∞，fx=f2x

9.下列统计量中，不能度量样本的离散程度的是A.中位数 B.平均数 C.众数 D.标准差10.在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，AD=3，CD=1，AB=3.点E在线段AB上，满足AE=1.现将▵BCE沿CE翻折至▵PCE的位置，在翻折过程中(点P不在底面AECD内)，下列说法正确的是(

)A.四棱锥P−AECD体积最大值为233

B.存在某个位置，使得PD⊥平面PCE

C.四棱锥P−AECD外接球表面积的最小值为7π

D.直线PA与11.已知圆O:x2+y2=1及定点A(4,0)，设l为圆O的一条动切线，切点为P.若l上存在点Q满足∠PQA=60A.恒有OQ⋅OP=1

B.无论切点P在何处，直线l上总存在两个不同的点Q满足条件

C.存在点P，使得△PQA为等边三角形

D.线段二、填空题12.2x+y6的展开式中x2y4的系数为

(用数字作答13.已知函数fx=3cos2x+φ，(0<φ<π)满足fx+π4=fπ4−x恒成立，则φ=

14.已知数列an的前n项和Sn=1−−12nn∈N∗，若∃t∈R，三、解答师15.已知在梯形ABCD中，AB//CD，AB=4，CD=1，AD=3，∠DAB=π(1)求AC的长；(2)求sin∠ACB的值．16.在四棱锥P−ABCD中，PA=PC=PD，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，AB⊥AD.已知AD=4，BC=2，CD=22.点O为(1)求证：PO⊥平面ABCD；(2)若二面角P−CD−A的余弦值为33，求PO17.某项考试按理论考试、实操考试两科目依次进行，只有当理论考试成绩合格时，才可继续实操考试。已知每科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。现某人参加这项考试，每次理论考试成绩合格的概率均为34，每次实操考试成绩合格的概率均为23(1)求他可获得证书的概率；(2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)。18.已知双曲线C:x2a2−y(1)求曲线C的方程；(2)设O为坐标原点，过F的动直线l与曲线C交于P，Q两点，且QF=λFP(λ≥1)，直线PO与曲线C(i)当λ=2时，求直线l的方程；(ii)求四边形QROF的面积的取值范围．19.取名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔的不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理．该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数f(x)，在其定义域内存在一点x0，使得f(x0)=x0(1)求函数f(x)=2(2)若定义在R上的函数f(x)的图象绕原点逆时针旋转π4之后不变，x0是函数f(x)的一个“不动点”，证明：(3)设常数a>0，函数f:R→R，满足|f(x)−f(y)|≤a|x−y|，∀x，y∈R．g(x)=f(x)−(λ−1)x，对于任意实数λ>a，证明：函数g(x)存在唯一的不动点．

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】ABC

10.【答案】AC

11.【答案】ACD

12.【答案】60

13.【答案】π2

；

；

；

；

；；14.【答案】98

/115.【答案】解：(1)如图，因为梯形ABCD中，∠DAB=π所以∠ADC=2π由余弦定理可得CA所以CA=(2)在▵ADC中，cos∠ACD=又cos∠ACD=在▵ABC中，BC所以BC=3，又sin∠ACD=由正弦定理可得：CBsin∠CAB=解得sin∠ACB=

16.【答案】解：(1)因为PA=PD，点O为AD的中点，所以PO⊥AD，在直角梯形ABCD中，连接CO，因为AD//BC，AB⊥AD.所以ABCO是矩形，所以CO⊥AD，在Rt▵ODC中，CD=22，OD=2，所以在▵POC和▵POD中，PC=PD,PO=PO,OC=OD，所以▵POC≅▵POD，所以∠POC=∠POD=90∘，即又OC∩AD=O，OC,AD⊂平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD；(2)以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设PO=a，则O(0,0,0)，P(0,0,a)，D(0,2,0)，C(2,0,0)．设平面PCD的法向量为m=(x,y,z)，CD=(−2,2,0)，由CD⋅m=−2x+2y=0CP⋅易知平面CAD的一个法向量为n=(0,0,1)设二面角P−CD−A的大小为θ，则cosθ解得a=2．

17.【答案】解：(1)设“理论考试合格”为事件A，“实操考试合格”为事件B，

P(A)=1−(14)2=1516，或P(A)=34+14×34=1516

，

P(B)=1−(13)2=89，或P(B)=23+13×23=8918.【答案】解：(1)由双曲线C:x2a2−得c=2,ca=所以双曲线C的方程为x2(2)(i)显然直线l不垂直于y轴，设其方程为x=ty−2，P(x由消去x得(t2−3)yy1+y2=4tt所以直线l的方程为y=±(ii)由(i)知R(−x1,−y1)，连接则S=S▵OQF+S▵OQR得y2=−λy1≤−y1S▵OQF=12OF⋅(−y而y1=2t−∀则2t1+33于是f(t)≥f(0)=3，而当t从小于3的方向趋近于所以四边形QROF的面积的取值范围为[

19.【答案】解：(1)设函数f(x)=2x+x−5的不动点为x0，则所以函数f(x)=2x+x−5(2)证明：记函数f(x)的图象为M，x0是函数f(x)函数f(x)的图象绕原点逆时针旋转π4之后不变，即B1(同理B3B7(x得2x0(3)证明：函数g(x)存在唯一的不动点等价于函数F(x)=f(x)−λx在R上存在唯一零点，在|f(x)−f(y)|≤a|x−y|中，令y=0，得|f(x)−f(0)|≤a|x|⇔−a|x|+f(0)≤f(x)≤a|x|+f(0)，则F(x)=f(x)−λx≤a|x|−λx+f(0)，当x→+∞时，a|x|−λx+f(0)=(a−λ)x+f(0)→−∞，于是存在x1∈R，使得F(x当x→−∞时，−a|x|−λx+f(0)=(a−λ)x+f(0)→+∞，于是存在x2∈R，使得因此存在ε∈R，使得F(ε)=0；假设存在实数η≠ε，使